常微分方程在数学建模中的应用

7 常微分方程在数学建模中的应用 这里介绍几个典型的用微分方程建立数学模型的例子 一 人口预测模型一 人口预测模型 由于资源的有限性 当今世界各国都注意有计划地控制人口的增长 为了得到人口预测 模型 必须首先搞清影响人口增长的因素 而影响人口增长的因素很多 如人口的自然出生率 人口的自然死亡率 人口的迁移 自然灾害 战争等诸多因素 如果一开始就把所有因素都 考虑进去 则无从下手 因此 先把问题简化 建立比较粗糙的模型 再逐步修改 得到较完善 的模型 例例 1 1 马尔萨斯 Malthus 模型 英国人口统计学家马尔萨斯 1766 1834 在 担任牧师期间 查看了教堂 100 多年人口出生统计资料 发现人口出生率是一个常数 于 1789 年在 人口原理 一书中提出了闻名于世的马尔萨斯人口模型 他的基本假设是 在 人口自然增长过程中 净相对增长 出生率与死亡率之差 是常数 即单位时间内人口的增 长量与人口成正比 比例系数设为 在此假设下 推导并求解人口随时间变化的数学模型 r 解解 设时刻 的人口为 把当作连续 可微函数处理 因人口总数很大 可t tN tN 近似地这样处理 此乃离散变量连续化处理 据马尔萨斯的假设 在 到时间段内 人ttt 口的增长量为 ttrNtNttN 并设时刻的人口为 于是 0 tt 0 N 00 d d NtN rN t N 这就是马尔萨斯人口模型 用分离变量法易求出其解为 0 0 e ttr NtN 此式表明人口以指数规律随时间无限增长 模型检验 据估计 1961 年地球上的人口总数为 而在以后 7 年中 人口总数 9 1006 3 以每年 2 的速度增长 这样 于是1961 0 t 9 0 1006 3 N02 0 r 1961 02 0 9e 1006 3 t tN 这个公式非常准确地反映了在 1700 1961 年间世界人口总数 因为 这期间地球上的人 口大约每 35 年翻一番 而上式断定 34 6 年增加一倍 请读者证明这一点 但是 后来人们以美国人口为例 用马尔萨斯模型计算结果与人口资料比较 却发现有很 大的差异 尤其是在用此模型预测较遥远的未来地球人口总数时 发现更令人不可思议的问 题 如按此模型计算 到 2670 年 地球上将有 36 000 亿人口 如果地球表面全是陆地 事实 上 地球表面还有 80 被水覆盖 我们也只得互相踩着肩膀站成两层了 这是非常荒谬的 因此 这一模型应该修改 例例 2 2 逻辑 Logistic 模型 马尔萨斯模型为什么不能预测未来的人口呢 这主要是 8 地球上的各种资源只能供一定数量的人生活 随着人口的增加 自然资源环境条件等因素对 人口增长的限制作用越来越显著 如果当人口较少时 人口的自然增长率可以看作常数的话 那么当人口增加到一定数量以后 这个增长率就要随人口的增加而减小 因此 应对马尔萨斯 模型中关于净增长率为常数的假设进行修改 1838 年 荷兰生物数学家韦尔侯斯特 Verhulst 引入常数 用来表示自然环境条件 m N 所能容许的最大人口数 一般说来 一个国家工业化程度越高 它的生活空间就越大 食物就 越多 从而就越大 并假设将增长率等于 即净增长率随着的增加而 m N m N tN r 1 tN 减小 当时 净增长率趋于零 按此假定建立人口预测模型 m NtN 解解 由韦尔侯斯特假定 马尔萨斯模型应改为 00 0 1 d d NtN N N N r t N 上式就是逻辑模型 该方程可分离变量 其解为 0 0 e11 ttrm m N N N tN 下面 我们对模型作一简要分析 1 当 即无论人口的初值如何 人口总数趋向于极限值 t m NtN m N 2 当时 这说明是时间 的单调递增 m NN 001 d d N N N r t N m tNt 函数 3 由于 所以当时 单增 N N N N N r t N mm 2 11 d d 2 2 2 2 m N N 0 d d 2 2 t N t N d d 当时 单减 即人口增长率由增变减 在处最大 也就是说 2 m N N 0 d d 2 2 t N t N d d t N d d 2 m N 在人口总数达到极限值一半以前是加速生长期 过这一点后 生长的速率逐渐变小 并且迟早 会达到零 这是减速生长期 4 用该模型检验美国从 1790 年到 1950 年的人口 发现模型计算的结果与实际人口 在 1930 年以前都非常吻合 自从 1930 年以后 误差愈来愈大 一个明显的原因是在 20 世纪 60 年代美国的实际人口数已经突破了 20 世纪初所设的极限人口 由此可见该模型的缺点之 一是不易确定 事实上 随着一个国家经济的腾飞 它所拥有的食物就越丰富 的值 m N m N 也就越大 5 用逻辑模型来预测世界未来人口总数 某生物学家估计 又当人口总数029 0 r 9 为时 人口每年以 2 的速率增长 由逻辑模型得 9 1006 3 m N N r t N N 1 d d1 即 m N 9 1006 3 1029 0 02 0 从而得 9 1086 9 m N 即世界人口总数极限值近 100 亿 值得说明的是 人也是一种生物 因此 上面关于人口模型的讨论 原则上也可以用于在 自然环境下单一物种生存着的其他生物 如森林中的树木 池塘中的鱼等 逻辑模型有着广 泛的应用 二 市场价格模型二 市场价格模型 对于纯粹的市场经济来说 商品市场价格取决于市场供需之间的关系 市场价格能促使 商品的供给与需求相等 这样的价格称为 静态 均衡价格 也就是说 如果不考虑商品价格 形成的动态过程 那么商品的市场价格应能保证市场的供需平衡 但是 实际的市场价格不会 恰好等于均衡价格 而且价格也不会是静态的 应是随时间不断变化的动态过程 例例 3 3 试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型 解解 假设在某一时刻 商品的价格为 它与该商品的均衡价格间有差别 此时 存t tp 在供需差 此供需差促使价格变动 对新的价格 又有新的供需差 如此不断调节 就构成市场 价格形成的动态过程 假设价格的变化率与需求和供给之差成正比 并记 tp t p d d 为需求函数 为供给函数 为参数 于是 rpf pgr 0 0 d d pp pgrpf t p 其中为商品在时刻的价格 为正常数 0 p0 t 若设 则上式变为baprpf dcppg 0 0 d d pp dbpca t p 其中均为正常数 其解为dcba ca db ca db ptp tca 0 e 10 下面对所得结果进行讨论 1 设为静态均衡价格 则其应满足 p 0 pgrpf 即 dpcbpa 于是得 从而价格函数可写为 ca db p tp ppptp tca 0 e 令 取极限得 t ptp t lim 这说明 市场价格逐步趋于均衡价格 又若初始价格 则动态价格就维持在均衡价格pp 0 上 整个动态过程就化为静态过程 p 2 由于 tca capp t p 0 e d d 所以 当时 单调下降向靠拢 当时 单调pp 0 0 d d t p tpppp 0 0 d d t p tp 增加向靠拢 这说明 初始价格高于均衡价格时 动态价格就要逐步降低 且逐步靠近均p 衡价格 否则 动态价格就要逐步升高 因此 式 在一定程度上反映了价格影响需求与供给 而需求与供给反过来又影响价格的动态过程 并指出了动态价格逐步向均衡价格靠拢的变化 趋势 三 混合溶液的数学模型三 混合溶液的数学模型 例例 4 4 设一容器内原有 100L 盐 内含有盐 10kg 现以 3L min 的速度注入质量浓度为 0 01kg L 的淡盐水 同时以 2L min 的速度抽出混合均匀的盐水 求容器内盐量变化的数学 模型 解解 设 时刻容器内的盐量为kg 考虑 到时间内容器中盐的变化情况 在t txtttd 时间内dt 容器中盐的改变量注入的盐水中所含盐量 抽出的盐水中所含盐量 容器内盐的改变量为 注入的盐水中所含盐量为 时刻容器内溶液的质xd t d 301 0 t 量浓度为 假设 到时间内容器内溶液的质量浓度不变 事实上 容器 t tx 23 100 tttd 内的溶液质量浓度时刻在变 由于时间很短 可以这样看 于是抽出的盐水中所含盐量t d 为 这样即可列出方程t t tx d2 23 100 11 t t x txd 100 2 d03 0 d 即 t x t x 100 2 03 0 d d 又因为时 容器内有盐kg 于是得该问题的数学模型为0 t10 d2 0 03 d100 0 10 xx tt x 这是一阶非齐次线性方程的初值问题 其解为 2 4 100 109 100 01 0 t ttx 下面对该问题进行一下简单的讨论 由上式不难发现 时刻容器内溶液的质量浓度为 t 3 4 100 109 01 0 100 tt tx tp 且当时 即长时间地进行上述稀释过程 容器内盐水的质量浓度将趋 t01 0 tp 于注入溶液的质量浓度 溶液混合问题的更一般的提法是 设有一容器装有某种质量浓度的溶液 以流量注 1 V 入质量浓度为的溶液 指同一种类溶液 只是质量浓度不同 假定溶液立即被搅匀 并 1 C 以的流量流出这种混合溶液 试建立容器中质量浓度与时间的数学模型 2 V 首先设容器中溶质的质量为 原来的初始质量为 0 时溶液的体积为 在 tx 0 xt 2 V d 时间内 容器内溶质的改变量等于流入溶质的数量减去流出溶质的数量 即t tVCtVCxddd 2211 其中是流入溶液的质量浓度 为 时刻容器中溶液的质量浓度 1 C 2 Ct 于是 有混合溶液的数学模型 tVVV x C 210 2 1 122 0 d d 0 x CVC V t xx 该模型不仅适用于液体的混合 而且还适用于讨论气体的混合 四 振动模型四 振动模型 12 振动是生活与工程中的常见现象 研究振动规律有着极其重要的意义 在自然界中 许多 振动现象都可以抽象为下述振动问题 例例 5 5 设有一个弹簧 它的上端固定 下端挂一个质量为的物体 试研究其振动规律 m 解解 假设 1 物体的平衡位置位于坐标原点 并取轴的正向铅直向下 见图 4 x 物体的平衡位置指物体处于静止状态时的位置 此时 作用在物体上的重力与弹性力大小相 等 方向相反 2 在一定的初始位移及初始速度下 物体离开平衡位置 并在平衡 0 x 0 v 位置附近作没有摇摆的上下振动 3 物体在 时刻的位置坐标为 即 时刻物体t txx t 偏离平衡位置的位移 4 在振动过程中 受阻力作用 阻力的大小与物体速度成正比 阻 力的方向总是与速度方向相反 因此阻力为 为阻尼系数 5 当质点有位移 t x h d d h 时 假设所受的弹簧恢复力是与位移成正比的 而恢复力的方向总是指向平衡位置 也 tx 就是总与偏离平衡位置的位移方向相反 因此所受弹簧恢复力为 其中为劲度系数 kx k 6 在振动过程中受外力的作用 在上述假设下 根据牛顿第二定律得 tf d d d d 2 2 xfkx t x h t x m 这就是该物体的强迫振动方程 由于方程 中 的具体形式没有给出 所以 不能对式 tf 直接求解 下面我们分四种情形对其进行讨论 1 1 无阻尼自由振动无阻尼自由振动 在这种情况下 假定物体在振动过程中 既无阻力 又不受外力 作用 此时方程 变为 0 d d 2 2 kx t x m 令 方程变为 2 m k 0 d d 2 2 2 x t x 特征方程为 0 22 特征根为 i 2 1 通解为 tCtCx cossin 21 或将其写为 x O 图 4 13 t CC C t CC C CCx cossin 2 2 2 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 1 ttA cossinsincos sin tA 其中 2 2 2 1 CCA 2 2 2 1 2 sin CC C 2 2 2 1 1 cos CC C 这就是说 无阻尼自由振动的振幅 频率均为常数 2 2 2 1 CCA m k 2 2 有阻尼自由振动有阻尼自由振动 在该种情况下 考虑物体所受到的阻力 不考虑物体所受的外力 此时 方程 变为 0 d d d d 2 2 kx t x h t x m 令 方程变为 2 m k 2 m h 0 d d 2 d d 2 2 2 x t x t x 特征方程为 特征根 根据与的关系 又分02 22 22 2 1 为如下三种情形 1 大阻尼情形 特征根为二不等实根 通解为 tt CCx 2 1 2222 ee 2 临界阻尼情形 特征根为重根 通解为 t tCCx e 21 这两种情形 由于阻尼比较大 都不发生振动 当有一初始扰动以后 质点慢慢回到平衡 位置 位移随时间 的变化规律分别如图 5 和图 6 所示 t x O 0 x t x O 0 x t 图 5 图 6 14 3 小阻尼情形 特征根为共轭复根 通解为 sinCsinC e 22 2 22 1 ttx t 将其简化为 sin e 22 tAx t 其中振幅随时间 的增加而 cos sin 2 2 2 1 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 CC C CC C CCA A t et 减小 因此 这是一种衰减振动 位移随时间 的变化规律见图 7 t 3 3 无阻尼强迫振动无阻尼强迫振动