高二数学椭圆知识小节人教版知识精讲

高二数学高二数学椭圆知识小节椭圆知识小节人教版人教版 本讲教育信息本讲教育信息 一 教学内容 椭圆知识小节 知识点 1122 1212 定义 MFMFaaF F 2201 定义 MF d ee M l 3 标准方程 x a y b abx 2 2 2 2 10 焦点在 轴上 y a x b aby 2 2 2 2 10 焦点在 轴上 参数方程为参数 xa yb cos sin 4 几何性质 范围 对称性 焦半径 长半轴 短半轴 5 直线与椭圆的关系 判断及相关问题 点差法 6 有关存在性及对称性问题 典型例题典型例题 例 1 已知 点在椭圆上 点的坐标为 求P xy Pxyzxy 22 2516 1456 的最大值和最小值 解 解 P xy 点在椭圆上 22 2516 1 可设 点的坐标为 P54cossin 即 xy 54cossin zxy456 45546cossin 20 2 2 2 2 2 6 sincos 20 2 4 6sin 当时 最大 其最大值为 2 4 620 2kkZz 当时 最小 其最小值为 2 3 4 620 2kkZz 小结 小结 利用椭圆的参数方程 把 z 4x 5y 6 转化成 的三角函数是解决本例的关 键 例 2 已知椭圆的焦点在 x 轴上 P 为椭圆上一点 F1 F2为两焦点 且 PF1 PF2 若 P 点到两准线的距离分别为 6 和 12 求椭圆的标准方程 解 解 如图所示 y x F1 O F2 P 设椭圆的方程为 焦距为 x a y b c 2 2 2 2 12 则 PF c a PF c a 12 612 PFPFPFPFF F 121 2 2 2 12 2 即 361444 2 2 2 2 2 c a c a c a 2 45 又 61225 2 a c c bac 222 20 所求椭圆的方程为 xy 22 4520 1 小结 小结 本例的解法是先利用椭圆的第二定义得到 PF c a PF c a 12 612 再由写出 之间的关系式并结合两准线间的距离等于 即得到PFPFac a c 12 2 2 ab 22 的值 例 3 已知椭圆的焦点是 和 直线是椭圆的一条准线 FFy 12 01014 1 求椭圆的方程 又设点 在这个椭圆上 且 求 21 1212 PPFPFF PF 解 解 114 2 c a c ab23 2 又椭圆的中心在原点 焦点在 y 轴上 椭圆的方程为 xy 22 34 1 由解得 2 24 1 12 12 PFPFa PFPF PFPF 12 5 2 3 2 又 F Fc 12 22 cosF PF PFPFF F PFPF 12 1 2 2 2 12 2 12 2 3 5 即 F PF 12 3 5 arccos 小结 小结 中由已知椭圆上的 点到两焦点的距离差 联想2P PF PF 1 12 到 到两焦点的距离和 从而使问题的解决比较容易 P PF PF 2a 12 例 4 已知椭圆 分别为其左 右焦点 为椭圆 x a y b abFFP 2 2 2 2 12 10 上任意一点 求 的最大值及 取得最大值时 点的坐标 F PFP 12 解 解 设 则P xy PF x a c c a cab 1 2 22 PFa c a x 1 同理 PFa c a x 2 在中 F PF 12 cos PFPFF F PFPF 1 2 2 2 12 2 12 2 PFPFPFPFc PF PF 12 2 12 2 12 24 2 44 2 1 22 12 ac PF PF 2 1 2 b a c a xa c a x 2 1 2 2 2 2 2 b a c a x axa 0 22 xa 当时 最小x b a 0 2 1 2 2 cos t cos 在 上是减函数0 arccos 2 10 2 2 b a Pb最大 此时 点的坐标为 小结 小结 利用椭圆的第二定义可把椭圆上的点 P 到焦点的距离转化为以 P 点的横坐标 或纵坐标 为自变量的一次函数的函数值 本例的解法把 的余弦表示为 x 的函数 根 据 x 的范围求得了 的最大值 例题的结论说明了椭圆的短轴端点对两焦点的张角最大 例 5 已知 在椭圆上 求点 到直线 的距离最PxyPlxy49362150 22 大值 解法解法 1 利用椭圆的参数方程 设 P 3202cossin 由于椭圆上的点 都满足 则点 到直PP3234150cossincossin 线 的距离为 l d 3415 12 3415 5 515 5 22 cossincossinsin 因为 所以 11sin 当时 有最大值sin 14 5d 解法解法 2 椭圆的方程可化为 画出它的图象 该椭圆所包围的区 xy 22 94 1 域相当于可行域 作一组平行于 的直线 显然 当直线 与该椭圆相llxyttRl 11 20 切时 切点到直线 的距离达到最大值 或最小值 l y l1 l x O P 9 5 8 5 xy 2150 由 消去 得 4936 20 22 xy xyt y 251891440 22 xtxt 由 得 025 2 t tt55或 容易求得 当时 与 间的距离 最大 此时 tlldd 5 155 12 4 5 1 22 例 6 1993 年全国 理 高考试题 在面积为 的中 建立适当的坐标系 求出1 1 2 2 PMNMNtantan 以 M N 为焦点且过点 P 的椭圆方程 y P M O N x 分析 分析 设椭圆的方程为 点坐标为 则 x a y b Pxy 2 2 2 2 00 1 abxy 22 00 是四个特殊确定的量 所以需要四个独立方程 由 的斜率 的面积与点在椭圆上可列出四个方程 PMPNPMNP xy 00 只要解出 的值 ab 22 解 解 建立直角坐标系如图所示 以 MN 所在的直线为 x 轴 线段 MN 的垂直平分线为 y x a y b MNPc轴 设所求椭圆方程为 分别记 点的坐标为 4 10 2 2 2 2 cxy 和 0 00 tantan N2 由题设知 解得 yxc yxc xc yc 00 00 0 0 1 2 2 5 3 4 3 即 Pcc 5 3 4 3 在中 上的高为 MNPMNcMNc 2 4 3 Scc MNP 1 2 2 4 3 1 cP 3 2 5 3 6 2 3 3 即 PMxcy 0 2 0 2 2 15 3 PNxcy 0 2 0 2 15 3 aPMPNbac 1 2 15 2 3 222 从而 故所求椭圆方程为 4 153 1 22 xy 小结 小结 此题全面考查了解析几何的基本思想 从坐标系的建立 设出点的坐标 直线 的斜率到两点间的距离公式 到椭圆定义的应用 抓住了双基 难度适中 是一道具有代 表性的圆锥曲线题 例 7 已知椭圆 过其左焦点且斜率为 的直线与椭圆 x m y m m 22 1 1 251 及准线从左到右依次交于 设 求 ABCDf mABCDf m 1 求的最值 2f m y D x F1 O F2 A C B 解 解 椭圆中 1 1 1 22 x m y m ambmcF 222 1 1110 左焦点 则 BCyx 1 代入椭圆方程 整理得 21220 22 mxmxmm 设 则B xyC xyxx m m m 112212 2 21 25 f mABCDxxxx BADC 2 222 2 21 1212 xxxxxx m m AD 22 211 21 2 1 1 21 f m m mm 当时 mf m5 10 2 9 min 当时 mf m 2 4 2 3 max 小结 小结 xxxxBCBC ABBC 01 故关键求 而斜率已知为 故也可设中点 为 通过将 坐标代入椭圆方程后作差得 再M xyBC x m y m k 00 00 1 0 将 代入求得 于是得 当然 yxkx m m xx m m BC000 11 21 2 21 解本题的关键在于对的认识 由于 故线段长是其在f mABCDkx BC 1 轴上的射影长的倍 最终推出是解此题的关键 22f mxx BC 例 8 椭圆的一条准线为 弦的倾斜角为 x a y b abxABM 2 2 2 2 101 4 为的中点 与的夹角为 若 求证 ABABOMb 23 2 3 1 2 tan 解 解 由准线知 x a c 11 2 acbaccc 22222 则 设 则 A xyB xy x a y b x a y b 1122 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 11 相减得 xx a xx yy b yy 12 2 12 12 2 12 0 设中点 ABM xy 00 k yy xx AB 12 12 1 22 10 0 2 0 2 0 2 0 2 x a y b x a y b 则 y x b a cc c ckc OM 0 0 2 2 2 11 即 与的夹角为ABOM c c c c 11 111 2 tantan 即 又 232 2 3223 tan c c ccc 223322cccccc 无解 舍去 或 则 1 2 2 3 c 又在 上单调递减bccc cc 22 2 1 2 1 4 1 2 2 3 b 2 2 9 1 4 b 2 3 1 2 模拟试题模拟试题 1 1998 年 12 月 19 日 太原卫星发射中心为摩托罗拉公司 美国 发射了两颗 铱星 系统通信卫星 卫星运行的轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆 若近地点 m 千米 远地 点 n 千米 地球的半径为 R 千米 则通信卫星运行轨道的短轴长等于 A B 2mR nR mR nR C 2mnD mn 2 若椭圆经过原点 且焦点为 则其离心率为 FF 12 1030 A B C D 1 2 2 3 3 4 1 4 2001 7 全国高考题 3 已知椭圆上一点 P 该椭圆两焦点 若 则 xy 22 10064 1 FF 12 F PF 12 3 的面积为 F PF 12 A B 64 23 64 3 3 C D 32 3 3 64 23 4 椭圆的两焦点为 以为边作正三角形 若椭圆 x a y b ab 2 2 2 2 10 FF 12 F F 12 恰好平分正三角形的另两条边 则椭圆的离心率为 A B C D 1 2 3 2 42 3 31 5 椭圆的焦点为 点 P 为其上的动点 当为钝角时 点 xy 22 94 1 FF 12 F PF 12 P 横坐标的取值范围是 2000 7 全国高考试题 6 P 点在椭圆上运动 Q R 分别在两圆 和 xy 22 43 1 xy 11 2 2 上运动 则的最大值为 最小值为 xy 11 2 2 PQPR 7 已知中心在原点 焦点在 x 上的椭圆与 x 轴的负半轴交于点 A 与 y 轴的正半轴交于 点 B 是左焦点且到直线 AB 的距离 求此椭圆的离心率 F1F1F HOB 1 7 7 8 M 为椭圆上任意一点 非短轴端点 若 M 与短轴的两个端 x a y b ab 2 2 2 2 10 点 B B 的连线分别交 x 轴于 P Q 求证 为定值 OPOQ 9 过椭圆的右焦点的直线交椭圆 C 于 A B 两点 如果 A B 两Cxy 3412 22 l 点到右准线的距离的和为 7 求直线的方程 l 10 已知 ABC 的三个顶点均在椭圆上 且点 A 是椭圆短轴的一个端点 4580 22 xy ABC 的重心是椭圆的右焦点 试求直线 BC 的方程 试题答案试题答案 1 A 2 A 3 B 4 D 5 6 6 21 26 22 yx 7 解 解 设椭圆方程为 则 x a y b 2 2 2 2 1 AaBbFc 000 1 直线AB x a y b 1 F H bcab ab b 1 22 1 7 由此得e 1 2 8 证明 证明 由题意 BbBb00 设 M abkkZcossin 2 直线 BM 方程为 y b a xb sin cos 1 令 得y 0 x a P cos sin 1 同理可得 x a Q cos sin 1 定值 OPOQxxa PQ 2 9 解 解 显然垂直于 x 轴时 不符合题意 l 故设 l yk xA xyB xy 1 1122 由得 yk x xy 1 3412 22 3484120 2222 kxk xk 即 xx k k 12 2 2 8 34 xxk k 12 2 2 2 4 34 又因右准线方程为x 4 4 4 34 7 2 2 2 k k 解得 k 3 2 故 l yx 3 2 1 10 解 解 设 B xyC xy 1122 椭圆 xy abc 22 222 2016 12