湖北省襄阳四中、龙泉中学、荆州中学12-13学年高二数学下学期期中联考试题 理

1 2012 20132012 2013 年学年度下学期襄阳四中 龙泉中学 荆州中学期中联考年学年度下学期襄阳四中 龙泉中学 荆州中学期中联考 高二数学 理 试卷高二数学 理 试卷 本试题卷共 4 页 三大题 21 小题 本试卷全卷满分 150 分 考试用时 120 分钟 考生注意 1 答题前 考生务必将自己的准考证号 姓名和班级填写在答题卡上 2 第 I 卷每小题选出答案后 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案标号 第 II 卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答 在试题卷上作答 答案无效 参考公式 第第 I I 卷 选择题共卷 选择题共 5050 分 分 选择题 选择题 本大题共本大题共 1010 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 5050 分分 在每小题给出的四个选项中 只有一在每小题给出的四个选项中 只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的 1 双曲线 x 4y 1 的渐近线方程为 22 A x2y 0B 2xy 0 C x4y 0 D 4xy 0 2 设l m是两条不重合的直线 是一个平面 则下列命题正确的是 A 若l lm 则m B 若lm m 则l C 若l m 则lm D 若l m 则lm 3 下列判断正确的是 A 若命题为真命题 命题为假命题 则命题 为真命题pqpq B 命题 若 则 的否命题为 若 则 0 xy 0 x 0 xy 0 x C 是 的充分不必要条件 1 sin 2 6 D 命题 的否定是 20 x x R 0 0 20 x x R 4 已知双曲线 22 22 1 xy ab 的一个焦点与抛物线的焦点重合 且双曲线的离心率等于 2 4yx 则该双曲线的方程为 5 A B 22 1 54 xy C 22 1 54 yx D 22 4 51 5 xy 22 5 51 4 xy 5 已知是所在平面外一点 是的中点 若 则PABCADPCBDxAByACzAP 2 xyz A 1 B 0 C D 1 1 2 6 平行四边形 ABCD 中 AB AC 1 将它沿对角线 AC 折起 使 AB 和 CD 成 0 90ACD 角 则 B D 之间的距离为 0 60 A 2 B C 2 或 D 2 或 4 22 7 过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于两点 它们到直线的距xy4 2 BA 2 x 离之和等于 6 则这样的直线 A 有且仅有一条B 有且仅有两条C 有无穷多条D 不存在 8 已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切 若这个球的体积是 则这 32 3 个三棱柱的体积是 A 96 B 16 C 48 D 243333 9 右图是函数的部分图像 则函数 baxxxf 2 的零点所在的区间是 xfxxg ln A B C D 2 1 4 1 2 1 1 2 1 3 2 10 在棱长为 1 正方体 ABCD A1B1C1D1中 若 P 是其棱上动点 则满足 PA PC1 2 的点 P 有 个 A 4 B 6 C 8 D 12 第第 IIII 卷 非选择题共卷 非选择题共 100100 分 分 二 填空题二 填空题 本大题共本大题共 5 5 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 2525 分分 把答案填在答题卡相应位置把答案填在答题卡相应位置 11 已知向量 1 1 0 1 0 2 且 k 与 互相垂直 则 k a b a b 2a b 12 已知命题 x R R x2 5x a 0 的否定为假命题 则实数a的取值范围是 5 4 13 曲线 y cosx 1 在 0 处的切线方程为 2 4 14 直线 330lxy 与抛物线 2 4yx 相交于 A B 两点 与 x 轴相交于点 F 若 OFOAOB 则 15 已知正的顶点在平面内 顶点在平面的同一侧 为的中点 ABC A CB DBC 若在平面内的射影是以为直角顶点的三角形 则直线与平面所成角的ABC AAD 正弦值的最小值为 三 解答题三 解答题 本大题共本大题共 6 6 小题 满分小题 满分 7575 分分 解答须写出文字说明 证明过程和演箅步骤解答须写出文字说明 证明过程和演箅步骤 16 本小题满分 12 分 如图 在四面体 ABCD 中 平面 EFGH 分别平行于棱 AB C D E F G H 第 16 题图 3 CD AB E F G H 分别在 BD BC AC AD 上 且 CD a AB b CD AB 1 求证 四边形 EFGH 是矩形 2 设 问为何值时 四边形 EFGH 的面积最大 01 DE DB 17 本小题满分 12 分 如图所示的几何体中 平面 ABCDEDA EABCB 是的中点 DA2EADAABCB EAAB MEC 1 求证 DMEB 2 求二面角的余弦值 MBDA 第 17 题图 18 本小题满分 12 分 如图 已知抛物线 和 过抛物线上一点Cpxy2 2 M1 4 22 yxC 作两条直线与 相切于 两点 分别交抛物线为E F两点 圆心点 00 H xyMAB 到抛物线准线的距离为 M 4 17 1 求抛物线的方程 C 2 当的角平分线垂直轴时 求直线的斜率 AHB xEF 19 本小题满分 12 分 如图 有一块半椭圆形钢板 其长半轴长为2r 短半轴长为r 计划将此钢板切割成等 腰梯形的形状 下底AB是半椭圆的短轴 上底CD的端点在椭圆上 记2CDx 梯形面 积为S M C E D A B 第 18 题图 4 1 求面积S以x为自变量的函数式 并写出其定义域 2 求的最大值 2 S 第 19 题图 20 本小题满分 13 分 已知椭圆C 的离心率为 短轴一个端点到右焦点的距离为 22 22 1 0 xy ab ab 3 6 3 1 求椭圆C的方程 2 设直线 与椭圆C交于A B两点 以弦为直径的圆过坐标原点 试探讨点lABO 到直线 的距离是否为定值 若是 求出这个定值 若不是 说明理由 Ol 21 本小题满分 14 分 已知函数 xaxxfln1 a R 1 讨论函数在定义域内的极值点的个数 xf 2 若函数在处取得极值 对 恒成立 xf1 xx 0 2 bxxf 求实数的取值范围 b 3 当时 求证 1 eyx 1ln 1ln y x e yx 2r C D A B2r 5 2012 20132012 2013 年学年度下学期襄阳四中 龙泉中学 荆州中学期中联考年学年度下学期襄阳四中 龙泉中学 荆州中学期中联考 高二数学 理 试题答案高二数学 理 试题答案 一 选择题 序号 12345678910 答案 AADDBCACCB 二 填空题 11 12 5 13 y x 14 15 7 5 4 1 3 6 3 三 解答题 16 16 解解 1 证明 CD 面 EFGH CD平面 BCD 而平面 EFGH 平面 BCD EF CD EF 同理 HG CD EF HG 同理 HE GF 四边形 EFGH 为平行四边形 3 分 由 CD EF HE AB HEF 或其补角 为 CD 和 AB 所成的角 又 CD AB HE EF 四边形 EFGH 为矩形 6 分 2 解 由 1 可知在 ABD 中 EH AB DEEH DBAB EHb 在 BCD 中 EF CD 8 分 1 BEEF BDCD 1 EFa 又 EFGH 是矩形 故 当且仅当 ABCD S矩形 1 a b 2 1 2 ab 1 4 ab 时等号成立 即 E 为 BD 的中点时 矩形 EFGH 的面积最大为 1 1 2 即 4 1 ab 12 分 17 解 建立如图所示的空间直角坐标系 并设 则 A 0 0 0 B 0 2 0 22EADAABCB C 0 2 1 D 0 0 2 E 2 0 0 2 分 所以 从而 3 1 1 2 DM 2 2 0 EB 0DM EB 得 6 分DMEB 设是平面的法向量 则由 及 1 nx y z BDM 1 nDM 1 nDB 6 可以取 显然 3 1 1 2 DM 0 2 2 DB 1 1 2 2 n 为平面的法向量 10 分 2 1 0 0 n ABD 设二面角的平面角为 MBDA 则此二面角的余弦值 12 分 12 12 12 1 cos cos 3 nn nn nn 18 解 点到抛物线准线的距离为 M 2 4 p 4 17 即抛物线的方程为 5 分 2 1 pCxy 2 法一 当的角平分线垂直轴时 点 7 分AHB x 2 4 H HEHF kk 设 11 E x y 22 F xy 12 12 HH HH yyyy xxxx 12 2222 12 HH HH yyyy yyyy 10 分 12 24 H yyy 12 分 2121 22 212121 11 4 EF yyyy k xxyyyy 法二 当的角平分线垂直轴时 点 可得 AHB x 2 4 H 60 AHB3 HA k 直线的方程为 3 HB kHA2343 xy 联立方程组 得 xy xy 2 2343 02343 2 yy 3 2 3 E y 9 分 3 63 E y 3 3413 E x 同理可得 12 分 3 63 F y 3 3413 F x 4 1 EF k 19 解 I 依题意 以AB的中点O为原点建立直角坐标系Oxy 如图 则点C的横坐标为x 点C的纵坐标y满足方程 22 22 1 0 4 xy y rr 2 分 解得 22 2 0 yrxxr 所以 22 1 22 2 2 Sxrrx A 22 2 xrrx A 其定义域为 0 xxr 6 分 II 记 222 4 0f xxrrxxr 则 2 8 2 fxxrrx C D ABO x y 7 令 0fx 得 1 2 xr 因为当0 2 r x 时 0fx 当 2 r xr 时 0fx 所以 f x在 0 2 r 上是单调递增函数 在 2 r r上是单调递减函数 所以 1 2 fr 是 f x的最大值 10 分 因此 当 1 2 xr 时 也取得最大值 最大值为 2 S 4 27 4 r 12 分 20 解 1 设椭圆的半焦距为 依题意 3 分c 6 3 3 c a a 1b 所求椭圆方程为 4 分 2 2 1 3 x y 2 设 11 A xy 22 B xy 当轴时 设方程为 此时两点关于轴对称 ABx ABxm A Bx 又以为直径的圆过原点 设代人椭圆方程得 6 分 AB A m m 3 2 m 当与轴不垂直时 ABx 设直线的方程为 联立 ABykxm 2 2 1 3 x y ykxm 整理得 222 31 6330kxkmxm 9 分 12 2 6 31 km xx k 2 12 2 3 1 31 m x x k 又 22 121212 y yk x xkm xxm 2222 2 22 3 1 6 1 31 3 kmk m m kk 2 22 31 3 k km 由以为直径的圆过原点 则有 即 故满足 AB0OA OB 1212 0 x xy y 得 10 分 222 22 3 1 3 0 1 31 3 mmk kk 22 433mk 所以 又点到直线的距离为 2 m 2 3 1 4 k OAB 2 22 3 1 3 2 2 11 k m d kk 综上所述 点到直线的距离为定值 13 分 OAB 3 2 21 解 1 函数的定义域为 0 且 1 分 xf x ax x axf 11 当时 在上恒成立 函数 在单调递减 0 a 0fx 0 xf 0 在上没有极值点 2 分 xf 0 8 当时 得 得 0 a 0fx 1 0 x a 0fx 1 x a 在上递减 在上递增 即在处有极小值 3 分 xf 1 0 a 1 a xf a x 1 综上 当时在上没有极值点 0 a xf 0 当时 在上有一个极值0 a xf 0 点 4 分 注 分类讨论少一个扣一分 2 函数在处取得极值 xf1 x 5 分1 a b x x x bxxf ln1 12 6 分 令 g x 可得在上递减 在上递增 x x x xg ln1 1 2 ln2x x xg 2 0 e 2 e 8 分 2 2 min 1 1 e egxg