4.5 函数的应用（二）教学设计高中数学人教A版2019必修第一册-人教A版2019

4.5函数的应用（二）教学设计高中数学人教A版2019必修第一册-人教A版2019科目XX授课时间节次--年—月—日（星期——）第—节指导教师Xx老师授课班级、授课课时2025年授课题目（包括教材及章节名称）4.5函数的应用（二）教学设计高中数学人教A版2019必修第一册-人教A版2019设计意图一、设计意图：结合课本中的实际问题案例，引导学生运用已学函数知识（如指数、对数函数及分段函数）建立数学模型，培养学生分析问题、解决问题的能力，体会函数在解决实际问题中的应用价值，深化对函数概念与性质的理解，渗透数学建模核心素养。核心素养目标分析二、核心素养目标分析：通过课本中的增长率、分段计费等实际问题，引导学生经历问题抽象、模型建立、求解验证的数学建模过程，提升逻辑推理与数学运算能力；在分析函数模型性质时，深化数学抽象素养；通过解决实际问题，体会函数的应用价值，增强应用意识与创新意识，培养用数学思维分析和解决现实问题的能力。学习者分析三、学习者分析：1.学生已掌握函数的基本概念、性质（单调性、奇偶性）及基本初等函数（指数、对数、分段函数）的图像与性质，能解决简单的函数应用问题。2.学生对实际生活问题（如增长率、计费方案）兴趣较高，具备一定的逻辑推理和数学运算能力，但建模能力差异较大，部分学生擅长抽象思维，部分更依赖直观理解。3.学生在将实际问题转化为函数模型时可能存在困难，特别是复杂情境下的条件抽象；在处理分段函数、复合函数性质分析时易混淆变量关系，计算过程易出现符号错误或逻辑漏洞。教学方法与手段四、教学方法与手段：教学方法：1.案例分析法，结合课本增长率、分段计费实例引导学生建模；2.小组讨论法，促进学生合作解决复杂实际问题；3.问题驱动法，通过递进式问题激发探究兴趣。教学手段：1.多媒体展示函数图像及动态变化过程；2.GeoGebra软件辅助分析模型性质；3.实物投影展示学生解题过程，促进交流反馈。教学过程设计**（总时长：45分钟）**

---

###**导入环节（5分钟）**

1.**情境创设（2分钟）**

-展示课本P126例3：某手机套餐月租费50元，通话费0.1元/分钟，超出套餐后0.2元/分钟。若小明每月通话200分钟，求费用函数。

-提问：“若通话时间x分钟，费用y如何分段表示？函数类型是什么？”

2.**问题驱动（3分钟）**

-引导学生回忆分段函数定义（课本P103），小组讨论“分段函数的关键点是什么？”。

-学生代表回答：分界点（x=150分钟），教师板书函数式：

\[

y=\begin{cases}

50+0.1x&(0\leqx\leq150)\\

65+0.2(x-150)&(x>150)

\end{cases}

\]

-过渡：“今天我们将用分段函数解决更复杂的实际问题。”

---

###**讲授新课（15分钟）**

####**1.模型类型回顾（3分钟）**

-展示课本P125-P126案例：增长率（指数模型）、分段计费（分段函数）。

-提问：“这些问题的共同点是什么？”学生回答：需根据条件建立不同函数模型。

####**2.分步骤建模（12分钟）**

**步骤1：审题抽象（4分钟）**

-出示例题：某企业前3年产值年均增长10%，后2年增长5%，求5年总产值函数。

-师生互动：

-教师引导：“增长率问题适合什么函数？”学生答：指数函数\(y=a(1+r)^t\)。

-提问：“如何分段表示？”学生讨论后明确：前3年\(t\in[0,3]\)，后2年\(t\in(3,5]\)。

**步骤2：建立模型（4分钟）**

-教师板书模型：

\[

P(t)=\begin{cases}

100\times1.1^t&(0\leqt\leq3)\\

100\times1.1^3\times1.05^{t-3}&(3<t\leq5)

\end{cases}

\]

-提问：“为什么后2年用\(1.1^3\times1.05^{t-3}\)？”学生解释：以第3年值为基数。

**步骤3：求解验证（4分钟）**

-计算\(t=4\)时产值：\(P(4)=100\times1.1^3\times1.05\approx133.1\)（万元）。

-学生用GeoGebra动态演示函数图像，教师强调连续性（课本P126注意点）。

---

###**巩固练习（10分钟）**

####**1.基础题（3分钟）**

-课本P127练习1：出租车起步价10元（3公里内），超出后2元/公里，求费用函数。

-学生独立完成，教师巡视指导分段点（x=3）。

####**2.变式题（7分钟）**

-出示问题：某商场促销活动：消费满100元减20，满200元减50，求实际支付函数。

-小组讨论：

-学生A：“分段点为x=100和x=200。”

-学生B：“函数式：\(y=\begin{cases}x&(x<100)\\x-20&(100\leqx<200)\\x-50&(x\geq200)\end{cases}\)”

-教师实物投影展示学生答案，点评“分段函数需明确定义域”。

---

###**课堂总结与作业（5分钟）**

1.**总结（3分钟）**

-师生共同梳理：

-关键步骤：审题→分段建模→求解验证。

-核心素养：数学建模（实际问题→函数模型）、逻辑推理（分段条件分析）。

2.**作业（2分钟）**

-必做：课本P129习题4.5第3、5题（分段计费、增长率模型）。

-选做：设计一个生活中的分段函数问题（如阶梯电价）。

---

**教学创新点**

-**动态建模**：GeoGebra实时展示函数图像变化，突破分段函数连续性难点。

-**分层互动**：基础题独立完成，变式题小组讨论，兼顾不同学力学生。

-**生活联结**：选用手机套餐、商场促销等课本案例，强化应用意识。拓展与延伸1.**拓展阅读材料**

（1）**分段函数在生活中的应用**

-阶梯水价：某市居民用水实行三级阶梯价格，月用水量不超过20立方米，3.5元/立方米；20-30立方米，4.5元/立方米；超过30立方米，6元/立方米。试建立月用水量x与水费y的函数模型，并计算用水28立方米和35立方米时的费用。

-个人所得税：我国个人所得税采用七级超额累进税率，月收入不超过5000元免税；5000-8000元部分税率3%；8000-17000元部分税率10%等。若某人月收入12000元，应纳个税多少？写出个税与收入的函数式。

（2）**指数函数模型的深化**

-人口增长：某城市人口年均增长率为1.2%，2023年人口为500万，预测2030年人口数量（保留整数），并建立人口P与年份t（以2023年为t=0）的函数模型。

-放射性衰变：碳-14的半衰期为5730年，古生物中碳-14残留量为原始量的25%，求该生物距今约多少年？写出残留量q与时间t的函数关系。

（3）**函数模型的综合应用**

-企业利润：某工厂生产成本为C(x)=2000+50x（元），每件产品售价100元，销量x与售价p满足x=2000-20p。求利润最大时的售价及最大利润，建立利润函数L(p)。

-疫情传播：某传染病初期感染人数每日增长率为20%，若初始感染10人，建立第n天感染人数N(n)的模型，何时感染人数突破1000人？

2.**课后自主探究**

（1）**基础巩固**

-调查本地阶梯电价标准（如第一档0.5元/度，第二档0.6元/度，第三档0.8元/度），设计一个家庭月用电量x与电费y的函数模型，并计算用电150度、300度时的费用。

-某商品原价1000元，连续两次降价10%后，再提价20%，求最终价格，并建立价格变化与降价次数n的函数关系。

（2）**能力提升**

-某银行推出两种储蓄方式：A方式年利率2%，单利计息；B方式年利率1.9%，复利计息。若存入1万元，5年后哪种方式收益更高？分别建立两种方式的收益函数。

-某景区门票：散客80元/人，团体票（10人以上）60元/人且免1人费用。若团体人数为x（x>10），建立门票费用y与x的函数模型，并求最省钱的团体人数。

（3）**挑战创新**

-设计一个“手机套餐优惠方案”：月租费30元，包含100GB流量，超出后10元/GB。若用户每月流量需求为xGB，建立费用函数y(x)，并分析流量需求在50GB、200GB时是否划算。

-研究函数模型在优化问题中的应用：某工厂生产甲、乙两种产品，利润分别为200元/件和300元/件，原料限制为每天A材料100kg、B材料120kg，甲产品消耗A材料2kg/件、B材料3kg/件，乙产品消耗A材料4kg/件、B材料2kg/件。如何安排日产量使总利润最大？建立利润函数并求解。

（4）**跨学科联结**

-结合物理知识：自由落体运动h(t)=½gt²（g=10m/s²），物体从100m高处下落，落地时间多少？建立高度h与时间t的函数模型。

-结合经济概念：边际成本是总成本函数的导数，若C(x)=1000+50x+0.1x²，求生产第100件产品的边际成本，并分析其与平均成本的关系。

**探究要求**

-每人选择1-2个问题完成书面报告，需包含问题分析、函数模型建立、求解过程及结论。

-小组合作探究“挑战创新”题，提交方案设计并说明优化依据。

-查阅资料了解函数模型在环保（如碳排放预测）、交通（如拥堵收费）等领域的应用，撰写200字简报。内容逻辑关系①函数模型的类型与特点：分段函数的核心是“分界点”与“定义域划分”，课本P103明确“分段函数需在不同区间用不同解析式表达”；指数函数模型的关键词是“初始值”“增长率”，公式\(y=a(1+r)^t\)（课本P125），强调“增长率对应底数1+r”。

②建模步骤的逻辑链条：从实际问题到数学模型的转化，步骤为“审题抽象（提取条件）→建立模型（选择函数类型）→求解验证（代入计算）”，重点词句如“分段计费需明确区间界限”（课本P126例3）、“复合函数需调整基数”（如后两年增长以第三年产值为起点）。

③应用场景与函数类型的对应关系：阶梯价格（如水价、电价）对应分段函数，增长率问题（人口、产值）对应指数函数，优化问题（利润、成本）对应二次函数或分段函数，课本P127-P129案例体现“问题情境决定模型选择”的逻辑。课后作业1.**分段计费模型**：某市出租车起步价10元（含3公里），超出后每公里2元。求车费y与行程x（x≥0）的函数式，并计算行程8公里时的费用。

**答案**：\(y=\begin{cases}10&(0\leqx\leq3)\\10+2(x-3)&(x>3)\end{cases}\)，\(y(8)=10+2\times5=20\)元。

2.**指数增长应用**：某细菌每小时数量翻倍，初始有100个，求第t小时数量N(t)的函数式，并计算3小时后的数量。

**答案**：\(N(t)=100\times2^t\)，\(N(3)=100\times8=800\)个。

3.**分段函数优化**：某商场促销：消费满200元减50元，满500元减150元。求实付金额y与消费额x（x≥0）的函数式，并计算消费300元时的实付金额。

**答案**：\(y=\begin{cases}x&(x<200)\\x-50&(200\leqx<500)\\x-150&(x\geq500)\end{cases}\)，\(y(300)=250\)元。

4.**复合函数建模**：某工厂生产成本\(C(x)=1000+50x\)，售价\(p=100-0.5x\)，求利润L与产量x的函数式，并求最大利润。

**答案**：\(L(x)=x(p-C(x)/x)=x(100-0.5x-50-1000/x)=-0.5x^2+50x-1000\)，当\(x=50\)时，\(L_{\text{max}}=250\)。

5.**实际问题求解**：某设备折旧率每年10%，原值10万元，求第n年残值y的函数式，并计算5年后残值。

**答案**：\(y=10\times(1-0.1)^n=10\times0.9^n\)，\(y(5)=10\times0.9^5=5.9049\)万元。教学反思与总结教学反思：这节课通过生活案例导入，学生参与度较高，但发现部分学生对分段函数的分界点处理不够精准，如出租车计费题中易忽略起步价包含里程。小组讨论时，优生能快速建立模型，但后进生在条件抽象环节仍需引导。GeoGebra动态演示有效突破函数连续性难点，但时间分配上略显紧张，导致练习环节压缩。下次可精简导入，增加"分界点辨析"专项训练。

教学总结：多数学生