生活中的轴对称(知识点总结+基础+变式+提高)

1 知识要点梳理知识要点梳理 轴对称图形 轴对称分类 轴对称 角平分线 线段的垂直平分线 轴对称实例等腰三角形 等边三角形 生活中的轴对称 轴对称的性质 轴对称的性质 镜面对称的性质 图案设计 轴对称的应用 镶边与剪纸 一 轴对称图形一 轴对称图形 1 如果一个图形沿一条直线折叠后 直线两旁的部分能够完全重合 那么这个图形叫做轴 对称图形 这条直线叫做对称轴 2 理解轴对称图形要抓住以下几点 1 指一个图形 2 存在一条直线 对称轴 3 图形被直线分成的两部分互相重合 4 轴对称图形的对称轴有的只有一条 有的则存在多条 5 线段 角 长方形 正方形 菱形 等腰三角形 圆都是轴对称图形 例 1 要在一块长方形的空地上修建一个既是轴对称图形 又是中心对称图形的花 坛 下列图案中不符合设计要求的是 2 二 轴对称二 轴对称 1 对于两个图形 如果沿一条直线对折后 它们能互相重合 那么称这两个图形成轴对称 这条直线就是对称轴 可以说成 这两个图形关于某条直线对称 2 理解轴对称应注意 1 有两个图形 2 沿某一条直线对折后能够完全重合 3 轴对称的两个图形一定是全等形 但两个全等的图形不一定是轴对称图形 4 对称轴是直线而不是线段 轴对称图形轴对称 是一个图形自身的对称特性是两个图形之间的对称关系区别 对称轴可能不止一条对称轴只有一条 沿某条直线对折后都能够互相重合共同点 如果轴对称的两个图形看作一个整体 那么它就是一个轴对称图形 如果把轴对称图形分成两部分 两个图形 那么这两部分关于这条对称轴成轴 对称 例 2 下列四个判断 成轴对称的两个三角形是全等三角形 两个全等三 角形一定成轴对称 轴对称的两个圆的半径相等 半径相等的两个圆成轴对 称 其中正确的有 三 角平分线的性质三 角平分线的性质 1 角平分线所在的直线是该角的对称轴 2 性质 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 例 3 如图 AB AC BE AC 于 E CF AB 于 F BE CF 交于 D 则以下结论 ABE ACF BDF CDE 点 D 在 BAC 的平分线上 3 正确的是 A B C D 四 线段的垂直平分线四 线段的垂直平分线 1 垂直于一条线段并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线 又叫线段的中垂 线 2 性质 线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等 例4 下列各语句中不正确的是 A 全等三角形的周长相等 B 全等三角形的对应角相等 C 到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 D 线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点的距离相等 变式 4 有公路 l1异侧 l2同侧的两个村庄A B 如图 高速公路管理处要建一处服务区 按照设计 要求 服务区到两个村庄A B 的距离必须相等 到 两条公路 l1 l2的距离也必须相等 符合条件的服 务区 C 有 处 五 等腰三角形五 等腰三角形 1 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形 2 相等的两条边叫做腰 另一边叫做 底边 3 两腰的夹角叫做顶角 腰与底边的夹角叫做底角 4 三条边都相等的三角形也是等腰三角形 5 等腰三角形是轴对称图形 有一条对称轴 等边三角形除外 其底边上的高或顶角的 平分线 或底边上的中线所在的直线都是它的对称轴 6 等腰三角形的三条重要线段不是它的对称轴 它们所在的直线才是等腰三角形的对称轴 7 等腰三角形底边上的高 底边上的中线 顶角的平分线互相重合 简称为 三线合一 4 8 三线合一 是等腰三角形所特有的性质 一般三角形不具备这一重要性质 9 三线合一 是等腰三角形特有的性质 是指其顶角平分线 底边上的高和中线 这三 线 并非其他 10 等腰三角形的两个底角相等 简写成 等边对等角 11 判定一个三角形是等腰三角形常用的两种方法 1 两条边相等的三角形是等腰三角形 2 如果一个三角形有两个角相等 那么它们所对的边也相等相等 简写为 等角对等边 例 5 已知如图 a BC 3 ABC 和 ACB 的平分线相交于点 O OE AB OF AC 则三角形 OEF 的周长为 a b 变式 5 如图 b 在 ABC 中 AB AC AD 是高 AM 是 ABC 外角 CAE 的平分 线 1 用尺规作图方法 作 ADC 的平分线 DN 保留作图痕迹 不写作法和证明 2 设 DN 与 AM 交于点 F 判断 ADF 的形状 只写结果 5 六 等边三角形六 等边三角形 1 等边三角形是指三边都相等的三角形 又称正三角形 是最特殊的三角形 2 等边三角形是底与腰相等的等腰三角形 所以等边三角形具备等腰三角形的所有性质 3 等边三角形有三条对称轴 三角形的高 角平分线和中线所在的直线都是它的对称轴 4 等边三角形的三边都相等 三个内角都是 600 图形定义性质 等腰三 角形 有两 边相 等的 三角 形 1 两腰相等 两底角相等 2 顶角 1800 2 底角 底角 1800 顶角 2 3 顶角的平分线 底边上的中线和高 三线合一 4 轴对称图形 有一条对称轴 等边三 角形 又叫 正三角 形 三边 都相 等的 三角 形 1 三边都相等 三内角相等 且每个 内角都等于 600 2 具有等腰三角形的所有性质 3 轴对称图形 有三条对称轴 例 6 下列三角形 有两个角等于 60 有一个角等于 60 的等腰三角形 三个外角 每个顶点处各取一个外角 都相等的三角形 一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形 其中是等边三角形的有 6 变式 6 在 ABC 中 AB AC 将线段 AC 绕着点 C 逆时针旋转得到线段CD 旋 转角为 且 0 180 连接 AD BD 1 如图 1 当 BAC 100 60 时 求 CBD 的大小 2 如图 2 当 BAC 100 20 时 求 CBD 的大小 3 已知 BAC 的大小为 m 60 m 120 若 CBD 的大小与 2 中的结 果相同 请直接写出 的大小 7 7 含有含有 30 30 角的直角三角形角的直角三角形 性质 性质 在一个直角三角形中 如果有一个角等于 30 那么 30 所对的角是斜边的一半 例 7 若等腰三角形腰长为8 腰长上的高为4 则此三角形的顶角是 A 30 B 150 C 30 或 150 D 30 或 120 变式 7 下列说法 如图 1 ABC 中 AB AC A 45 则 ABC 能被一条直线分成两个小等腰三 角形 如图 2 ABC 中 AB AC A 36 BD CE 分别为 ABC ACB 的角平分 线 且相交于点F 则图中等腰三角形有6 个 7 如图 3 ABC 是等边三角形 CD AD 且 AD BC 则 AD AB 2 1 如图 4 ABC 中 点 E 是 AC 上一点 且 AE AB 连接 BE 并延长至点 D 使 AD AC DAC CAB DBC DAB 其中 正确的有 2 1 八 轴对称的性质八 轴对称的性质 1 两个图形沿一条直线对折后 能够重合的点称为对应点 对称点 能够重合的线段称 为对应线段 能够重合的角称为对应角 2 关于某条直线对称的两个图形是全等图形 3 如果两个图形关于某条直线对称 那么对应点所连的线段被对称轴垂直平分 4 如果两个图形关于某条直线对称 那么对应线段 对应角都相等 5 类似地 轴对称图形的性质有 1 轴对称图形对应点所连的线段被对称轴垂直平分 2 轴对称图形的对应线段 对应角相等 3 根据轴对称图形的性质可求作轴对称图形的对应点 对应线段或对应角 并由此能补 全轴对称图形 例 8 下列四个判断 成轴对称的两个三角形是全等三角形 两个全等三 角形一定成轴对称 轴对称的两个圆的半径相等 半径相等的两个圆成轴对 称 其中正确的有 变式 8 如图 把一个边长为7 的正方形经过三次对折后沿图 4 中平行于 MN 的虚线剪下 得图 5 它展开后得到的图形的面积为45 则 AN 的长为 8 九 图案设计九 图案设计 1 作出简单平面图形经过轴对称后的图形 实际上是轴对称图形的性质的灵活运用 2 作出简单平面图形经过轴对称后的图形的步骤 1 首先要确定一个简单平面图形上的几个特殊点 2 然后利用轴对称的性质 作出其相应的对称点 对应点所连的线段被对称轴垂直平 分 3 分别连接其对称点 则可得其对称图形 3 表达方式 以点 M 为例 1 过点 M 作对称轴 的垂线 垂足为 A l 2 延长 MA 到 M 到 使 M A MA 则点 M 就是点 M 关于直线 的对称点 l 3 在复杂的作图中 也可以叙述为 作出点 M 关于直线 的对称点 M l 4 在运用轴对称设计图案时 就注意以下几点 1 要有明确的设计意图 2 创意要新颖独特 3 设计出的图案要符合要求 4 能清楚地表达自己的设计意图和制作过程 5 图案的设计除采用对称的手段外 通常还综合采用旋转 倒置 重复等手段和形式 6 设计的图案要美观 大方 积极向上 反映时代特色 例 9 按照轴对称画出图形的另一半 9 变式 9 如图 草原上有两个居民点 P Q MM 是一条公路 NN 是一条河流 一汽车从 P 出发 把一批参加社会实践活动的学生送到公路上 再到河边去加水 最后回到 Q 问 怎样安排两个停靠点 R S 可使行驶的路程最短 十 镜面对称十 镜面对称 1 镜面对 称的有关性质 1 任何一个平面图形 物体 在镜子中的像与它是可以重合的 因此 一个轴对称图形 在镜子中的像仍是轴对称图形 2 若一个平面图形正对镜面 则其左 右 侧在镜中的像是其右 左 侧 3 若一个平面图形 物体 垂直于镜面摆放 则靠近镜面的部分 其像也靠近镜面 10 2 关于数字 0 1 3 8 在镜面中像的两个结论 1 如果写数字的纸条垂直于镜面摆放 则纸条上写的 0 1 3 8 所成的像与原来的数 字完全一样 2 如果纸条正对镜面摆放 则纸条上写的 0 1 8 这三个数字在镜中的像和原来的数 字完全一样 3 像与物体到镜面的距离相等 4 像与物体的对应点连线被镜面垂直平分 5 由镜中的时间来判断真实时间是近几年来中考的一个热点 时间的表示有用一般数字表 示的 也有直接用钟表来表示的 在判断时 大家要注意灵活利用镜面对称的知识来加以 解决 例10 镜子里看到的视力表如下所示 画出其实际图形 变式 10 看镜子 写数字 练习题练习题 一 选择题一 选择题 11 1 下列说法中 不正确的是 A 等腰三角形底边上的中线就是它的顶角平分线 B 等腰三角形底边上的高就是底边的垂直平分线的一部分 C 一条线段可看作以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形 D 两个三角形能够重合 它们一定是轴对称的 2 下列推理中 错误的是 A A B C ABC 是等边三角形 B AB AC 且 B C ABC 是等边三角形 C A 60 B 60 ABC 是等边三角形 D AB AC B 60 ABC 是等边三角形 3 在等边三角形 ABC 中 CD 是 ACB 的平分线 过 D 作 DE BC 交 AC 于 E 若 ABC 的边长为 a 则 ADE 的周长为 A 2a B a 3 4 C 1 5a D a 4 等腰三角形两边的长分别为 2cm 和 5cm 则这个三角形的周长是 A 9cm B 12cm C 9cm 和 12cm D 在 9cm 与 12cm 之间 5 观察图 7 108 中的汽车商标 其中是轴对称图形的个数为 A 2 B 3 C 4D 5 6 对于下列命题 1 关于某一直线成轴对称的两个三角形全等 2 等腰三角形的对 称轴是顶角的平分线 3 一条线段的两个端点一定是关于经过该线段中点的直线的对称点 4 如果两个三角形全等 那么它们关于某直线成轴对称 其中真命题的个数为 A 0 B 1 C 2D 3 7 ABC 中 AB AC 点 D 与顶点 A 在直线 BC 同侧 且 BD AD 则 BD 与 CD 的大小 关系为 A BD CD B BD CD C BD CD D BD 与 CD 大小关系无法确定 8 下列图形中 不是轴对称图形的是 12 A 互相垂直的两条直线构成的图形 B 一条直线和直线外一点构成的图形 C 有一个内角为 30 另一个内角为 120 的三角形 D 有一个内角为 60 的三角形 9 在等腰 ABC 中 AB AC O 为不同于 A 的一点 且 OB OC 则直线 AO 与底边 BC 的关系为 A 平行 B 垂直且平分 C 斜交 D 垂直不平分 10 三角形的三个顶点的外角平分线所在的直线两两相交 所围成的三角形一定是 A 锐角三角形 B 钝角三角形 C 等腰三角形 D 直角三角形 二 填空题二 填空题 1 正五角星形共有 条对称轴 2 黑板上写着在正对着黑板的镜子里的像是 3 已知等腰三角形的腰长是底边长的 3 4 一边长为 11cm 则它的周长为 4 1 等腰三角形 2 正方形 3 正七边形 4 平行四边形 5 梯形 6 菱形中 一定是轴对称图形的是 5 如果一个图形沿某一条直线折叠后 直线两旁的部分能够 那么这个图形 叫做轴对称图形 这条直线叫做 6 如图 7 109 在 ACD 中 AD BD BC 若 C 25 则 ADB 7 已知 如图 7 110 ABC 中 AB AC BE AC BDE 100 BAD 70 则 E 8 如图 7 111 在 Rt ABC 中 B 为直角 DE 是 AC 的垂直平分线 E 在 BC 上 BAE BAC 1 5 则 C 9 如图 7 112 BAC 30 AM 是 BAC 的平分线 过 M 作 ME BA 交 AC 于 E 作 13 MD BA 垂足为 D ME 10cm 则 MD 10 如图 7 113 OE 是 AOB 的平分线 BD OA 于 D AC BO 于 C 则关于直线 OE 对称的三角形有 对 三 解答题三 解答题 1 如图 7 114 XOY 内有一点 P 在射线 OX 上找出一 点 M 在射线 OY 上找出一点 N 使 PM MN NP 最短 2 如图 7 115 图中的图形是轴对称图形吗 如果是轴对称图形 请作出它们的对称轴 3 已知 AOB 30 点 P 在 OA 上 且 OP 2 点 P 关于直线 OB 的对称点是 Q 求 PQ 之长 4 如图 7 116 在 ABC 中 C 为直角 A 30 CD AB 于 D 若 BD 1 求 AB 之长 14 5 如图 7 117 在 ABC 中 C 为直角 AB 上的高 CD 及中线 CE 恰好把 ACB 三等分 若 AB 20 求 ABC 的两锐角及 AD DE EB 各为多少 6 如图 7 118 AD BE 分别是等边 ABC 中 BC AC 上的高 M N 分别在 AD BE 的延长 线上 CBM ACN 求证 AM BN 7 如图 7 119 点 G 在 CA 的