高中数学 指数函数教案 新人教A版必修1

课题 指数函数及其性质 高一新授课 课题 指数函数及其性质 高一新授课 指数函数及其性质教案指数函数及其性质教案 教学目标教学目标 知识目标 理解指数函数的定义 掌握指数函数的图象 性质及其简单 应用 能力目标 通过教学培养学生观察 分析 归纳等思维能力 体会数形 结合和分类讨论的思想以及从特殊到一般的数学讨论的方法 增强识图用图的能力 情感目标 通过学习 使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关 系 构建和谐的课堂氛围 培养学生勇于提问 善于探索的 思维品质 教学重点 难点教学重点 难点 重点 指数函数的图象 性质及其简单运用 难点 指数函数图象和性质的发现过程 及指数函数图象与底的关系 教学方法与手段教学方法与手段 教学方法 探究式教学法 教学手段 采用多媒体辅助教学 教学过程教学过程 一 创设情景 引出课题一 创设情景 引出课题 前面我们学习过函数的概念 函数的有关性质及指数的运算 今天我们将在此基础上 学习一类新的基本函数 问题 1 我们来考虑一个与医学有关的例子 大家对 非典 应该并不陌生 它与其 1 它的传染病一样 有一定的潜伏期 这段时间里病原体在机体内不断地繁殖 病原体的繁 殖方式有很多种 分裂就是其中的一种 我们来看一种球菌的分裂过程 动画演示 某种球菌分裂时 由 1 分裂成 2 个 2 个分裂成 4 个 一个这样的球 菌分裂x次后 得到的球菌的个数y与x的关系式是 x y2 问题 2 某种机器设备每年按 6的折旧率折旧 设机器的原来价值为 1 经过x年后 机器的价值为原来的y倍 则y与x的关系为 x y94 0 思考 思考 你能从以上的两个例子中得到的关系式里找到什么异同点吗 共同点 变量x与y构成函数关系式 是指数的形式 自变量在指数位置 底数是常数 不同点 底数的取值不同 大家能给这样的函数起个名字吗 想让学生对数学的形式化有一认识 指数函数 这就是我们今天所要研究的一个新的基本函数 指数函数 引出课题 二 探索研究二 探索研究 一一 指数函数的概念 指数函数的概念 形如 1 0 aaay x 且叫做指数函数 其中x是自变量 函数的定义域为R 函数解析式三大特征 1 指数是自变量 x 2 底数是非 1 的正数 3 系数为 1 练习 练习 判断下列函数中哪些为指数函数 1 3 yx 2 3xy 3 3 xy 4 1xy 5 3xy 6 1 3xy 7 3 x y 在以前我们学过的函数中 一次函数用形如 0 kbkxy的形式表示 反比例函数 用形如 0 k x k y的形式表示 二次函数用 0 2 acbxaxy的形式表示 这些函数 对其一般形式上的系数都有相应的限制 给定一个函数要注意它的实际意义与研究价值 思考 思考 为什么指数函数对底数有这样的要求呢 若0 a 当0 x时 x a恒等于 0 没有研究价值 当0 x时 x a无意义 2 若0 a 例如当 2 1 2 xa 时 2 无意义 没有研究价值 若1 a 则11 x x a是一个常量 也没有研究的必要 很好 所以有规定10 aa且 对指数函数有一初步的认识 二 对数函数的图象与性质 二 对数函数的图象与性质 学习函数的一个很重要的目标就是应用 那么首先要对函数作一研究 研究函数的图 象及性质 然后利用其图象和性质去解决数学问题和实际问题 思考思考 1 你能类比前面讨论函数性质的思路 提出研究指数函数性质的内容和方法吗 研究方法 研究方法 画出函数的图象 结合图象研究函数的性质 研究内容 研究内容 定义域 值域 图象 单调性 奇偶性 思考思考 2 2 如何来画指数函数的图象呢 画函数图象通常采用 列表 描点 连线 有时 也可以利用函数的有关性质画图 思考思考 3 3 画出指数函数 x y2 x y 2 1 的图象并观察图象有什么特征 函数 x y2 的图象位于x轴的上方 向左无限接近x轴 向上无限延伸 从左向右看 图象是上升的 与y轴交于 0 1 点 函数 x y 2 1 的图象位于x轴的上方 向右无限接近x轴 向上无限延伸 从左向右 看 图象是下降的 与y轴交于 0 1 点 思考思考 4 函数 1 2 2 xx yy 与的图象有什么关系 能否由2xy 的图象得到 x y 2 1 的图象 关于y轴对称 所以可以先画其中一个函数的图象 利用轴对称的性质可以得到另一 个函数的图象 同学们一定要掌握这种作图的方法 对以后的学习非常有用 思考思考 5 选取底数a的若干个不同的值 在同一平面坐标系内作出相应的指数函数的图 象 观察图象 你能发现他们有哪些共同特征 教师演示课件 以不同的底 作出函数的图象 描绘出其几何特征 将函数的图象 和性质对应起来 利用几何画板 通过改变a的值 让学生观察图象的变化规律 思考思考 6 通过你们画的图象以及老师的演示 你们能发现怎样的规律呢 3 底数分1 a和10 a两种情况 很好 那么 你们能否归纳总结一下它们的性质吗 引导学生观察函数 x y2 的图象特征 并总结函数 x y2 的性质 思考思考 7 7 从特殊到一般 指数函数 1 aay x 有哪些性质 并类比得出 10 aay x 的性质 师生共同归纳师生共同归纳 指数函数 10 aaay x 且的图象与性质 强调 强调 利用函数图象研究函数性质是一种直观而形象的方法 记忆指数函数性质时可以联 想它的图象 记住性质的关键在于要脑中有图 三 应用举例 三 应用举例 1a 01a 图 象 1 定义域 2 值域 0 3 过定点 0 1 即当0 x时 1 y 性 质 4 在 上是增函 数 4 在 上是减函数 4 数学源于生活 还要服务于生活 学习函数的一个重要目标是应用 指数函数是生产 生活中常见的一类函数 指数函数一直是科学工作者 特别是工程技术人员必备的工 具 这节课我们先来了解一下它的简单应用 利用单调性比较大小 例 1 比较下列各组数中各个值的大小 1 1 5 2 7 1 3 7 1 2 2 1 0 8 0 2 0 8 0 3 3 1 0 2 1 3 1 aaaa且 4 4 3 0 7 1 1 3 9 0 1 分析 对于这样两个数比大小 学生可能会觉得困难 提示学生观察两个数的形式特征 底数相同 指数不同 联想指数函数 提出构造函数法 即把这两个数看作某个函数 的函数值 利用函数的单调性比较大小 说明 说明 1 当底数相同且明确底数a与 1 的大小关系时 直接用函数的单调性来解 2 当底数相同但不明确底数a与 1 的大小关系时 要分情况讨论 3 当底数不同不能直接比较时 可借助中间数 间接比较上述两个数的大小 四 反馈练习 四 反馈练习 比较下列各组数中两个值的大小 五 归纳小结 强化思想五 归纳小结 强化思想 本小节的目的要求是掌握指数函数的概念 图象和性质 在理解指数函数的定义的基 础上 掌握指数函数的图象和性质是本小节的重点 1 数学知识点 指数函数的概念 图象和性质 2 研究函数的一般步骤 定义 图象 性质 应用 3 数学思想方法 数形结