高考物理近几年高考万有引力与航天10难题详析教学论文

用心 爱心 专心1 近几年高考近几年高考 万有引力与航天万有引力与航天 10 难题详析难题详析 万有引力与航天 历来是高考的重点 热点和难点 体现在每年的高考试 卷中都有有关万有引力与航天的题目 每套物理试卷或理综试卷都有有关万有 引力与航天的题目 本文就近几年高考 万有引力与航天 的难题 10 题 给以 详细解析 以帮助广大高三或高一的学生学习这一部分内容 当你读本文时 对每一题 还是先自己解一下 然后再看本文的解析与答案 1 2010 年浙江卷第年浙江卷第 20 题 题 宇宙飞船以周期为 T 绕地地球作圆周运动 时 由于地球遮挡阳光 会经历 日全食 过程 如图所示 已知地球的半径 为 R 地球质量为 M 引力常量为 G 地球处置周期为 T 太阳光可看作平行 光 宇航员在 A 点测出的张角为 则 A 飞船绕地球运动的线速度为 2 2 sin R T B 一天内飞船经历 日全食 的次数为 T T0 C 飞船每次 日全食 过程的时间为 0 2 aT D 飞船周期为 T 22 2 sin sin RR GM 解析 飞船绕地球运动的线速度为 T r v 2 由几何关系知 所以 r R 2 sin 2 sin r R A 正确 2 sin 2 T R v 因为 所以r T m r mM G 2 2 2 GM r r GM r T 22 3 用心 爱心 专心2 因为所以 D 正确 2 sin r R 2 sin 2 sin 2 GM RR T 一天内飞船经历 日全食 的次数为 T0 T 所以 B 错误 T h n 24 飞船每次 日全食 过程的时间 如下图所示 是飞船沿 BAC 圆弧从 B 到 C 的时间 因为 tan 所以OBC 时间OBC 2 1 r R r R 2 sin 所以 C 错误 Tt 2 答案 AD 点评 本题考查圆周运动与航天知识及用数学解决物理问题的能力 2 2010 安徽卷安徽卷 17 为了对火星及其周围的空间环境进行探测 我国预 计于 2011 年 10 月发射第一颗火星探测器 萤火一号 假设探测器在离火星表 面高度分别为和的圆轨道上运动时 周期分别为和 火星可视为质量 1 h 2 h 1 T 2 T 分布均匀的球体 且忽略火星的自转影响 万有引力常量为 G 仅利用以上数 据 可以计算出 A 火星的密度和火星表面的重力加速度 B 火星的质量和火星对 萤火一号 的引力 C 火星的半径和 萤火一号 的质量 D 火星表面的重力加速度和火星对 萤火一号 的引力 解析解析 由于万有引力提供探测器做圆周运动的向心力 则有 可求得火星 2 1 2 11 2 Mm GmRh RhT 2 2 2 22 2 Mm GmRh RhT 的质量和火星的半径 根据密 2323 12 22 12 4 4 RhRh M GTGT 2 2 3 21 1 2 2 3 1 1 T hh T R T T 用心 爱心 专心3 度公式得 在火星表面的物体有 可得火 3 3 3 4 4 3 MMM VR R 2 Mm Gmg R 星表面的重力加速度 故选项 A 正确 2 GM g R 答案答案 A 3 2010 全国卷全国卷 1 25 18 分 如右图 质量分别为 m 和 M 的两个星 球 A 和 B 在引力作用下都绕 O 点做匀速周运动 星球 A 和 B 两者中心之间距 离为 L 已知 A B 的中心和 O 三点始终共线 A 和 B 分别在 O 的两侧 引力 常数为 G 1求两星球做圆周运动的周期 2在地月系统中 若忽略其它星球的影响 可以将月球和地球看成上述星 球 A 和 B 月球绕其轨道中心运行为的周期记为 T1 但在近似处理问题时 常 常认为月球是绕地心做圆周运动的 这样算得的运行周期 T2 已知地球和月球 的质量分别为 5 98 1024kg 和 7 35 1022kg 求 T2与 T1两者平方之比 结果 保留 3 位小数 解析 A 和 B 绕 O 做匀速圆周运动 它们之间的万有引力提供向心 力 则 A 和 B 的向心力相等 且 A 和 B 和 O 始终共线 说明 A 和 B 有相同的 角速度和周期 因此有 连立解得 RMrm 22 LRr L Mm m R L Mm M r 对 A 根据牛顿第二定律和万有引力定律得L mM M T m L GMm 2 2 2 化简得 2 3 mMG L T 将地月看成双星 由 得 2 3 1 mMG L T 用心 爱心 专心4 将月球看作绕地心做圆周运动 根据牛顿第二定律和万有引力定律得 L T m L GMm 2 2 2 化简得 GM L T 3 2 2 所以两种周期的平方比值为201 1 1098 5 1035 7 1098 5 24 2224 2 1 2 M Mm T T 答案 1 012 2 3 mMG L T 4 2009 年海南物理 6 近地人造卫星 1 和 2 绕地球做匀速圆周运动的周期 分别为 T1和 T2 设在卫星 1 卫星 2 各自所在的高度上的重力加速度大小分别为 g1 g2 则 A B 4 3 11 22 gT gT 4 3 12 21 gT gT D D 2 11 22 gT gT 2 12 21 gT gT 解析 卫星绕天体作匀速圆周运动由万有引力提供向心力有 mR 可得 K 为常数 由重力等于万有引力 mg 联立 2 GMm R 2 2 T 2 3 T R 2 GMm R 解得 g 则 g 与成反比 4 3 2 GM T K 4 3 T 答案答案 B 5 2009 年重庆 17 据报道 嫦娥一号 和 嫦娥二号 绕月飞行器的圆形轨道 距月球表面分别约为 200km 和 100km 运动速率分别为 v1和 v2 那么 v1和 v2的 比值为 月球半径取 1700km A B C D 19 18 19 18 18 19 18 19 解析 嫦娥一号 和 嫦娥二号 绕月作圆周运动 由万有引力提供向心力有 可得 v M 为月球质量 它们的轨道半径分 2 GMm R 2 mv R GM R R1 1900Km R2 1800Km 则 v1 v2 2 1 R R 用心 爱心 专心5 答案答案 C 6 2009 年全国卷 第 26 题 如图 P Q 为某地区水平地面上的两点 在 P 点正下方一球形区域内储藏有石油 假定区域周围岩石均匀分布 密度为 石油密度远小于 可将上述球形区域视为空腔 如果没有这一空腔 则该地 区重力加速度 正常值 沿竖直方向 当存在空腔时 该地区重力加速度的大 小和方向会与正常情况有微小偏高 重力回速度在原竖直方向 即 PO 方向 上的投影相对于正常值的偏离叫做 重力加速度反常 为了探寻石油区域的位 置和石油储量 常利用 P 点到附近重力加速度反常现象 已知引力常数为 G 1 设球形空腔体积为 V 球心深度为 d 远小于地球半径 求空腔PQx 所引起的 Q 点处的重力加速度反常 2 若在水平地面上半径 L 的范围内发现 重力加速度反常值在 与 k k 1 之间变化 且重力加速度反常的最大值出现在半为 L 的范围的中心 如果这种反常是于地下存在某一球形空腔造成的 试求此球形空腔球心的深度 和空腔的体积 解析 1 如果将近地表的球形空腔填满密度为的岩石 则该地区重力加速 度便回到正常值 因此 重力加速度反常可通过填充后的球形区域产生的附加 引力 来计算 式中的 m 是 Q 点处某质点的质量 M 是填 2 Mm Gm g r 充后球形区域的质量 MV 而 r 是球形空腔中心 O 至 Q 点的距离 在数值上等于由 22 rdx g 于存在球形空腔所引起的 Q 点处重力加速度改变的大小 Q 点处重力加速度改 变的方向沿 OQ 方向 重力加速度反常是这一改变在竖直方向上的投影 g 联立以上式子得 d gg r 22 3 2 G Vd g dx 2 由 式得 重力加速度反常的最大值和最小值分别为 g 2max G V g d Q x d P RO 用心 爱心 专心6 由题设有 22 3 2min G Vd g dL maxgk ming 联立以上式子得 地下球形空腔球心的深度和空腔的体积分别为 2 3 1 L d k 2 2 3 1 L k V Gk 答案 1 22 3 2 G Vd dx 2 2 3 1 L d k 2 2 3 1 L k V Gk 7 2009 年天津卷第 12 题 2008 年 12 月 天文学家们通过观测的数据确认 了银河系中央的黑洞 人马座 A 的质量与太阳质量的倍数关系 研究发现 有 一星体 S2 绕人马座 A 做椭圆运动 其轨道半长轴为 9 50 102天文单位 地球 公转轨道的半径为一个天文单位 人马座 A 就处在该椭圆的一个焦点上 观 测得到 S2 星的运行周期为 15 2 年 1 若将 S2 星的运行轨道视为半径 r 9 50 102天文单位的圆轨道 试估算人马 座 A 的质量 MA是太阳质量 Ms的多少倍 结果保留一位有效数字 2 黑洞的第二宇宙速度极大 处于黑洞表面的粒子即使以光速运动 其具有的 动能也不足以克服黑洞对它的引力束缚 由于引力的作用 黑洞表面处质量为 m 的粒子具有势能为 Ep G 设粒子在离黑洞无限远处的势能为零 式中 Mm R M R 分别表示黑洞的质量和半径 已知引力常量 G 6 7 10 11N m2 kg2 光速 c 3 0 108m s 太阳质量 Ms 2 0 1030kg 太阳半径 Rs 7 0 108m 不考虑相对 论效应 利用上问结果 在经典力学范围内求人马座 A 的半径 RA与太阳半径 之比应小于多少 结果按四舍五入保留整数 g R 解析 1 S2 星绕人马座 A 做圆周运动的向心力由人马座 A 对 S2 星的万有 引力提供 设 S2 星的质量为 mS2 角速度为 周期为 T 则 2 A2 2 2 M G S S m mr r 2 T 设地球质量为 mE 公转轨道半径为 rE 周期为 TE 则 2 S 2 M G E EE E m mr r 综合上述三式得 3 2 A S M M E E Tr rT 式中 TE 1 年 用心 爱心 专心7 rE 1 天文单位 代入数据可得 6 A S M 4 10 M 2 引力对粒子作用不到的地方即为无限远 此时料子的势能为零 处于 黑洞表面的粒子即使以光速运动 其具有的动能也不足以克服黑洞对它的引力 束缚 说明了黑洞表面处以光速运动的粒子在远离黑洞的过程中克服引力做功 粒子在到达无限远之前 其动能便减小为零 此时势能仍为负值 则其能量总 和小于零 则有 2 1 0 2 Mm mcG R 依题意可知 A RR A MM 可得 A 2 2 R A GM c 代入数据得 10 1 2 10 m A R 17 A S R R 答案 1 2 6 4 10 17 8 06 天津理综 25 神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体 探寻黑 洞的方案之一是观测双星系统的运动规律 天文学家观测河外星系大麦哲伦 云 时 发现了 LMCX 3 双星系统 它由可见星 A 和不可见的暗星 B 构成 两星 视为质点 不考虑其他天体的影响 A B 围绕两者连线上的 O 点做匀速圆周运 动 它们之间的距离保持不变 如图所示 引力常量为 G 由观测能够得到可见 星 A 的速率 v 和运行周期 T 1 可见星 A 所受暗星 B 的引力 FA可等效为位于 O 点处质量为 m 的星体 视 为质点 对它的引力 设 A 和 B 的质量分别为 m1 m2 试求 m 用 m1 m2表 示 用心 爱心 专心8 2 求暗星 B 的质量 m2与可见星 A 的速率 v 运行周期 T 和质量 m1之间的 关系式 3 恒星演化到末期 如果其质量大于太阳质量 ms的 2 倍 它将有可能成为 黑洞 若可见星 A 的速率 v 2 7 105 m s 运行周期 T 4 7 104 s 质量 m1 6 ms 试通过估算来判断暗星 B 有可能是黑洞吗 G 6 67 10 11 N m2 kg2 ms 2 0 1030 kg 解析 1 设 A B 的圆轨道半径分别为 r1 r2 由题意知 A B 做匀 速圆周运动的角速度相同 设其为 由牛顿运动定律 有 FA m1 2r1 FB m2 2r2 FA FB 设 A B 之间的距离为 r 又 r r1 r2 由上述各式得 r 1 2 21 r m mm 由万有引力定律 有 FA 2 21 r mm G 将 代入得 FA G 2 1 2 21 3 21 rmm mm 令 FA 2 1 1 r mm G 比较可得 m 2 21 3 2 mm m 2 由牛顿第二定律 有 1 2 1 2 1 1 r m r mm G v 又可见星 A 的轨道半径 r1 2 Tv 由 式解得 G T mm m 2 3 2 21 3 2 v 3 将 m1 6 ms代入 式 得 用心 爱心 专心9 G T mm m s 2 6 3 2 2 3 2 v 代入数据得 s s m mm m 5 3 6 2 2 3 2 设 m2 nms n 0 将其代入 式 得 ss s mm n n mm m 5 3 1 6 6 2 2 2 3 2 可见 2 2 3 2 6 mm m s 的值随 n 的增大而增大 试令 n 2 得 sss mmm n n 5 3125 0 1 6 2 若使 式成立 则 n 必大于 2 即暗星 B 的质量 m2必大于 2ms 由此得出结论 暗 星 B 有可能是黑洞 答案 1 2 21 3 2 mm m 2 G T mm m 2 3 2 21 3 2 v 3 暗星 B 有可能是黑洞 9 2008 高考全国理综 2 卷第 25 题 20 分 我国发射的 嫦娥一号 探月卫 星沿近似于圆形的轨道绕月飞行 为了获得月球表面全貌的信息 让卫星轨道 平面缓慢变化 卫星将获得的信息持续用微波信号发回地球 设地球和月球的 质量分别为 M 和 m 地球和月球的半径分别为 R 和 R1 月球绕地球的轨道半 径和卫星绕月球的轨道半径分别为 r 和 r1 月球绕地球转动的周期为 T 假定 在卫星绕月运行的一个周期内卫星轨道平面与地月连心线共面 求在该周期内 卫星发射的微波信号因月球遮挡而不能到达地球的时间 用 M m R R1 r r1和 T 表示 忽略月球绕地球转动对遮挡时间的影响 解析 如图 O 和分别表示地球和月球的中心 在卫星轨道平面上 A 是 O 地月连心线与地月球面的公切线 ACD 的交点 D C 和 B 分别是该公切O O 线与地球表面 月球表面和卫星圆轨道的交点 根据对称性 过 A 点在另一侧 用心 爱心 专心10 作地月球面的公切线 交卫星轨道于 E 点 卫星在 BE 弧上运动时发出的信号 被遮挡 设探月卫星的质量为 m0 万有引力常量为 G 根据万有引力定律有 r T m r Mm G 2 2 2 1 2 1 0 2 1 0 2 r T m r Mm G 式中 T1是探月卫星绕月球转动的周期 由 式得 3121 r r m M T T 设卫星的微波信号被遮挡的时间为 t 则由于卫星绕月做匀速圆周运动 应有 1 T t 式中 由几何关系得BOCAOC 1 cosRRr 11cos Rr 由 式得 arccos arccos 1 11 3 3 1 r R r RR mr MrT t 1010 20102010 上海物理上海物理 2424 如图 三个质点 a b c 质量分别为 1 m 2 mM 在 C 的万有引力作用下 a b 在同一平面内绕 c 沿逆时针 12 Mm Mm 方向做匀速圆周运动 轨道半径之比 则它们的周期之比 1 4 ab rr 从图示位置开始 在 b 运动一周的过程中 a b c 共线了 ab TT 次 用心 爱心 专心11 解析 根据 得 所以 r T m r 2 2 2 4Mm G GM r T 32 4 8 1 b a T T 在 b 运动一周的过程中 a 运动 8 周 a b c 共线了多少次 解法解法 1 1 物理情境分析法 物理情境分析法 在 a 运动第 1 周的时间内 b 运动了周 如下左图 a 与 b 共线 1 次 8 1 在 a 运动第 2 到第 4 周的时间内 b 运动了周 a 每周与 b 共线 2 次 在 a 运 8 3 动第 5 周的时间内 b 运动了周 如上中图 也是共线 1 次 在 a 运动第 6 8 1 到第 8 周的时间内 b 运动了周 a 每周与 b 共线 2 次 上右图是第 8 周 8 3 所以从图示位置开始 在 b 运动一周的过程中 a b c 共线了 14 次 解法解法 2 计算法 计算法 设从图示位置开始 在时间 t 内 a 转过的角度为 则 在时间 a t T t a aa 2 t 内 b 转过的角度为 则 因为 不妨设 则 b t T t b bb 2 8 1 b a T T 1Ta 所以有 转换为角度为 要求从8Tb t a 2 t b 4 t a 360 t b 45 图示位置开始 则从图示位置开始计时 因为沿逆时针方向 a 在 b 前 笔 0 55 者按原图用量角器量的 所以应该是 求在 b 运动一周的过程中 t a 360 55 a b c 共线了 次 即 将 和代入并整n b 180 a t a 360 55t b 45 理得 并且 63 11 63 36 nt80 t 为保险起见 我逐次计算 n 1 40 0 63 25 t1 用心 爱心 专心12 n 2 97 0 63 61 t2 在 a 运动的第 1 周 a b c 共线了 2 次 n 3 4 51 63 97 t3 在 a 运动的第 2 周 a b c 共线了 1 次 n 4 1 12 63 133 t4 n 5 68 2 63 169 t5 在 a 运动的第 3 周 a b c 共线了 2 次 n 6 25 3 63 205 t6 n 7 83 3 63 241 t7 在 a 运动的第 4 周 a b c 共线了 2 次 n 8 40 4 63 277 t8 n 9 97 4 63 313 t9 在 a 运动的第 5 周 a b c 共线了 2 次 n 10 54 5 63 349 t10 在 a 运动的第 6 周 a b c 共线了 1 次 n 11 11 6 63 385 t11 n 12 68 6 63 421 t12 在 a 运动的第 7 周 a b c 共线了 2 次 n 13 5 27 63 457 t13 n 14 3 87 63 493 t14 在 a 运动的第 8 周 a b c 共线了 2 次 n 15 不再计算 80 48 63 529 t15 综上 从图示位置开始 在综上 从图示位置开始 在 b b 运动一周的过程中 运动一周的过程中 a a b b c c 共线了共线了 1414 次 次 本题考查万有引力和圆周运动 难度 难 难在以前的题目从 a b 共线开始 在 b 运动一周的过程中 a b c 共线了 16 次 本题开始时刻 a b 不共线 所以少了 2 次 为 14 次 解法解法 3 3 公式法 公式法 设经过时间 t a b c 共线 1 次 则 因为 且 tt ba T 2 8 1 b a T T 用心 爱心 专心13 所以 所以在时间内 a b c 共线次数为 ba 8 b T14 t T n b 答案 1 8 14 进一步研究 进一步研究 a a b b c c 共线次数是否与初始位置有关 有什么关系 共线次数是否与初始位置有关 有什么关系 之前 我们看到过这样的题 初始位置 a b c 在一条线上 如下图 则根据 将和代入并整理得 n b 180 a t a 360 t b 45 n 7 4 63 36 nt 并且 所以 不变 a b c 共线的时间 时刻 分别是 80 t14 4 87 n