高考数学一轮复习 三次函数知识梳理2 苏教版

用心 爱心 专心 三次函数专题三次函数专题 一 考情分析 一 考情分析 在初中 已经初步学习了二次函数 到了高中又系统的学习和深化 了二次函数 三次函数是继二次函数后接触的新的多项式函数类型 它是二次函数的发展 和二次函数类似也有 与 x 轴交点个数 等类似问题 三次函数是目前高考的热点 20072007 年年 1313 题中档题题中档题 21 题基础题 题基础题 20082008 年年 1414 题题 难题难题 20092009 年年 3 3 题基础题题基础题 9 9 题难题题难题 20102010 年未涉及年未涉及 20112011 年年 1919 题压轴题题压轴题 从今年江苏高考来看二次函数型问题从今年江苏高考来看二次函数型问题 C C 级考点级考点 普片涉及较多本于三次函数导函数为二普片涉及较多本于三次函数导函数为二 次函数型 对三次函数问题的研究应注意强化 次函数型 对三次函数问题的研究应注意强化 二 知识梳理二 知识梳理 1 图像特征及零点分布 图像特征及零点分布 性质状态性质状态三三 次次 函函 数数 图图 象象说说 明明 a 对图象的影响 当当 a a 0 0 时 时 在在 右向上伸展 右向上伸展 x 左向下伸展 左向下伸展 x 当当 a a 0 0 时 时 在在 右向下伸展 右向下伸展 x 左向上伸展 左向上伸展 x 与 x 轴有三个交 点 03 2 acb0 21 xfxf 既两个极值异号 图象与既两个极值异号 图象与 x x 轴有三个交点轴有三个交点 与 x 轴有二个交 点 03 2 acb0 21 xfxf 既有一个极值为 既有一个极值为 0 0 图 图 象与象与 x x 轴有两个交点轴有两个交点 与 x 轴有一个交 点 1 1 存在极值时即 存在极值时即 03 2 acb0 21 xfxf 2 2 不存在极值 函数是单调 不存在极值 函数是单调 函数时图象也与函数时图象也与 x x 轴有一个轴有一个 交点 交点 用心 爱心 专心 2 2 极值情况 极值情况 三次函数三次函数 a 0 dcxbxaxxf 23 导函数为二次函数导函数为二次函数 0 23 2 acbxaxxf 二次函数的判别式化简为 二次函数的判别式化简为 3 4124 22 acbacb 1 若 则在上为增函数 03 2 acb xf 2 若 则在和上为增函数 03 2 acb xf 1 x 2 x 在上为减函数 其中 xf 21 xx a acbb x a acbb x 3 3 3 3 2 2 2 1 总结以上得到结论总结以上得到结论 三次函数 0 23 adcxbxaxxf 1 若 则在 R 上无极值 03 2 acb xf 2 若 则在 R 上有两个极值 且在处取得极大值 在03 2 acb xf xf 1 xx 处取得极小值 2 xx 由此三次函数的极值要么一个也没有 要么有两个 由此三次函数的极值要么一个也没有 要么有两个 三 经典讲练 三 经典讲练 例题 1 函数在时有极值 则的 322 f xxaxbxa 1 x10ba 值分别为 解析 由已知 得 即 2 32 fxxaxb 1 0 1 10 f f 2 23 9 ab aab 解得 34 311 aa bb 或 经检验 当时 不是极值点 当时 符合题意 3 3ab 1x 4 11ab 变式训练变式训练 临沂高新实验中学 7 已知函数 23 为常数dcbdcxbxxxf 4 0 k时 0 kxf只有一个实数根 当 有时0 4 0 kxfk3 个相异实根 现给出下列 4 个命题 用心 爱心 专心 函数 xf有 2 个极值点 函数 xf有 3 个极值点 xf 4 x f 0 有一个相同的实根 xf 0 和 x f 0 有一个相同的实根 其中正确命题的个数是 3 例题 2 05 全国二卷全国二卷 设设为实数 函数为实数 函数 a 32 f xxxxa 求 求的极值 的极值 f x 当 当在什么范围内取值时 曲线在什么范围内取值时 曲线与与轴仅有一个交点 轴仅有一个交点 a yf x x 解 I 若 则f xxx 321 2 f x 0 x 1 3 1 当 x 变化时 变化情况如下表 xfxf x 1 3 1 3 1 3 1 1 1 fx 0 0 f x 极大值 极小值 所以 f x 的极大值是 极小值是af 27 5 3 1 fa 11 II 函数f xxxxaxxa 322 111 由此可知 x 取足够大的正数时 有 x 取足够小的负数时有 所以f x 0f x 0 曲线与 x 轴至少有一个交点 结合 f x 的单调性可知 yf x 当 f x 的极大值 即时 它的极小值也小于 0 因此曲线 5 27 0 aa 5 27 与 x 轴仅有一个交点 它在上 yf x 1 当 f x 的极小值 即时 它的极大值也大于 0 因此曲线a 10a 1 与 x 轴仅有一个交点 它在上yf x 1 3 所以当时 曲线与 x 轴仅有一个交点 a 5 27 1 yf x 也可以直接用 1 1 0 3 ff 变式训练变式训练 a 为何值时为何值时 f x 的图象与直线 的图象与直线 y 1 恰有一个交点恰有一个交点 分析 分析 令 极大值 或极小值1 27 5 3 1 af11 1 af 用心 爱心 专心 例题例题 3 14 3 31f xaxx 对于 1 1x 总有 0f x 成立 则a 解析解析 本小题考查函数单调性及恒成立问题的综合运用 体现了分类讨论的数学思想 要使 0f x 恒成立 只要 min 0f x 在 1 1x 上恒成立 22 333 1 fxaxax 0 1当0a 时 31f xx 所以 min 20f x 不符合题意 舍去 0 2当0a 时 22 333 1 0fxaxax 即 f x单调递减 min 1 202f xfaa 舍去 0 3当0a 时 1 0fxx a 若 1 11a a 时 f x在1 1 a 和 1 1 a 上单调递增 在11 aa 上单调递减 所以 min 1 min 1 f xff a 1 40 04 11 1 20 fa a f aa 当 1 11a a 时 f x在 1 1x 上单调递减 min 1 202f xfaa 不符合题意 舍去 综上可知 a 4 变式练习 变式练习 江苏 扬州 14 若函数 32 1 3 f xxa x 满足 对于任意的 12 0 1x x 都有 12 1f xf x 恒成立 则a的取值范围是 22 3 3 33 例题例题 4 07 全国全国 II 理理 22 22 已知函数 已知函数 1 求曲线 求曲线在点在点 3 f xxx yf x 处的切线方程 处的切线方程 2 设 设 若过点 若过点可作曲线可作曲线的三条切线 的三条切线 M tf t 0a ab yf x 证明 证明 abf a 解 解 1 的导数的导数 曲线 曲线在点在点处的切线方程为 处的切线方程为 f x 2 31xx f yf x M tf t 用心 爱心 专心 即 即 yf tf txt 23 31 2ytxt 2 如果有一条切线过点 如果有一条切线过点 则存在 则存在 使 使 若过点 若过点可作可作 ab t 23 31 2btat ab 曲线曲线的三条切线 则方程的三条切线 则方程有三个相异的实数根 有三个相异的实数根 yf x 32 230tatab 记记 则 则 32 23g ttatab 2 66g ttat 6 t ta 当当 变化时 变化时 变化情况 变化情况 t g tg t 由由的单调性 当极大值的单调性 当极大值或极小值或极小值时 方程时 方程最多有一个实数最多有一个实数 g t0a b 0bf a 0g t 根 根 当当时 解方程时 解方程得得 即方程 即方程只有两个相异的实数根 只有两个相异的实数根 0ab 0g t 3 0 2 a tt 0g t 当当时 解方程时 解方程得得 即方程 即方程只有两个相异的实数只有两个相异的实数 0bf a 0g t 2 a tta 0g t 根 根 综上所述 如果过综上所述 如果过可作曲线可作曲线三条切线 即三条切线 即有三个相异的实数根 有三个相异的实数根 ab yf x 0g t 则则即即 0 0 ab bf a abf a 点评 点评 1 本题是前一个问题的延伸 其以导数几何意义为载体 本题是前一个问题的延伸 其以导数几何意义为载体 2 本题最终将问题转化为研究三次函数根的分布 采用极值 最值 控制法 本题最终将问题转化为研究三次函数根的分布 采用极值 最值 控制法 3 在这里应结合上面例题进一步揭示研究二次方程与三次方程实根分布问题在方法上在这里应结合上面例题进一步揭示研究二次方程与三次方程实根分布问题在方法上 的本质关系 以便进一步加深对函数极值 最值 的认识和对利用导数研究函数性的本质关系 以便进一步加深对函数极值 最值 的认识和对利用导数研究函数性 质质 变式练习 变式练习 启东中学 08 09 高二月考 20 设函数的图象如图所示 32 f xxaxbxc 且与直线y 0 在原点处相切 此切线与函数图象所围区域的面积为 27 4 t 0 0 0 a a a g x 0 0 g x 增函数增函数极大值极大值减函数减函数极小值极小值增函数增函数 用心 爱心 专心 1 求函数的解析式 yf x 2 设 如果过点可作函数的图象的三条切线 求证 1m m n yf x 1 3 mnf m 解 1 由图可知函数的图象经过 0 0 点 c 0 又图象与x轴相切于 0 0 点 3x2 2ax b y 0 3 02 2a 0 b 得b 0 则 3 分 32 f xxax 又 由图象知舍去 444 32 0 27 34124 a aaa xax dx 3a 3a 6 分 32 3f xxx 2 由 1 可知 2 36fxxx 设函数在点处的切线方程为 t f t 232 36 3 yttxttt 若切线过点 则存在实数 使 m nt 232 36 3 ntt mttt 即 令 则 32 2 33 60tmtmtn g t 32 2 33 6tmtmtn 2 66 1 66 1 g ttmtmtm t 当或时 当时 1 m 1t tm 0g t 1tm 0g t 在时取得极大值 g t 1t 1 31gmn 在时取得极小值 11 分tm g mnf m 如果过点可作函数的图象的三条切线 则方程 m n yf x 有三个相异的实数根 32 2 33 60tmtmtn 14 分 1 310 0 gmn g mnf m 1 3 mnf m 变式练习 变式练习 江都中学江都中学 08 0908 09 学年高二第二次月考学年高二第二次月考 已知函数已知函数在在xbxaxxf3 23 处取得极值处取得极值 1 x 求函数 求函数的解析式 的解析式 xf 用心 爱心 专心 求证 对于区间 求证 对于区间上任意两个自变量的值上任意两个自变量的值 都有 都有 1 1 21 x x4 21 xfxf 若过点 若过点可作曲线可作曲线的三条切线 求实数的三条切线 求实数的取值范围 的取值范围 2 1 mmA xfy m 解 依题意 323 2 bxaxxf0 1 1 ff 即 解得 0323 0323 ba ba 0 1 baxxxf3 3 xxxf3 3 1 1 333 2 xxxxf 当时 故在区间上为减函数 11 x0 x f xf 1 1 2 1 2 1 minmax fxffxf 对于区间上任意两个自变量的值 1 1 21 x x 都有 minmax21 xfxfxfxf 4 2 2 minmax21 xfxfxfxf 1 1 333 2 xxxxf 曲线方程为 点不在曲线上 xxy3 3 1 mA 设切点为 则点 M 的坐标满足 00 yxM 0 3 00 3xxy 因 故切线的斜率为 1 3 2 00 xxf 1 3 1 3 0 0 3 02 0 x mxx x 整理得 过点可作曲线的三条切线 0332 2 0 3 0 mxx 1 mA 关于方程有三个实根 0 x0332 2 0 3 0 mxx 设 则 332 2 0 3 00 mxxxg 0 2 00 66 xxxg 由 得或 0 0 x g0 0 x1 0 x 函数的极值点为 332 2 0 3 00 mxxxg0 0 x1 0 x 关于方程有三个实根的充要条件是 0 x0332 2 0 3 0 mxx0 0 1 gg 即 解得 0 2 3 mm23 m 课外拓展 课外拓展 1 1 已知函数 3 3f xxx 1 求函数在上的最大值和最小值 f x 3 3 2 2 过点作曲线的切线 求此切线的方程 2 6 P yf x