系列导体平行板静电平衡问题的讨论

第 xx 卷 第 x 期 大学物理 Vol xx No x 2013 年 月 COLLEGE PHYSICS 2013 1 系列导体平行板静电平衡问题的讨论 黄存可 赵凤吹 王祥高 郭进 广西大学物理科学与工程技术学院 广西南宁 530004 摘要 本文基于物理意义的挖掘 并运用等效原理和叠加原理 对系列平行导体板的静电平衡问题进行较为系统的研究 作者认为该类 型问题可以按边界条件的不同进行区域划分 每个区域都可以归纳为 几种基本类型中的一种 每种基本类型的求解过程都非常规范且简单 另外 还可以用整体法把多个导体板的问题转化为 2 个板的简单情况 关键词 边界条件 物理意义 等效原理 叠加原理 整体法 静电平衡问题是静电场中的重要问题 平行导体板系列和球形导 体系列是静电平衡问题中出现频率最高的两种典型问题 下面作者结合 自身教学实践 谈谈系列导体板的静电平衡问题 导体板接地后起静电屏蔽作用 其一侧的带电导体板无法影响另 外一侧导体板的电荷分布 即接地板可以视为一种边界 另外 无穷远 也是一种边界 于是可将系列导体板问题按边界性质分为 3 大类 1 两 边都是无限远边界 2 两边分别是接地和无限远边界 3 两边都是 接地边界 下面分别进行分类讨论 1 两边都是无限远边界情况 我们从一个最简单的常见例题 1 说起 已知 导体板 A 带电量 QA B 板带 QB 面积都为 S 图 1 不考虑 边缘效应 求 A B 板上各面的电荷密度 图 1 两个非接地导体板图 2 两相邻非接地板间 的电场分布及高斯面 收稿日期 2013 02 28 基金项目 广西高校精品课程 大学物理 建设项目 桂教高教 2010 100 号 广西高等教育教学改革工程项目 2012JGB107 作者简介 黄存可 1975 男 广西南宁人 博士 从事大学物理教学和功能材料研究 系列平行导体板静电平衡问题的讨论 2 解 静电平衡的基本方程有两种 一是静电平衡方程 二是电荷守恒 方程 设 4 个面的电荷密度和所激发的电场如图 1 所示 导体板 A 处于静 电平衡时 其内部的任意点 P 的电场为零 取电场向右为正 则有 1 0 2222 0 4 0 3 0 2 0 1 类似的 对导体板 B 有 2 0 2222 0 4 0 3 0 2 0 1 由 A B 板电荷守恒 分别有 3 A21 QSS 4 B43 QSS 解方程 1 4 得 5 S QQ 2 BA 32 5 式中 计算某面的电荷量时 该面的电荷取正 6 S QQ 2 BA 41 知道面电荷量情况 或面电荷密度 后 电场分布 电势差等其 他电学量都可以陆续求出 我们知道 每个导体板有 2 个面 对 n 个板则有 2n 个变量 每个板 可列 1 个静电平衡和 1 个电荷守恒方程 共可列 2n 个方程 虽可通过这 2n 阶的方程组解答出所有的面电荷密度 但可想象 求高于 6 阶方程 组的解已不容易 但如能对解答的数学形式赋予物理意义 无疑为问题 的拓展带来帮助 从 5 6 式所示解答的数学形式似乎包含这么一个规律 相邻板间 的电量相反 最外 2 个面的电量相等 如果这是一个规律 则可以减少 一半的未知量 使得求解方程的数量大大减少 第 xx 卷 第 x 期 大学物理 Vol xx No x 2013 年 月 COLLEGE PHYSICS 2013 3 图 3 用等效法求最外侧 2 个面分布电量的图示 取高斯面如图 2 1 由于电场方向垂直板面 因此高斯面侧面的电通量 为零 又因板内电场为零 故高斯面底面的电通量也为零 因此高斯面 内的电荷代数和为零 这就是解答 5 的物理解释 再讨论最外侧 2 个面电量相等的问题 由于没有边缘效应 对 32 和 应的电场只分布在两板之间 A 和 B 外侧的电荷不受该电场作用 因而 在它们的电荷分布与 AB 间电场无关 又因 2 和 3 面的总电量为零 因 此 在讨论 A 和 B 外侧电荷分布时 可以把 A 板和 B 板间的部分去掉 即 在仅讨论该外部电荷这个问题时 可等效为一个实心的 总电量为 QA QB的厚导体板 图 3 显然 两最外侧的电荷要对称分布 这可以 作为解答 6 的物理解释 如果是多个导体板 则在讨论最外侧的两个面 对电量分布时 也可以做类似等效处理 其结果也是 最外侧 2 个面 电量相等 电性相同 经过以上物理意义的探索 5 6 式两个数学解答可推广为有用的 推论 并由此直接得到 n 个定解方程 n 1 个相邻板间表面电量关系 1 个最外表面间电量关系方程 这使得方程组的阶数减半 然而 n 个导 体板对应的 n 阶方程的求解还是复杂的 故还需进一步探讨 我们知道 分布在各平板的面电荷量受 2 种情况影响 1 平板自 身的带电情况 2 其他平板的带电情况 电场满足叠加定理 而电场与 面电荷密度成正比 因此导体板的分布面电荷也满足叠加定理 即某个 面的分布电荷量是这些影响因素分别单独存在时的线性叠加 显然 单 个板带电的情况是可简单求解的 线性叠加的规律也是简单的 因此 我们可以退为进 用叠加原理求解 设有多个左右水平排列的 n 个非接地平行板导体 任意第 i 个板带 电为 Qi 对所有导体板 仅自身带电时 其电荷对称分布到自身的两个 表面 故每个面的电量都是 Qi 2 假设只有第 i 板带电而其他为中性 则分布在第 i 导体板每个面的电荷都会向外垂直激发电场 这使其他中 性导体板产生静电感应 由于第 i 导体板的施感 其他中性导体板中靠 近第 i 导体板一侧分布的感应电荷量为 Qi 2 而远离一侧的面感应电荷 量为 Qi 2 总体上说 对某个面而言 除了自身电荷外 还有其他 n 1 系列平行导体板静电平衡问题的讨论 4 个导体板施感而导致该面感应的分布电荷 其中 与其同侧的任一导体 板 j 使该面带的感应电荷量为 Qi 2 而异侧的任一板 k 导致该面带的感 应电荷量为 Qk 2 对第 j 块板的左侧而言 其近端左侧有 j 1 个板 其远端右侧有 n j 个板 第 j 板左侧面 序号为 2j 1 或用下标 jL 表示 的总电荷量 为 各板单独带电情况的线性叠加 即 或 7 n j 1 j 1 1 2j 22 i i i i QQ Q n j 1 j 1 jL 22 i i i i QQ Q 对第 j 板右侧面 序号为 2j 或用下标 jR 表示 靠近其的有右侧 n j 个板 远离的有其左侧的 j 1 个板 类似的可以求出总分布电荷量为 或 8 n 1j j 1 2j 2 2 i i i i QQ n 1j j 1 jR 2 2 i i i i QQ 其中的符号规律是 自身贡献取正 近端 或同侧 板贡献取负 远端 或异侧 板贡献取正 到这里 我们看到 在了解物理意义的情况下 其实可以直接写 出 n 个导体板的 2n 阶方程组的解答 用数学语言说 如果理解解答物理 意义后就可以直接把表示 2n 阶方程组的 2n 阶矩阵对角化 此时我们只 需简单的代数运算就可得到解答 而不需要复杂的矩阵对角化运算 我 们可以看到 对物理问题的计算机解答而言 很多情况下物理意义明 晰的算法 往往比只注重数学计算方法优化的算法 如矩阵对角化优 化算法 还更高效 这里 我们完全可以基于此写出高效的程序语言 如 mathlab 来求解系列平行板导体的问题 如任意第 j 板电量为零 由 7 8 式可知 其他板的电荷分布不受 其影响 由此我们可以得到一个有用推论 中性导体平板不影响其他平 行导体板的面电量分布情况 以上方法只能对板电量固定的情况适用 对接地板而言 其电量不 是确定的 因而不能直接使用 7 8 式求解 下面探讨存在接地板情况的 简便解法 2 一端接地另外一端是无限远的情况 又可以分为两种情况 一是接地板在外侧 二是接地板不在最外 第 xx 卷 第 x 期 大学物理 Vol xx No x 2013 年 月 COLLEGE PHYSICS 2013 5 侧 2 1 接地板在最外侧 先以最简单的 2 个板情况为例 图 4 接地导体板在最外侧的情况 图 4 中 B 为接地板 其外侧是无限远 由于与无限远等势 B 接地 板和无限远间无电势差 故它们间无电场线 因此接地板 B 靠无限 远的面电荷为零 容易知道 A 板外侧的电量也为零 反之 如果 A 板左 侧带电 由于左侧电场线的存在会使 A 板相对无限远的电势为无限大 而 A 板对右侧接地板 B 的电势则为有限大 两者矛盾 故 Q1 Q4 0 Q2 QA Q3 QA 我们可从物理意义进行解释 接地或无限 远都是零电势 而指向接地板时的电势梯度更大 此时系统的电场能 也更小 因此 A 板所有电场线都向其指接地板 B 最终使得接地板 B 带电为 A 板总电量的相反值 当有多块导体平板时 可以用叠加原理求解 依次计算仅某非接 地板带电而其他非接地板为中性的情况 然后进行叠加 由于中性薄板 不影响其他板的电荷分布 易知每次都是接地板外侧电量为零 而内 侧电量等于某带电非接地板电量的相反值 因此 当存在多个带电接地 板情况下 接地板内侧的电量为 1 1 n i i Q 另外 当系统到达平衡后 把接地线去掉 系统的电学状态不会 发生变化 因此 可把序号为 n 的边界接地导体板 可等效为带电量为 的非接地板 此时可转化为各板电荷固定的情况 可以用前面的 1 1 n i i Q 两端是无限远边界的解法求解 这样处理的一个好处是 如用计算机编 程求解的话 可以调用统一的子程序 2 2 接地板不在最外侧 系列平行导体板静电平衡问题的讨论 6 由于静电屏蔽 非外侧接地导体板将体系在接地板处划分为两个独 立的部分 图 5 两个独立部分都是 2 1 节所示情况 可以分别用 2 1 节所述情况求解 但要注意 不能将接地板 j 等效为一个电量为其左侧 j 1 个板 和 右侧 n j 个板上电量代数和的负值 因为这样处理相当于接地板的两侧 互有影响 这与静电屏蔽的实质不符合 图 5 接地板不在最外侧情况 a 可等价为 2 个接地板在最外侧的 情况 b 如果写计算机程序求解 可以分别求 2 个互相屏蔽掉导体板系列对 应的矩阵 还可把求解好的 2 个子矩阵重新组合为一个大的分块矩阵 通过这一节 还可以得到一个推论 只要有接地板存在 最外侧两个 面的电量都为零 不管接地板有多少个 也不管接地板是否在最外侧 3 两边都接地情况 图 6 中 最左的第 1 板和最右的第 n 板接地 假设第 1 和第 n 板中 只有 1 个板 为不失一般性 称之为第 i 板 其带电为 Qi 其左侧电 量为 QiL 右侧为 QiR 图 6 两边都是接地边界的情况 第 xx 卷 第 x 期 大学物理 Vol xx No x 2013 年 月 COLLEGE PHYSICS 2013 7 第 i 板分别相对第 1 板和第 n 板的电势相等 9 ini UU 1 即 10 ininii dEdE 11 可解得 2 第 i 板左侧的电量为 11 i ini in i Q dd d Q 1 1 右侧电量为 12 i ini i iR Q dd d Q 1 1 接地的第 1 板右侧和第 n 板左侧电量 则分别取为第 2 板左侧 和第 n 1 板右侧电量的相反值即可 如果再在两接地板间插入无厚度一个中性导体薄板 j 图 6 虚线部 分 由于中性板 j 不改变原第 i 板相对两接地板的距离 也不改变原 来的电场分布 因此中性导体薄板 j 不影响其插入前的面电荷分布情况 因 此 依然可以用叠加原理对两边都是接地边界的情况进行求解 当两个 接地板中有多个带电非接地薄板时 某非接地板某侧的电量 等于分 别只有 1 个带电非接地板情况下 所求面上分布电量的线性叠加 13 i ini in n i iL Q dd d Q 1 1 2 14 i ini i n i iR Q dd d Q 1 1 1 2 如果是有厚度的非接地板 则把所有非接地板的厚度扣除即可 此 时 第 i 板到其右侧接地的第 n 板距离为 第 i 板右侧到第 n 板左侧的 距离 减去它们间所有板的总厚度 其他的以此类推 需要说明 与其他 两种情况不同 在两边有接地导体板情况下 有厚度的中性导体板 会改变其他面的电荷分布情况 但用等效法处理后 折算为薄板 改变距离的定义 解答的数学形式不变 有了以上典型情况的讨论后 更复杂的情况都可以先按照接地和 无限远的边界条件进行区域划分 每个区域总属于 3 个大类 地 地地 中的一种 然后对每个区域分别处理 如果用统一的矩阵 表示 被接地导体划分为多个基本区域的情况 就对应于多个分块矩 系列平行导体板静电平衡问题的讨论 8 阵 4 系列平行板导体问题的整体法求解 虽然以上方法是较规范的求解方法 可直接写出所有通解 但也可 以用整体法直接求解某个面的面电荷量 这里整体法也是一种等效方法 其思路是将部分连续的板视为一个整体 我们以图 7 情况为例进行说明 图 7 中 当只需讨论第 i 板中右侧面的分布电荷量 QiR时 可将 第 i 板与其左侧的所有板视为一个整体 第 i 板右侧的所有板视为一个 整体 左侧整体的总电量为 右侧整体的总电量为 j 1 QQ i j 左总 此时相当于 2 个板的情况 很容易套用 5 式解得 j 1 QQ n ij 右总 15 2 右总左总 QQ QiR 通过整体法 可以把多个导体板的复杂情况 转化为只有 2 个板 的简单情况 这里特别指出 用整体法时 不要跨过接地边界 图 7 应用整体法的示意图 5 结束语 教学实践证明 学生可通过简单练习就掌握以上方法 掌握以上方 法后 学生可以游刃有余的处理系列平行板导体的静电平衡问题 而 且基于以上讨论也易用计算机语言写出规范而高效的计算程序 对于物理的学习 很多学生是 一看就懂 一做就错 我认为 很多学生只是做一些零散的习题 只注重得到数学的形式解答而不注 重解答的物理意义挖掘 也不注重对典型的习题进行拓展而形成典型 的物理类型题知识 毕竟 有序的结构化知识 才是容易记忆和使用的 另外 要注意物理基本原理在解题中的合理运用 本文中 静电屏 蔽原理 等效原理 叠加原理对平行板静电平衡类型题的拓展和解法 规范起到了非常重要的作用 第 xx 卷 第 x 期 大学物理 Vol xx No x 2013 年 月 COLLEGE PHYSICS 2013 9 参考文献 1 郭进 刘奕新 冯禄燕 等 M 大学物理 下册 科学出版社 2009 2 马文蔚 M 物理学 中册 第 2 版 高等教育出版社 2002 Discussions on electrostatic equilibrium problem of series parallel conductor plates HUANG Cun ke ZHAO Feng chui WANG Xiang gao GUO Jin College of Physics Science an