相遇及追及问题(含答案)

相遇及追击问题 一 相遇及追击问题 一 一 填空题 共 12 小题 1 五羊公共汽车公司的 555 路车在 A B 两个总站间往返行驶 来回均为每隔 x 分钟发车一次 小宏在 大街上骑自行车前行 发现从背后每隔 6 分钟开过来一辆 555 路车 而每隔 3 分钟则迎面开来一辆 555 路车 假设公共汽车与小宏骑车速度均匀 忽略停站耗费时间 则 x 分钟 2 在一条街 AB 上 甲由 A 向 B 步行 乙骑车由 B 向 A 行驶 乙的速度是甲的速度的 3 倍 此时公共 汽车由始发站 A 开出向 B 行进 且每隔 x 分发一辆车 过了一段时间 甲发现每隔 10 分有一辆公共汽车 追上他 而乙感到每隔 5 分就碰到一辆公共汽车 那么在始发站公共汽车发车的间隔时间 x 分钟 3 小王沿街匀速行走 发现每隔 6 分钟从背后驶过一辆 18 路公交车 每隔 3 分钟从迎面驶来一辆 18 路 公交车 假设每辆 18 路公交车行驶速度相同 而且 18 路公交车总站每隔固定时间发一辆车 那么发车 间隔的时间是 分钟 4 小锋骑车在环城路上匀速行驶 每隔 5 分钟有一辆公共汽车从对面向后开过 每隔 20 分钟又有一辆 公共汽车从后向前开过 若公共汽车也匀速行驶 不计中途耽误时间 则公交车车站每隔 分钟开出一辆公共汽车 5 某人在公共汽车上发现一个小偷向反方向步行 10 秒钟后他下车去追小偷 如其速度比小偷快一倍 比汽车慢 则追上小偷要 秒 6 某人沿电车路线行走 每 12 分钟有一辆电车从后面赶上 每 4 分钟有一辆电车迎面开来 若行人与 电车都是匀速前进的 则电车每隔 分钟从起点开出一辆 7 某公交公司停车场内有 15 辆车 从上午 6 时开始发车 6 时整第一辆车开出 以后每隔 6 分钟再开 出一辆 第一辆车开出 3 分钟后有一辆车进场 以后每隔 8 分钟有一辆车进场 进场的车在原有的 15 辆 车后依次再出车 问到 点时 停车场内第一次出现无车辆 2 8 通讯员从队伍末尾追赶至队伍前头时用全速进行 其速度为队伍的 3 倍 当他从队伍前面返回队伍末 尾时每分钟减少 100 米 在队伍前进过程中 通讯员连续三次往返执行任务 途中花费时间共 1 小时 其中三次往返队伍末尾时间比三次追赶队伍前头时间共少用 12 分钟 则队伍的长为 9 男女运动员各一名 在环行跑道上练习长跑 男运动员比女运动员速度快 如果他们从同一起跑点沿 相反方向同时出发 那么每隔 25 秒相遇一次 现在他们从同一起跑点沿相同方向同时出发 男运动员经 过 15 分钟追上女运动员 并且比女运动员多跑了 16 圈 女运动员跑了 圈 10 有甲 乙两辆小汽车模型 在一个环形轨道上匀速行驶 甲的速度大于乙 如果它们从同一点同时 出发沿相反方向行驶 那么每隔 1 分钟相遇一次 现在 它们从同一点同时出发 沿相同方向行驶 当 甲第一次追上乙时 乙已经行驶了 4 圈 此时它们行驶了 分钟 11 一路电车的起点和终点分别是甲站和乙站 每隔 5 分钟有一辆电车从甲站发车开往乙站 全程要走 15 分钟 有一个人从乙站出发沿电车路线骑车前往甲站 他出发的时候 恰好有一辆电车到达乙站 在 路上他又遇到了 10 辆迎面开来的电车 才到达甲站 到甲站时恰好又有一辆电车从甲站开出 问他从乙 站到甲站用了 分钟 12 如图 在矩形 ABCD 中 AB 4cm AD 12cm 点 P 从点 A 向点 D 以每秒 1cm 的速度运动 Q 以每 秒 4cm 的速度从点 C 出发 在 B C 两点之间做往返运动 两点同时出发 点 P 到达点 D 为止 这段时 间内线段 PQ 有 次与线段 AB 平行 13 巴蜀初 2012 级第一次月考 16 题 某人从甲地走往乙地 甲 乙两地之间有定时的公共汽车往返 且两地发车的时间间隔都相等 他发现每隔 6 分钟开过来一辆去甲地的公共汽车 每隔 12 分钟开过来一 辆去乙地的公共汽车 则公共汽车每隔几分钟从各自的始发站发车 假设每辆公共汽车的速度相同 3 相遇及追击问题 一 相遇及追击问题 一 答案与评分标准答案与评分标准 一 填空题 共 12 小题 1 五羊公共汽车公司的 555 路车在 A B 两个总站间往返行驶 来回均为每隔 x 分钟发车一次 小宏在 大街上骑自行车前行 发现从背后每隔 6 分钟开过来一辆 555 路车 而每隔 3 分钟则迎面开来一辆 555 路车 假设公共汽车与小宏骑车速度均匀 忽略停站耗费时间 则 x 4 分钟 考点 三元一次方程组的应用 专题 行程问题 分析 可设路车和小宏的速度为未知数 等量关系为 6 路车的速度 小宏的速度 x 路车的速度 3 路车的速度 小宏的速度 x 路车的速度 消去 x 后得到路程速度和小宏速度的关系式 代入任意 一个等式可得 x 的值 解答 解 设路车的速度为 a 小宏的速度为 b 解得 a 3b 代入第 2 个方程得 x 4 故答案为 4 点评 考查 3 元一次方程组的应用 消元是解决本题的难点 得到相遇问题和追及问题的等量关系是解 决本题的关键 2 在一条街 AB 上 甲由 A 向 B 步行 乙骑车由 B 向 A 行驶 乙的速度是甲的速度的 3 倍 此时公共 汽车由始发站 A 开出向 B 行进 且每隔 x 分发一辆车 过了一段时间 甲发现每隔 10 分有一辆公共汽车 追上他 而乙感到每隔 5 分就碰到一辆公共汽车 那么在始发站公共汽车发车的间隔时间 x 8 分钟 考点 二元一次方程的应用 专题 行程问题 分析 设公共汽车的速度为 V1 甲的速度为 V2 因为两辆车间隔距离相等 汽车与甲是追及问题 即甲 与汽车之间距离为 s 10 V1 V2 汽车与乙是相遇问题 即乙与汽车之间的距离为 s 5 V1 3V2 根据 上面两式可得到 V1 5V2 再代入 即可求得的值 至此问题得解 解答 解 设公共汽车的速度为 V1 甲的速度为 V2 由题意得 由 得 0 5V1 25V2 即 V1 5V2 将 代入 得 s 10 V1 V1 8 故答案为 8 点评 本题考查二元一次方程组的应用 解决本题的关键是将本题理解为追及与相遇问题 解得未知数 的比例关系 即为本题的解 4 3 小王沿街匀速行走 发现每隔 6 分钟从背后驶过一辆 18 路公交车 每隔 3 分钟从迎面驶来一辆 18 路 公交车 假设每辆 18 路公交车行驶速度相同 而且 18 路公交车总站每隔固定时间发一辆车 那么发车 间隔的时间是 4 分钟 考点 有理数的加减混合运算 专题 应用题 分析 根据路程 速度 时间 则此题中需要用到三个未知量 设车的速度是 a 人的速度是 b 每隔 t 分 发一班车 然后根据追及问题和相遇问题分别得到关于 a b t 的方程 联立解方程组 利用约分的方法 即可求得 t 解答 解 设车的速度是 a 人的速度是 b 每隔 t 分发一班车 二辆车之间的距离是 at 车从背后超过是一个追及问题 人与车之间的距离也是 at 那么 at 6 a b 车从前面来是相遇问题 那么 at 3 a b 得 a 3b 所以 at 4a t 4 即车是每隔 4 分钟发一班 点评 注意 此题中涉及了路程问题中的追及问题和相遇问题 解方程组的时候注意技巧 4 小锋骑车在环城路上匀速行驶 每隔 5 分钟有一辆公共汽车从对面向后开过 每隔 20 分钟又有一辆 公共汽车从后向前开过 若公共汽车也匀速行驶 不计中途耽误时间 则公交车车站每隔 8 分钟开出 一辆公共汽车 考点 三元一次方程组的应用 专题 行程问题 分析 设相邻汽车间距离为 L 汽车速为 V1 自行车为 V2 间隔时间为 t 根据题意列出三元一次方程 组 并解方程组即可 解答 解 设相邻汽车间距离为 L 汽车速为 V1 自行车为 V2 间隔时间为 t 则根据题意 得 由 得 V1 V2 将 代入 解得 t 8 故答案是 8 点评 本题考查了三元一次方程组的应用 解答此题的关键是列出方程组 用代入消元法或加减消元法 求出方程组的解 5 5 某人在公共汽车上发现一个小偷向反方向步行 10 秒钟后他下车去追小偷 如其速度比小偷快一倍 比汽车慢 则追上小偷要 110 秒 考点 一元一次方程的应用 专题 行程问题 分析 可以设车的速度为 x 则某人的速度为 x 小偷的速度为x 设 t 秒可以追上小偷 根据汽 车 10 秒行驶的路程 10 t 秒小偷的路程 某人的行程列出方程求解即可 解答 解 设车的速度为 x 米 秒 则某人的速度为 x 米 秒 小偷的速度为x 米 秒 设 t 秒可以追 上小偷 根据题意得 10 x x t 10 xt 解得 t 110 秒 故答案填 110 点评 本题考查了一元一次方程的应用 解题关键是要读懂题目的意思 根据题目给出的条件 找出合 适的等量关系列出方程 再求解 6 某人沿电车路线行走 每 12 分钟有一辆电车从后面赶上 每 4 分钟有一辆电车迎面开来 若行人与 电车都是匀速前进的 则电车每隔 6 分钟从起点开出一辆 考点 二元一次方程组的应用 专题 方程思想 分析 每 12 分钟有一辆电车从后面赶上属于追及问题 等量关系为 电车 12 分走的路程 行人 12 分走 的路程 两辆电车相间隔的路程 每 4 分钟有一辆电车迎面开来 是相遇问题 等量关系为 电车 4 分走 的路程 行人 4 分走的路程 两辆电车相间隔的路程 两辆电车间隔的路程为两辆电车相隔的时间 电车的 速度 解答 解 设电车的每分走 x 行人每分走 y 电车每隔 a 分钟从起点开出一辆 则 两式相减得 x 2y 把 x 2y 代入方程组任何一个式子都可以得到 a 6 点评 本题考查行程问题中的相遇问题和追及问题 那么就需要弄清相应的模式加以分析 7 某公交公司停车场内有 15 辆车 从上午 6 时开始发车 6 时整第一辆车开出 以后每隔 6 分钟再开 出一辆 第一辆车开出 3 分钟后有一辆车进场 以后每隔 8 分钟有一辆车进场 进场的车在原有的 15 辆 车后依次再出车 问到 11 5 点时 停车场内第一次出现无车辆 考点 一元一次不等式的应用 专题 应用题 分析 可设 6 时后 x 分时出现无车辆 根据无车时进场车所用的总时间大于出场的车所用的总时间可得 关系式为 8 进场车数 6 出场车数 3 可先得到 x 的值进而计算所用时间 解答 解 设 6 时后开出第 x 辆车后停车场无车 8 x 15 6 x 1 3 解得 x 55 5 开出第 56 辆车后停车场无车 所用时间为 56 1 6 60 5 5 小时 6 到 11 5 时第一次出现无车 故答案为 11 5 点评 考查一元一次不等式的应用 得到无车辆时相应时间的关系式是解决本题的关键 8 通讯员从队伍末尾追赶至队伍前头时用全速进行 其速度为队伍的 3 倍 当他从队伍前面返回队伍末 尾时每分钟减少 100 米 在队伍前进过程中 通讯员连续三次往返执行任务 途中花费时间共 1 小时 其中三次往返队伍末尾时间比三次追赶队伍前头时间共少用 12 分钟 则队伍的长为 40 米 考点 应用类问题 分析 此题根据题意先分析出每一天往返的时间和每一次往返时间差 得出赶队伍前时间和返回时间 然后设出队伍速度和队伍长的长 在分两种情况 赶过程和返过程列出方程 得出队伍的长 解答 解 每一天往返的时间为 h 每一次往返时间差为h 所以赶队伍前时间为h 返回时间为h 设队伍速度为 x 米 小时 队伍长为 y 米 赶过程 y 3x x 返过程 y 3x 100 x 解 得 x 把 代入 解得 x 100 y 40 所以队伍的长为 40 米 故填 40 米 点评 此题考查了应用类问题 解题的关键是读懂题意 分析出每一天往返的时间和每一次往返的时间 差 列出方程 9 男女运动员各一名 在环行跑道上练习长跑 男运动员比女运动员速度快 如果他们从同一起跑点沿 相反方向同时出发 那么每隔 25 秒相遇一次 现在他们从同一起跑点沿相同方向同时出发 男运动员经 过 15 分钟追上女运动员 并且比女运动员多跑了 16 圈 女运动员跑了 10 圈 考点 一元一次方程的应用 专题 行程问题 分析 易得男女运动员合跑一圈需要 25 秒 看 15 分钟可合跑几圈 列出方程求解即可 解答 解 设女运动员跑了 x 圈 则男运动员跑了 x 16 圈 则 x x 16 15 60 25 解得 x 10 故答案为 10 点评 考查一元一次方程的应用 得到追及问题中男女运动员合跑圈数的等量关系是解决本题的关键 10 有甲 乙两辆小汽车模型 在一个环形轨道上匀速行驶 甲的速度大于乙 如果它们从同一点同时 出发沿相反方向行驶 那么每隔 1 分钟相遇一次 现在 它们从同一点同时出发 沿相同方向行驶 当 甲第一次追上乙时 乙已经行驶了 4 圈 此时它们行驶了 12 分钟 考点 一元一次方程的应用 分析 首先假设出甲的速度为每分钟 x 米 乙每分钟行驶 y 米 根据已知表示出环形轨道一圈的距离 与甲 乙一共行驶的路程 路程除以速度 即是所用时间 解答 解 设甲的速度为每分钟 x 米 乙每分钟行驶 y 米 根据题意得 7 环形轨道一圈的距离为 1 x y 甲第一次追上乙时 乙已经行驶了 4 圈 甲已经行驶了 5 圈 甲 乙一共行驶了 9 圈 甲 乙一共行驶了 9 1 x y 米 根据它们的速度之和为 x y 此时它们行驶了 9 1 x y x y 12 分钟 故答案为 12 点评 此题主要考查了一元一次方程的应用 得出甲 乙所行的路程 与速度是解决问题的关键 11 一路电车的起点和终点分别是甲站和乙站 每隔 5 分钟有一辆电车从甲站发车开往乙站 全程要走 15 分钟 有一个人从乙站出发沿电车路线骑车前往甲站 他出发的时候 恰好有一辆电车到达乙站 在 路上他又遇到了 10 辆迎面开来的电车 才到达甲站 到甲站时恰好又有一辆电车从甲站开出 问他从乙 站到甲站用了 40 分钟 考点 一元一次方程的应用 分析 先根据题意可得出骑车人从乙站到甲站所用时间正好是第 4 辆电车从甲站开出到第 12 辆电车由甲 站开出之间的时间 列出式子即可求出结果 解答 解 由题意可得骑车人一共看见 12 辆电车 因每隔 5 分钟有一辆电车开出 而全程需 15 分 所以骑车人从乙站出发时 第 4 辆车正从甲站开出 骑车人到达甲站时 第 12 辆车正从甲站开出 所以 骑车人从乙站到甲站所用时间就是第 4 辆电车从甲开出到第 12 辆电车由甲开出之间的时间 即 12 4 5 40 故答案为 40 点评 本题主要考查了学生如何分析较复杂的路程问题 解题关键是要读懂题目的意思 会根据题目给 出的条件 找出其中的数量关系 求出答案 12 如图 在矩形 ABCD 中 AB 4cm AD 12cm 点 P 从点 A 向点 D 以每秒 1cm 的速度运动 Q 以每 秒 4cm 的速度从点 C 出发 在 B C 两点之间做往返运动 两点同时出发 点 P 到达点 D 为止 这段时 间内线段 PQ 有 4 次与线段 AB 平行 考点 矩形的性质 专题 动点型 分析 由已知可得 点 Q 需要 4 次到达 B 点 而在每次的运动过程中都有一次 PQ AB 根据 AD BC PQ AB 则可知四边形 APQB 是平行四边形 则当 PA BQ 时四边形 APQB 是平行四边形 列 方程求解即可得到所需时间 解答 解 根据已知可知 点 Q 需要 4 次到达 B 点 在点 Q 第一次到达点 B 的过程中 四边形 ABCD 是矩形 8 AD BC 若 PQ AB 则四边形 APQB 是平行四边形 AP BQ 设过了 t 秒 PQ AB 则 PA t BQ 12 4t t 12 4t t 2 4 s 在点 Q 第二次到达点 B 的过程中 设过了 t 秒 则 PA t BQ 12 4 t 3 解得 t 4 8 s 在点 Q 第三次到达点 B 的过程中 设过了 t 秒 则 PA t BQ 12 4 t 6 解得 t 7 2 s 在点 Q 第四次到达点 B 的过程中 设过了 t 秒 则 PA t BQ 12 4 t 9 解得 t 9 6 s 这段时间内线段 PQ 有 4 次与线段 AB 平行 故答案为 4 点评 此题考查了矩形的性质与平行四边形的判定与性质 此题属于运动型题目 此题属于中档题 解 题时要注意数形结合与方程思想的应用 13 某人从甲地走往乙地 甲 乙两地之间有定时的公共汽车往返 且两地发车的时间间隔都相等 他 发现每隔 6 分钟开过来一辆去甲地的公共汽车 每隔 12 分钟开过来一辆去乙地的公共汽车 则公共汽车 每隔几分钟从各自的始发站发车 假设每辆公共汽车的速度相同 解答一 分析 本题属行程问题 由于每辆公共汽车速度相同 且两地发车时间都相等 所以往同一方向行驶的相邻的 汽车距离是相等的 不妨设此距离为单位 1 每隔 12 分钟从身后过来一辆公共汽车 即每隔 12 分钟 汽车比人 多走单位 1 的路程 而每隔 6 分钟从对面来一辆公共汽车 即每 6 分钟人和汽车共同走完单位 1 的路程 解答 设往同一方向行驶的相邻两辆公共汽车之间距离为 1 人单独走完此单位 1 的距离用 X 分钟 公共汽 车单独行完单位 1 的距离用 Y 分钟 1 Y 1 X 1 6 1 1 Y 1 X 1 12 2 解之得 Y 8 即公共汽车每隔 8 分钟从各自的车站发一辆车 解答二 分析 设他某个时间刚好同时遇上两种车 这时候他身后的一个发车间距离有 A 车 身前两个距离有 B 车 然后总共三个距离 要走 12 分钟相遇 所以身后的车就是 12 分钟走了 1 5 个距离 所以 8 分钟走一个距离 所以每 8 分钟发一辆车 9 方程法 设车走一个发车间距要 x 分钟 人要 y