高中数学 第三章 第三课时 两角和与差的正切教案 苏教版必修3

1 第三课时第三课时 两角和与差的正切两角和与差的正切 教学目标 掌握T T 的推导及特征 能用它们进行有关求值 化简 提高学生简单 的推理能力 培养学生的应用意识 提高学生的数学素质 教学重点 两角和与差的正切公式的推导及特征 教学难点 灵活应用公式进行化简 求值 教学过程 复习回顾 sin sin cos cos sin S sin sin cos cos sin S cos cos cos sin sin C cos cos cos sin sin C 要准确把握上述各 公式的结构特征 讲授新课一 推导公式 上述公式结合同角三角函数的基本关系式 我们不难得出 当 cos 0 时 tan sin cos sin cos cos sin cos cos sin sin 如果 cos cos 0 即 cos 0 且 cos 0 我们可以 将分子 分母都除以 cos cos 从而得到 tan tan tan 1 tan tan 不难发现 这一式子描述了两角 与 的和的正切与这两角的正切的关系 同理可得 tan tan tan 1 tan tan 或将上式中的 用 代替 也可得到此式 这一式子又描述了两角 与 的差的正切与这两角的正切的关系 所以 我们将这两式分别称为两角和的正切公式 两角差的正切公式 简记为T T 但要注意 运用公式T 时必须限定 都不等于 k k Z Z 2 因为 tan k 不存在 2 下面我们看一下它们的应用 二 例题讲解 例 1 不查表求 tan75 tan15 的值 解 tan75 tan 45 30 2 2 tan450 tan300 1 tan450tan3003 tan15 tan 45 30 2 tan450 tan300 1 tan450tan3003 例 2 求下列各式的值 1 2 tan710 tan260 1 tan710tan260 1 tan2750 tan750 1 分析 观察题目结构 联想学过的公式 不难看出可用两角差的正切公式 解 tan 71 26 tan45 1 tan710 tan260 1 tan710tan260 2 分析 虽不可直接使用两角和的正切公式 但经过变形可使用之求解 解 由 tan150 tan 75 75 2tan750 1 tan2750 得 2 1 tan2750 tan750 1 tan2750 2tan750 2 2cot150 2cot 180 30 2cot30 2 1 tan15003 说明 要熟练掌握公式的结构特征 以灵活应用 例 3 利用和角公式计算的值 1 tan150 1 tan150 分析 因为 tan45 1 所以原式可看成 tan450 tan150 1 tan450tan150 这样 我们可以运用正切的和角公式 把原式化为 tan 45 15 从而求得原式的 值 解 tan45 1 tan 45 15 tan60 1 tan150 1 tan150 tan450 tan150 1 tan450tan1503 说明 在解三角函数题目时 要注意 1 的妙用 例 4 若 tan tan 求 tan 的值 2 5 4 1 4 4 分析 注意已知角与所求角的关系 则可发现 所以 4 4 可将 化为 从而求得 tan 的值 4 4 4 解 tan tan 4 4 3 将 tan tan 代入上式 则 原式 2 5 4 1 4 3 22 例 5 已知 tan tan 求 tan 2 1 2 2 5 解 2 tan 2 tan 2 tan 2 tan tan tan tan tan 1 1 12 4 证明 tan tan 3x 2 x 2 2sinx cosx cos2x 分析 细心观察已知等式中的角 发现它们有隐含关系 2x x 3x 2 x 2 3x 2 x 2 sinx sincos cossin 3x 2 x 2 3x 2 x 2 cosx cos2x 2coscos 3x 2 x 2 即得 tan tan 2sinx cosx cos2x 3x 2 x 2 课堂练习 1 化简下列各式 1 tan 1 tan tan 2 1 tan tan tan 3 tan tan 1 tan tan 解 1 tan 1 tan tan 1 tan tan tan tan tan tan 1 tan tan 2 1 1 1 tan tan 1 tan tan tan tan tan 3 tan tan tan tan 1 tan tan 说明 这一题目若将 tan 用两角差的正切公式展开 则误入歧途 要注意整 体思想 2 求值 1 2 tan350 tan250 1 tan350tan250 tan860 tan260 1 tan860tan260 3 tan21 1 tan24 tan24 4 解 1 tan 35 25 tan60 tan350 tan250 1 tan350tan2503 2 tan 86 26 tan60 tan860 tan260 1 tan860tan2603 3 分析 因为 tan21 tan 45 24 tan450 tan240 1 tan450tan240 又因为 tan45 1 所以 1 tan24 1 tan45 tan24 这样 可将原式化为 tan 45 24 1 tan45 tan24 tan24 从而求得原式的值 解 tan2 1 1 tan24 tan24 tan 45 24 1 tan45 tan24 tan24 1 tan45 tan24 tan24 1 tan450 tan240 1 tan450tan240 课时小结 正切的和 差角公式以及它们