高三数学解题方法谈：解决空间图形问题的四大“法宝”

解决空间图形问题的四大解决空间图形问题的四大 法宝法宝 立体几何试题是高考必须拿下的 奶酪 其多以平行 相交 垂直 角 距离 面 积和体积问题为载体 以点 线 面的各种位置关系以及球体为对象命题 重在考查学生 是否具备扎实的基础知识和基本技能 破解的 法宝 则是推理 想象 转化和计算能力 一 推理能力 例 1 对于任意直线 l 与平面 在平面内必有直线 m 使 m 与 l A 平行 B 相交 C 垂直 D 互为异面直线 解析 抓住题中的关键词 任意 与 必有 那么 l 可以在平面外 也可以在平面 内 当 l 在平面外时 还有与平面相交与平行两种可能 不管在何种情况下 平面 内必有直线 m l 故选 C 点评 突出考查的是空间想象能力和推理能力 应该为这道小而巧的题目叫好 例 2 若一条直线与正四棱柱的各个面所成的角都为 则 cos 解析 最特殊的正四棱柱为正方体 它的对角线与其各个面所成 的角都相等 连图形都不用画 就可得这个角的余弦值为 在一般 情况下 该结论是否仍然成立 考虑图 1 不管将正方体纵向延伸 或压缩 原来正方体的对角线 PQ 仍然满足题设条件 这个结果是多 么地激动和鼓舞人心 点评 特殊化是解选择 填空题的一种重要方法 从特殊到一般的推理能力是必备的 素质 二 想象能力 例 3 如图 2 正四面体 ABCD 的棱长为 1 棱 AB 平面 则四面体上的所有点在平面 内的射影构成的图形面积的取值范围是 解析 可设 如图 3 作于于 连结AB 1 C C 11 CD D 1 D 则为射影图形 1111 ADBCBDAC 11 AD BC 11 ABCDABC D 11 11 1 2 AD BC SABC D 当最长时 最大 即 11 C D 11 AD BC S 11 1 1 22 S 又当时 点重合为一点 最小 CD 11 CD 11 AD BC S 1222 1 1 22442 SS 点评 棱 按处理 需要理解其实质 的最大 小 值对于AB AB 与的位置关系更要靠想象 如果能将四面体 放回 正方体中 想象虽然困难 解 11 C D 答却容易了 三 转化能力 例 4如图 4 二面角的大小是变量 l 0 点在 l 上 分别在平面内 且 AD BC BC AD AD 与面所成角为 若 ABC 的面积为定值 S 求 BCD 面积 Q 的最大值 解析 作 AE BC 于 E 连 DE 则由 AD BC 得 BC 平面 ADE 则 DE BC AED 为 二面角的平面角 AED 为 AD 与面所成的角 l ADE 两个角同时被发现 真是 一箭双雕 在 AED 中 由正弦定理得ADE 则当时 有 sinsin 2 sin sinsin DEQ QS AES max 2QS 点评 BCD 和 ABC 有公共的底边 BC 则它们的面积比等于对应高之比 虽是简单的 平面几何知识 但用在这里却发挥了以简驭繁的奇妙功能 三角函数与正弦定理的完美结合 给题目注入了更多活力 四 计算能力 例 5 请您设计一个帐蓬 它的下 部的形状是一个高为 1m 的正六棱柱 上部的形状是侧 棱长为 3m 的正六棱锥 如图 5 试问当帐蓬的顶点 O 到底面的中心的距离为多少时 帐蓬的体积最大 1 O 解析 设正六棱锥的高 OH h 则正六棱柱与正六棱锥的公共底边长为 它们的 2 9h 公共的底面积为 所以几何体的体积 2 3 3 9 2 h 2232 3 31 3 33 9 1 9 3927 2322 Vhhhhhh AA 则当时 当 2 3 33 3 23 3 1 03 22 Vhhhhh 01h 0V 1