高中数学 第二章 平面向量总复习题教案 苏教版必修4

337 平面向量总复习题平面向量总复习题 一 选择题 1 两个非零向量的模相等是两个向量相等的什么条件 A 充分不必要B 必要不充分 C 充要D 既不充分也不必要 答案 B 2 当 a a b b 0 且a a b b不共线时 a a b b与a a b b的关系是 A 平行B 垂直 C 相交但不垂直D 相等 解析 a a b b a a b b a a 2 b b2 a a 2 b b 2 0 a a b b a a b b 答案 B 3 下面有五个命题 其中正确的命题序号为 单位向量都相等 长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量 若a a b b 满足 a a b b 且a a与b b同向 则a a b b 由于零向量方向不确定 故 0 0 不能与任何向量平 行 对于任意向量a a b b 必有 a a b b a a b b A B C D 解析 单位向量方向不确定 故不一定相等 所以命题 错误 方向相反的向量一定是共线向量 故命题 错误 两向量不能比较大小 故命题 错误 0 0 与任意向量平行 故命题 错误 命题 正确 答案 B 4 下列四式中不能化简为的是 PQ A BQPAAB B QCBAPCAB C CQQPQC D BQABPA 解析 A 选项中 PQAQPAPAAQAQBQAB B 选项中 0 0 0 0 ABABBAAB PQCQPCQCPC PQPQ C 选项中 0 0 0 0 0 0 QCQCCQQC QPPQPQ D 选项中 PQBQPBPBABPA PQBQPB 答案 D 338 5 已知正方形ABCD的边长为 1 a a b b c c 则a a b b c c的模等于ABBCAC A 0 B 2 C D 2222 解析 a a b b c c a a b b c c 2c c 2c c 2 ACBCAB 2 答案 D 6 如图所示 D E F分别是 ABC的边AB BC CA的中点 则下列等式中不正确的 是 A B 0 0FADAFD EFDEFD C D ECDADE FDDEDA 答案 D 7 已知a a b b为非零向量 a a b b a a b b 成立的充要条件是 A a a b bB a a b b有共同的起点 C a a与b b的长度相等D a a b b 解析 a a b b a a b b a a b b 2 a a b b 2 a a b b 2 a a b b 2 a a2 2a a b b b b2a a2 2 a a b b b b2a a b b 0a a b b 答案 D 8 下面有五个命题 其中正确命题的序号是 a a 2 a a2 a a b b 2 a a2 b b2 a a b b 2 a a 2 2a a b b b b 2 a a b b a a b ba a 2 若a a b b 0 则a a 0 0 或b b 0 0 A B C D 解析 a a b b a a b b a a b ba a a a b ba a cos cos 22 a a b b 2 a a b b cos 2 a a 2 b b 2cos2 a a 2 b b2 a a 2 b b 2 a a b b 2 a a2 b b 2 若a a b b 0 则a a 0 0 或b b 0 0 或a a b b且a a 0 0 b b 0 0 答案 B 9 若点P分有向线段成定比为 3 1 则点P1分有向线段所成的比为 21P PPP2 339 A B C D 3 4 3 2 2 1 2 3 解析 则点P1分有向线段所成的比为 3 4 1 12 PP PP PP2 3 4 答案 A 10 已知点A x 5 关于点C 1 y 的对称点是B 2 3 则点P x y 到 原点的距离是 A 4B C D 131517 解析 由中点坐标公式可得 解得x 4 y 1 y x 2 35 1 2 2 再由两点间距离公式得 1714 2222 yx 答案 D 11 将点 a b 按向量a a h k 平移后 得到点的坐标为 A a h b k B a h b k C a h b k D a h b k 解析 设平移后点的坐标为 x y 则根据平移公式可得 kby hax kby hax 答案 D 12 点A 2 0 B 4 2 若 AB 2 AC 则点C坐标为 A 1 1 B 1 1 或 5 1 C 1 1 或 1 3 D 无数多个 解析 由题意 AB 222 24 22 AC 2 2 AB 故点C分布在以点A为圆心 半径为的圆上 故点C坐标有无数多个 2 答案 D 13 将曲线f x y 0 按向量a a h k 平移后 得到的曲线的方程为 A f x h y k 0B f x h y k 0 C f x h y k 0D f x h y k 0 解析 设平移后曲线上任意一点坐标为 x y 则根据平移公式可得 kyy hxx 340 kyy hxx 又f x y 0 f x h y k 0 即f x h y k 为平移后曲线方程 答案 B 14 设P点在x轴上 Q点在y轴上 PQ的中点是M 1 2 则 PQ 等于 A 4 B 2C 5 D 22510 解析 由题意设P x 0 Q 0 y 由中点坐标公式可得 1 2 2 x 2 y 解得x 2 y 4 PQ 52204 2 22 答案 B 15 下列命题中 正确的是 A a a b b a a b b B 若a a b b c c 则a a b b a a c c C a a2 a a D a a b b c c a a b b c c 解析 A a a b b a a b b cos a a b b a a b b cos a a b b B 若a a 0 0 则a a b b a a c c 若b b c c 0 0 即b b c c a a b b a a c c 若a a 0 0 且b b c c 0 0 由a a b b c c 得a a b b c c 0 a a b b a a c c 0 a a b b a a c c 故 B 正确 C 若 a a 0 0 或 1 则a a2 a a D 向量的数量积不满足结合律 答案 B 16 函数y 4sin2x的图象可以由y 4sin 2x 的图象经过平移变换而得到 则 3 这个平移变换是 A 向左平移个单位B 向右平移个单位 6 6 C 向左平移个单位D 向右平移个单位 3 3 解析 用x 替换掉函数y 4sin2x中的x可得y 4sin2 x 6 6 4sin 2x 3 故可将原函数图象向左平移个单位得到 6 答案 A 17 已知m m n n是夹角为 60 的两个单位向量 则a a 2m m n n和b b 3m m 2n n的夹角是 A 30 B 60 C 120 D 150 341 解析 m m n n m m n n cos60 2 1 a a b b 7 2 2 n nmm7 23 2 n nmm a a b b 2 m m n n 3m m 2 n n 6 m m 2 2 n n2 m m n n 6 2 2 1 2 7 cos 120 2 1 b ba a b ba a 答案 C 18 将函数y 的图象按a a平移后 函数解析式为y 1 则a a等于 2 2 x 1 2 1 2 x A 2 1 B 2 1 C 1 1 D 1 1 解析 y 1 即y 1 1 2 1 2 x 2 2 1 2 x 用x 2 y 1 分别替换了原函数解析式中的x y 即 即 yy xx 1 2 1 2 yy xx 1 2 k h a a 2 1 答案 B 19 在直角三角形中 A B为锐角 则 sinA sinB A 有最大值和最小值 0 2 1 B 有最大值 但无最小值 2 1 C 既无最大值 也无最小值 D 有最大值 1 但无最小值 解析 ABC为直角三角形 B A 2 sinA sinB sinA sin A sinA cosA sin2A 2 2 1 当A B 时 有最大值 但无最小值 4 2 1 答案 B 20 是锐角三角形的三个内角 则 A cos sin 且 cos sin B cos sin 且 cos sin C cos sin 且 cos sin D cos sin 且 cos sin 解析 是锐角三角形两内角 0 2 2 2 342 sin sin 2 即 sin cos 同理 sin cos 答案 B 21 在 ABC中 sinA sinB是A B的 A 充分不必要条件B 必要非充分条件 C 充要条件D 既不充分也不必要条件 解析 由正弦定理可得 B b A a sinsin B A b a sin sin 由 sinA sinB可得a b 根据三角形小边对小角可得A B 反之由A B也可推得 sinA sinB 故 sinA sinB是A B的充要条件 答案 C 22 在 ABC中 tanA tanB 1 则 ABC为 A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 不能确定 解析 tanA tanB 1 0 又 A B不可能同时为钝角 tanA 0 tanB 0 tan A B 0 BA BA tantan1 tantan 90 A B 180 0 C 90 ABC为锐角三角形 答案 A 23 在 ABC中 A B C相应对边分别为a b c 则acosB bcosA等于 A 2cosC B 2sinC C D c 2 ba 解析 由正弦定理得 2R B b A a sinsin 得a 2RsinA b 2RsinB acosB bcosA 2RsinAcosB 2RcosAsinB 2Rsin A B 2RsinC c 答案 D 24 在 ABC中 已知 cosA sinB 则 cosC等于 13 5 5 3 A B C 或 D 65 16 65 56 65 16 65 56 65 16 解析 由 sinB 得 5 3 cosB B 2 sin1 5 4 但当 cosB cosA cosB 0 C无解 5 4 cosC cos 180 A B cos A B cosAcosB sinAsinB 343 sinAsinB cosBcosA 13 12 5 4 5 3 65 16 13 5 答案 A 25 在不等边 ABC中 a为最大边 如果a2 b2 c2 则A的取值范围是 A 90 A 180 B 45 A 90 C 60 A 90 D 0 A 90 解析 a2 b2 c2 b2 c2 a2 0 cosA 0 A 90 bc acb 2 222 又 a边最大 A角最大 A B C 180 3A 180 A 60 60 A 90 答案 C 26 已知点A分的比为 2 下列结论错误的是BC A B分的比为 B C分的比为 3AC 3 2 BA C A分的比为 2D C分的比为 CBAB 3 1 解析 数形结合可得 C 选项错误 答案 C 27 在 ABC中 若B 30 AB 2 AC 2 则 ABC的面积为3 A 2 B 33 C 2或D 2或 43333 解析 sinC 2 3 2 30sin32 C 60 或 120 A 90 或 30 S ABC AB AC sinA 2或 2 1 33 答案 C 28 在 ABC中 若 sinB sinC cos2 则 ABC是 2 A A 等腰三角形B 直角三角形 C 等边三角形D 等腰直角三角形 解析 sinB sinC 2 cos1A 又 cosA cos 180 B C cos B C cosBcosC sinBsinC 2sinBsinC 1 cosBcosC sinBsinC cosBcosC sinBsinC 1 344 cos B C 1 B C ABC是等腰三角形 答案 A 二 解答题 1 设e e1 e e2是两个不共线的向量 已知 2e e1 k e e 2 e e1 3 e e ABCB 2 2e e1 e e 2 若A B D三点共线 求k的值 CD 分析 由于A B D三点共线 因此存在实数 使 而 ABBDBDCD e e 1 4e e2 将 的e e1 e e2表达式代入上式 再由向量相等的条件得到关于CBABBD k的方程组 便可求得k的值 解 2 e e 1 e e2 e e 1 3e e2 e e1 4e e2 BDCDCB A B D三点共线 存在实数 使 2 e e 1 ke e2 e e ABBD 1 4e e2 于是可得 解得k 8 4 2 k 评述 此题解答关键是应用两个向量共线的充要条件 要注意两个向量共线和三点共 线的区别和联系 2 已知a a b b是两个非零向量 当a a tb b t R R 的模取最小值时 1 求t的值 2 求证b b a a tb b 分析 利用 a a tb b 2 a a tb b 2进行转换 可讨论有关 a a tb b 的最小值问题 若能 算得b b a a tb b 0 则证明了b b a a tb b 1 解 设a a与b b的夹角为 则 a a tb b 2 a a tb b 2 a a2 2a a tb b t2b b2 a a 2 2t a a b b cos t2 b b 2 b b 2t2 2 a a b b cos t a a 2 b b 2 t cos 2 a a 2sin2 b b a a 当t cos 时 a a tb b 有最小值 b b a a 22 cos b b b ba a b b b ba a 2 证明 b b a a tb b b b a a b b 2 b b b ba a a a b b b b b b a a b b a a b b 0 2 b b b ba a 345 b b a a t b b 评述 对 a a tb b 变形 可以从两个角度进行思考 一是通过 a a t b b 2 a a t b b 2的数量积运算 二是通设坐标化思想 进行向量的坐标运算 从而达到求解求证目的 3 如图所示 OADB是以向量 a a b b为边的平行四边形 又BM BC CN OAOB 3 1 CD 试用a a b b表示 3 1 MNONOM 解 a a b bOBOABA a a b b 6 1 6 1 3 1 BABCBM b b a a b b a a b bBMOBOM 6 1 6 1 6 5 又由 a a b b 得OD a a b b 3 2 3 2 6 1 2 1 ODODODON 3 2 a a b b a a b b a a b b 3 2 OMONMN 3 2 6 1 6 5 2 1 6 1 评述 由于a a b b不共线 因此a a b b构成平行四边形OADB所在平面的一组基底 用它 们可以表示出这个平面内的任何向量 将所要用a a b b表示的向量连同a a b b设法放在一个 三角形或平行四边形内 是解决此类问题的常见方法 4 已知O为 ABC所在平面内一点 且满足 2222 CAOBBCOA 2 OC 2 AB 求证 O点是 ABC的垂心 证明 设 a a b b c c 则 c c b b a a c c b b a a OAOBOCBCCAAB 2 2 2 2 2 2OABCOBCAOCAB a a2 c c b b 2 b b2 a a c c 2 c c2 b b a a 2 即c c b b a a c c b b a a 故 b b a a c c b b c c a a c c 0ABOC c c b b a a c c a a b b a a 0BCOA ABOCBCOA 346 点O是 ABC的垂心 5 如图所示 圆O内两弦AB CD垂直相交于P点 求证 POPDPCPBPA2 证明 设M N分别为圆O的两弦AB CD的中点 连OM ON 则OM AB ON CD PNPDPCPMPBPA2 2 而AB CD 四边形MPNO为矩形 POPNPM POPDPCPBPA2 6 已知 ABC中 A 2 1 B 3 2 C 3 1 BC边上的高为AD 求点 D和向量AD的坐标 解 设点D坐标 x y 由AD是BC边上的高可得 且B D C共线 ADBC DBCD BCAD 0 0 1 3 2 3 0 3 6 1 2 yxyx yx 0 1 3 2 3 0 1 3 2 6 yxyx yx 012 032 yx yx 解得 1 1 y x 点D坐标为 1 1 1 2 AD 7 已知a b c分别为 ABC三内角A B C所对的边 且 2 sinA sinB sinA sinC 2 sinB sinC 成等比数列 求证 2b a c 证明 要证 2b a c 由正弦定理只要证 sinB sinA sinC sinB即可 由已知可得 sinA sinC 2 4 sinA sinB sinB sinC 0 且 sinA sinB 构造方程 sinA sinB x2 sinA sinC x sinB sinC 0 且x 1 是方程的根 sinA sinC 2 4 sinA sinB sinB sinC 0 方程有两相等实根 由韦达定理可知 1 BA CB sinsin sinsin 347 sinB sinC sinA sinB 故结论得证 8 设i i j j是平面直角坐标系内x轴 y轴正方向上的两个单位向量 且 4i i 2j j 3i i 4j j 证明 ABC是直角三角形 并求它的面积 ABAC 解 3i i 4j j 4i i 2j j i i 2j jABACBC 又i i j j i i j j 0 4i i 2j j i i 2j j 4i i2 6i i j j 4j j2 0 ABBCABBC ABC是直角三角形 S 2 5 2 1 ABBC 2 1 55 9 已知 ABC中三内角满足A C 2B 求 cos的值 BCAcos 2 cos 1 cos 1 2 CA 解 由A C 2B 可得B 60 A C 120 设 则A C 2 2 CA A 60 C 60 60cos 1 60cos 1 cos 1 cos 1 CA Bcos 2 4 3 co