高中数学 4.2.3-2直线与圆的方程的应用学案 新人教A版必修2

1 4 4 2 2 3 3 直线与圆的方程的应用 二 直线与圆的方程的应用 二 教学目标教学目标 1 坐标法求直线和圆的应用性问题 2 面积最小圆 中点弦问题的解决方法 教学重难点教学重难点 教学重点 坐标法求直线和圆的应用性问题 教学难点 面积最小圆 中点弦问题的解决方法 教学过程教学过程 1 1 面积最小圆问题 中点弦轨迹问题 面积最小圆问题 中点弦轨迹问题 例例 1 1 求通过直线032 yx与圆0142 22 yxyx的交点 且面积最小的 圆的方程 结论结论 解法一 利用过两曲线交点的曲线系 我们可以设圆的方程为 0 32 142 22 yxyxyx 配方得到标准式方程如下所示 13 2 2 1 2 2 1 2222 yx 可以得到 5 19 5 2 4 54 4 5 222 r 当5 2 时 此时半径5 19 r 所求圆的方程为5 19 5 9 5 3 22 yx 解法二 利用平面几何知识 以直线与圆 的交点 2211 yxByxA 连线为直径的圆符合条件 把两个方程式联立 消去y 得 0265 2 xx 因为判别式大于零 我们可以根据根与系数的关系也即韦达定理得到线 段AB的中点的横坐标为5 32 210 xxx 5 932 00 xy 又半 径5 1921 5 0 2 21 xxr 弦长公式 所以所求的圆的方程是 5 19 5 9 5 3 22 yx 解法三 我们可以求出两点的坐标 根据两点间距离公 式和中点坐标公式求出半径和圆心 求出圆的方程 变式练习 变式练习 求圆 22 234xy 上的点到 20 xy 的最远 最近的距离 例例 2 2 已知圆 O 的方程为9 22 yx 求过点 2 1 A所作的弦的中点的轨迹 结论结论 解法一 参数法 常规方法 设过 A 所在的直线方程为 y 2 k x 1 k 存在时 P x y 则 2 9 22 kkxyyx 消去 y 得到如下方程 0 54 2 2 1 222 kkxkkxk 所以我们可以得到下面结果 1 2 2 2 21 kkkxx 利用中点坐标公式及中点在直线上 得 1 2 1 2 22 kkykkkx k 为参数 消去 k 得 P 点的轨迹方程为 02 22 yxyx 当 k 不存在时 中点 P 1 0 的坐标也适合方程 所以 P 点的轨迹 是以点 1 2 1 为圆心 2 5为半径的圆 解法二 代点法 涉及中点问题可考虑此法 我们可以设过点 A 的弦为 MN 则可以设两点的坐标为 2211 yxNyxM 因为 M N 都在 圆上 所以我们可以得到9 9 2 2 2 2 2 1 2 1 yxyx 然后我们把两式向减可以得到 0 2121212121 xxyyxxyyxx 设 P x y 则 2 2 2121 yyyxxx 所以由这个结论和 M N P A 四点共线 可以得到 1 1 2 2121 xxyxxyy 所以 2x y 2 x 1 2y 0 所以 P 点的轨迹方程为02 22 yxyx x 1 时也成立 所以 P 点的轨迹 2 是以点 1 2 1 为圆心 2 5为半径的圆 解法三 数形结合 利用平面几何知识 由 垂径定理可知PAOP 故点 P 的轨迹是以 AO 为直径的圆 变式练习 变式练习 已知直线1 34 yx l M是l上一动点 过M作x轴 y轴的垂线 垂 足分别为A B 则在A B连线上 且满足PBAP2 的点P的轨迹方程 反思总结 当堂检测 已知与曲线 C 0122 22 yxyx相切的直线l交yx 的正半轴与BA 两点 O 为原点 OA a bOB 2 2 ba 1 求线段AB中点的轨迹方程 2 求ab的最小值 板书设计板书设计 例 1 变式 1 例 2 变式 2 作业布置作业布置 1 1 必做题 必做题 习题 4 2B 组的 2 3 题 4 4 2 2 3 3 直线与圆的方程的应用导学案 二 直线与圆的方程的应用导学案 二 课前预习学案课前预习学案 一 预习目标一 预习目标 利用直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系解决一些实际问题 二 预习内容 二 预习内容 1 你能说出直线与圆的位置关系吗 2 解决直线与圆的位置关系 你将采用什么方法 三 提出疑惑三 提出疑惑 1 1 2 2 3 3 课内课内探究学案探究学案 一 学习目标 一 学习目标 3 1 理解直线与圆的位置关系的几何性质 2 利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系 3 会用 数形结合 的数学思想解决问题 学习重难点 学习重难点 直线的知识以及圆的知识 二 学习过程 1 1 面积最小圆问题 中点弦轨迹问题 面积最小圆问题 中点弦轨迹问题 例例 1 1 求通过直线032 yx与圆0142 22 yxyx的交点 且面积最小的 圆的方程 变式练习 变式练习 求圆 22 234xy 上的点到 20 xy 的最远 最近的距离 例例 2 2 已知圆 O 的方程为9 22 yx 求过点 2 1 A所作的弦的中点的轨迹 4 变式练习 变式练习 已知直线1 34 yx l M是l上一动点 过M作x轴 y轴的垂线 垂 足分别为A B 则在A B连线上 且满足PBAP2 的点P的轨迹方程 反思总结 当堂检测 已知与曲线 C 0122 22 yxyx相切的直线l交yx 的正半轴与BA 两点 O 为原点 OA a bOB 2 2 ba 1 求线段AB中点的轨迹方程 2 求ab的最小值 课后练习与提高课后练习与提高 1 M 00 yx 为圆 0 222 aayx 内异于圆心的一点 则直线 2 00 ayyxx 与该圆的位置关系为 A 相切B 相交 C 相离D 相切或相交 2 从直线l 03 yx 上的点向圆 1 2 2 22 yx 引切线 则切线长的最 5 小值为 A 2 23 B 2 14 C 4 23 D 1 2 23 3 已知 222111 yxPyxP 分别是直线l上和直线l外的点 若直线l的方程是 0 yxf 则方程 0 2211 yxfyxfyxf 表示 A 与l重合的直线 B 过 P2且与l平行的直线 C 过 P1且与l垂直的直线 D 不过 P2但与l平行的直线 4 如果实数 的最大值那么满