高中数学 带有讲解竞赛题试题 新人教A版选修2-1

高中数学高中数学 带有讲解竞赛题试题带有讲解竞赛题试题 新人教新人教 A A 版选修版选修 2 12 1 C5C5 021021 一个椭圆内切于一个长为 m 宽为 n 的矩形 求这 个椭圆的内接矩形的周长的最大值 题说 1983 年上海市赛一试题 1 4 解 设椭圆方程为 而 ABCD 为它的外切矩形 又设 P1P2P3P4为椭圆的内接矩形 则 P1P2 P1P4分别平行 x 轴 y 轴 设 P1的坐标为 acos bsin 为锐角 则 P1P2P3P4的周长 4 acos bsin C5C5 022022 设平面上有一圆 它的每一点都以角速度 绕原点 O 顺时针旋转 同时该圆上一点 P 以角速度 2 绕圆心 O 逆时针 旋转 若时间 t 0 时 圆心 O 的坐标为 l r 0 动点 P 的坐标为 l 0 如图 求点 P 的轨迹方程 其中 l 0 r 0 题说 1984 年上海市赛二试题 3 解 如图 设在时刻 t P 点的坐标为 P x y 则 即 它表示一个椭圆 C5C5 024024 如图 AB 是单位圆的直径 在 AB 上任取一点 D DC AB 交圆周于 C 若点 D 坐标为 x 0 则当 x 为何值 时 线段 AD BD CD 可构成锐角三角形 题说 1984 年全国联赛一试题 2 1 原题为填空题 解 先设 D 点在 OB 上 OD x AD 1 x BD 1 x CD2 AD2 即 1 x 2 1 x2 1 x 2 解得 0 可构成锐角三角形 C5C5 025025 三个圆有相同的半径 都是 3 圆心分别为 14 92 17 76 和 19 84 一条直线通过点 17 76 且位于它同一侧的三个圆各部分的面积之和 等于 另一侧三个圆各部分的面积之和 那么这条直线的斜率的绝对值 是多少 题说 第二届 1984 年 美国数学邀请赛题 6 这条直线 已经平分一个圆 必须与另两个圆的圆心等距 解 设直线方程为 ax by c 0 则 17a 76b c 0 1 14a 92y c 19a 84y c 2 2 即 33a 176b 2c 0 3 1 3 消去 c 得 a 24b 0 C5C5 027027 已知集合 A x y x y a a 0 B x y xy 1 x y 若 A B 是平面上正八边形的顶点所构成的集合 求 a 的值 题说 1987 年全国联赛一试题 2 2 原题为填空题 解 A 所表示的图形是中心在原点 对角线长为 2a 且落 在坐标轴上的正方形的周界 B 所表示的图形是分别与坐标轴平 行且与坐标轴距离为 1 的四条直线 2 如图 b QP PR MN 2 MP C5C5 028028 三角形的三个顶点的坐标为 P 8 5 Q 15 19 R 1 7 P 的平分线方程可以写成为 ax by c 0 试求 a c 题说 第八届 1990 年 美国数学邀请赛题 7 解 设 P 的平分线交 QR 于 D 则 即 11x 2y 78 0 a c 11 78 89 C5C5 029029 设 O 为抛物线的顶点 F 为焦点 且 PQ 为过 F 的 弦 已知 OF a PQ b 求 OPQ 的面积 题说 1991 年全国联赛一试题 4 解 如图 以 F