聊城市东昌府区2015-2016学年九年级上期末数学试卷含答案解析

2015年山东省聊城市东昌府区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本大题共 12小题，共 36分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意 1 值等于（ ） A B C D 2一元二次方程 81=0 的解是（ ） A x= 9 B x=9 C ， 9 D x=81 3下列函数中，当 x 0 时， y 的值随 x 的值增大而增大的是（ ） A y= y= C y= x+1 D y= 4三角尺在灯泡 O 的 照射下在墙上形成的影子如图所示若 050这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是（ ） A 5： 2 B 2： 5 C 4： 25 D 25： 4 5已知：如图，四边形 O 的内接正方形，点 P 是劣弧上不同于点 C 的任意一点，则 ） A 45 B 60 C 75 D 90 6将函数 y=2左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位得到的新函数是（ ） A y=2（ x+2） 2+3 B y=2（ x 2） 2+3 C y=2（ x+2） 2 3 D y=2（ x 2） 2 3 7一元二次方程 5x+7=0 的根的情况是（ ） A有两个不相等的实数根 B只有一个实数根 C有两个相等的实数根 D没有实数根 8在 ， C=90， 0， ，则 长是（ ） A 3 B 4 C 6 D 8 9下列命题中，正确的是（ ） A平分弦的直线必垂直于这条弦 B垂直平分弦的直线必平分这条弦所对的弧 C平分弦的直径必垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧 D垂直于弦的直线必过圆心 10面积为 2 的直角三角形一直角边长为 x，另一直角边长为 y，则 y 与 x 的变化规律用图象大致表示为（ ） A B C D 11小洋用一张半径为 24扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为 10么这张扇形纸板的面积是（ ） A 120 240 260 4802如图，在等边 ， ，点 D， E 分别在 ， 折后，点 A 落在点 A处连结 A A并延长，交 点 M，交 点 N如果点 A为 中点，那么 面积为（ ） A B 3 C 6 D 9 二、填空题：本题共 5小题，每小题 3分，共 15分，只要求填写最后结果 13若关于 x 的方程 4x+3=0 有两个相等的实数根，则常数 a 的值是 14圆内接四边形 内角 A： B： C=2： 3： 4，则 D= 度 15已知 相似比为 3： 4， S S 16如图， O 的直径 0C 是 O 上一点，点 D 平分 ， 2弦 17如图，抛物线 y=bx+c（ a 0）的对称轴是过点（ 1， 0）且平行于 y 轴的直线，若点 P（ 4，0）在该抛物线上，则 4a 2b+c 的值为 三、解答题：本大题共 8小题，共 69分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤 18按下列的要求解一元二次方程： （ 1）（因式分解法） x+12=0 （ 2）（配方法） x+1=0 19如图，一次函数 y1=kx+b 的图象与反比例函数 的图象交于 A（ 1， 6）， B（ a， 2）两点 （ 1）求一次函数与反比例函数的解析式； （ 2）直接写出 y1 x 的取值范围 20如图，某数学兴趣小组想测量一棵树 高度，他们先在点 A 处测得树顶 C 的仰角为 30，然后沿 向前行 10m，到达 B 点，在 B 处测得树顶 C 的仰角高度为 60（ A、 B、 D 三点在同一直线上）请你根据他们测量数据计算这棵树 高度（结果精确到 （参考数据： 21如图，在 ， D 是 一点，且 （ 1）求证： （ 2）若 ， ，求 长 22某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是 20 元，根据市场调查，在一段时间内，销售单价是 30 元时，销量是 300 件，而销售单价每涨 1 元，就会少售出 10 件玩具，若商场想获得利润 3750元，并规定每件玩具的利润不得超过进价时单价的 100%，问该玩具的销售单价应定为多少元？ 23如图，抛物线经过点 A、 B、 C （ 1）求此抛物线的解析式； （ 2）若抛物线和 x 轴的另一个交点为 D， 求 面积 24如图， O 的直径， O 相切于点 A， O 相切于点 E，点 C 为 长线上一点，且 B （ 1）求证： O 的切线； （ 2）若 ， ，求线段 长 25 如图，对称轴为 x= 1 的抛物线 y=bx+c（ a0）与 x 轴相交于 A、 B 两点，其中点 A 的坐标为（ 3， 0） （ 1）求点 B 的坐标 （ 2）已知 a=1， C 为抛物线与 y 轴的交点 若点 P 在抛物线上，且 S S 点 P 的坐标 设点 Q 是线段 的动点，作 x 轴交抛物线于点 D，求线段 度的最大值 2015年山东省聊城市东昌府区九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12小题，共 36分，在每小题 给出的四个选项中，只有一个选项符合题意 1 值等于（ ） A B C D 【考点】 特殊角的三角函数值 【分析】 根据特殊角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案 【解答】 解： = ， 故选： D 【点评】 本题考 查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键 2一元二次方程 81=0 的解是（ ） A x= 9 B x=9 C ， 9 D x=81 【考点】 解一元二次方程 【分析】 首先移项，把 81 移到等号右边，再两边直接开平方即可 【解答】 解： 81=0， 移项得： 1， 两边直接开平方得： x=9， 到 ， 9， 故选： C 【点评】 此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号 的右边，化成 x2=a（ a0）的形式，利用数的开方直接求解 3下列函数中，当 x 0 时， y 的值随 x 的值增大而增大的是（ ） A y= y= C y= x+1 D y= 【考点】 二次函数的性质；一次函数的性质；反比例函数的性质 【分析】 分别根据反比例函数与一次函数的性质进行解答即可 【解答】 解： A、 y= 对称轴 x=0，当 x 0 时， y 随着 x 的增大而减小，故本选项错误； B、 反比例函数 y= 中， k= 1 0， 当 x 0 时 y 随 x 的增大而增大，故本选项正确； C、 k 0， y 随 x 的增大而减小，故本选项错误； D、 k 0， y 随着 x 的增大而 增大，故本选项错误 故选 B 【点评】 本题考查了一次函数、反比例函数以及二次函数的性质，主要掌握二次函数、反比例函数、正比例函数的增减性（单调性），是解题的关键，是一道难度中等的题目 4三角尺在灯泡 O 的照射下在墙上形成的影子如图所示若 050这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是（ ） A 5： 2 B 2： 5 C 4： 25 D 25： 4 【考点】 相似三角形的应用 【分析】 先根据相似 三角形对应边成比例求出三角尺与影子的相似比，再根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可 【解答】 解：如图， 050 = = = ， 三角尺与影子是相似三角形， 三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比 = =2： 5 故选： B 【点评】 本题考查了相似三角形的应用，注意利用了相似三角形对应边成比例的性质，周长的比等于相似比的性质 5已知：如图，四边形 O 的内接正方形，点 P 是劣弧上不同于点 C 的任意一点，则 ） A 45 B 60 C 75 D 90 【考点】 圆周角定理；正多边形和圆 【分析】 连接 先根据正方形的性质，得 0，再根据圆周角定理，得 5 【解答】 解：如图，连接 0， 根据圆周角定理，得： 5 故选 A 【点评】 本题主要考查了正方形的性质和圆周角定理的应用 这里注意：根据 90的圆周角所对的弦是直径，知正方形对角线的交点即为其外接圆的圆心 6将函数 y=2左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位得到的新函数是 （ ） A y=2（ x+2） 2+3 B y=2（ x 2） 2+3 C y=2（ x+2） 2 3 D y=2（ x 2） 2 3 【考点】 二次函数图象与几何变换 【分析】 由于所给的函数解析式为顶点坐标式，可直接利用 “上加下减、左加右减 ”的平移规律进行解答 【解答】 解：将函数 y=2左平移 2 个单位，得： y=2（ x+2） 2； 再向下平移 3 个单位，得： y=2（ x+2） 2 3； 故选 C 【点评】 此题主要考查的是二次函数图象的平移规律，即：左加右减，上加下减 7一元二次方程 5x+7=0 的根的情况是（ ） A有两个不相等的实数根 B只有一个实数根 C有两个相等的实数根 D没有实数根 【考点】 根的判别式 【分析】 求出根的判别式 的值再进行判断即可 【解答】 解：一元二次方程 5x+7=0 中， =（ 5） 2 417= 3 0， 所以原方程无实数根 故选： D 【点评】 本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式 的关系：（ 1） 0方程有两个不相等的实数根；（ 2） =0方程有两个相等的实数根；（ 3） 0方程没有实数根 8在 ， C=90， 0， ，则 长是（ ） A 3 B 4 C 6 D 8 【考点】 锐角三角函数的定义；勾股定理 【分析】 根据锐角三角函数正切等于对边比邻边，可得 关系，根据勾股定理，可得 【解答】 解：由 = ，得 x， x， 由勾股定理，得 （ 3x） 2+（ 4x） 2=100， 解得 x=2， x=42=8 故选： D 【点评】 本题考查了锐角三角函数，利用了锐角三角函数正切等于对边比邻边，还利用了勾股定理 9下列命题中， 正确的是（ ） A平分弦的直线必垂直于这条弦 B垂直平分弦的直线必平分这条弦所对的弧 C平分弦的直径必垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧 D垂直于弦的直线必过圆心 【考点】 命题与定理 【分析】 根据垂径定理及其推论对各选项分别进行判断 【解答】 解： A、平分弦（非直径）的直径必垂直于这条弦，所以 A 选项错误； B、垂直平分弦的直线必平分这条弦所对的弧，所以 B 选项正确； C、平分弦（非直径）的直径必垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧，所以 C 选项错误； D、垂直平分弦的直线必过圆心，所以 D 选 项错误 故选 B 【点评】 本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成 “如果 那么 ”形式 有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理 10面积为 2 的直角三角形一直角边长为 x，另一直角边长为 y，则 y 与 x 的变化规律用图象大致表示为（ ） A B C D 【考点】 反比例函数的应用；反比例函数的图象 【分析】 根据题意有： ；故 y 与 x 之间的函数图象为反比例函数，且根 据 x y 实际意义 x、 y 应大于 0，其图象在第一象限 【解答】 解： ， ， y= （ x 0， y 0）， 当 x=1 时， y=4，当 x=4 时， y=1， 故选： C 【点评】 考查了反比例函数的图象及应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限 11小洋用一张半径为 24扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为 10么这张扇形纸板的面积是（ ） A 120 240 260 480考点】 圆锥的计算 【专题】 计算题 【分析】 根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算 【解答】 解：圆锥的侧面积 = 21024=240（ 所以这张扇形纸板的面积为 240 故选 B 【点评】 本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长 12如图，在 等边 ， ，点 D， E 分别在 ， 折后，点 A 落在点 A处连结 A A并延长，交 点 M，交 点 N如果点 A为 中点，那么 面积为（ ） A B 3 C 6 D 9 【考点】 翻折变换（折叠问题） 【分析】 利用 折的特性求出 M，再由 到 = ，求得 求出 用 面积 = M 求解 【解答】 解： 折后，点 A 落在点 A处 M， 又 A为 中点， M=AN， = ， 等边三角形， ， C， = ， 上的高，中线及角平分线， 0， ， ， ， 面积 = M= 2= ， 故选： A 【点评】 本题主要考查了三角形的折叠问题上，解题的关键是运用比例求出 求面积 二、填空题：本题共 5小题，每小题 3分，共 15分，只要求填写最后结果 13若关于 x 的方程 4x+3=0 有两个相等的实数根，则常数 a 的值是 【考点】 根的判别式 【分析】 根据判别式的意义得到 =（ 4） 2 4a3=0，然后求解即可 【解答】 解：根据题意得 =（ 4） 2 4a3=0， 解得 a= 故答案为 【点评】 本题考查了一元二次方程根的判别式，当 0，方程有两个不相等的实数根；当 =0，方程有两个相等的实数根；当 0，方程没有实数根 14圆内接四边形 内角 A： B： C=2： 3： 4，则 D= 90 度 【考点】 圆内接四边形的性质 【分析】 根据圆 内接四边形的性质可求得四个角的比值，再根据四边形的内角和为 360，从而求得 D 的度数 【解答】 解： 圆内接四边形的对角互补 A： B： C： D=2： 3： 4： 3 设 A=2x，则 B=3x， C=4x， D=3x 2x+3x+4x+3x=360 x=30 D=90 【点评】 本题考查圆内接四边形的性质和四边形的内角和为 360的运用 15已知 相似比为 3： 4， S S 【考点】 相似三角形的性质 【分析】 根据相似三角 形的性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方，可求 S 【解答】 解： 相似比为 3： 4 S S ： 16 S 【点评】 本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方 16如图， O 的直径 0C 是 O 上一点，点 D 平分 ， 弦 6 【考点】 圆周角定理；垂径定理 【分析】 由题意可知 分 中位线，根据直径求出半径，进而求出 长度，再根据中位线原理即可 解答 【解答】 解： 点 D 平分 ， 分 中位线， 又 O 的直径 0 0E=3弦 故答案为 6 【点评】 本题主要考查圆周角定理与垂径定理，垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧 17如图，抛物线 y=bx+c（ a 0）的对称轴是过点（ 1， 0）且平行于 y 轴的直线，若点 P（ 4，0）在该抛物线上，则 4a 2b+c 的值为 0 【考点】 抛物线与 x 轴的交点 【专题】 数形结合 【分析】 依据抛物线的对称性求得与 x 轴的另一个交点，代入解析式即可 【解答】 解：设抛物线与 x 轴的另一个交点是 Q， 抛物线的对称轴是过点（ 1， 0），与 x 轴的一个交点是 P（ 4， 0）， 与 x 轴的另一个交点 Q（ 2， 0）， 把（ 2， 0）代入解析式得： 0=4a 2b+c， 4a 2b+c=0， 故答案为： 0 【 点评】 本题考查了抛物线的对称性，知道与 x 轴的一个交点和对称轴，能够表示出与 x 轴的另一个交点，求得另一个交点坐标是本题的关键 三、解答题：本大题共 8小题，共 69分，解答题应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 18按下列的要求解一元二次方程： （ 1）（因式分解法） x+12=0 （ 2）（配方法） x+1=0 【考点】 解一元二次方程 一元二次方程 【专题】 计算题 【分析】 （ 1）利用因式分解法把原方程化为 x+4=0 或 x+3=0，然后解两个一次方程即可； （ 2）利用配方法得到（ x+2） 2=3，然后利用直接开平方法解方程 【解答】 解：（ 1）（ x+4）（ x+3） =0， x+4=0 或 x+3=0， 所以 4， 3； （ 2） x= 1， x+4=3， （ x+2） 2=3， x+2= 所以 2+ ， 2 【点评】 本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为 0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为 0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）也考查了配方法解一元二次方程 19如图，一次函数 y1=kx+b 的图象与反比例函数 的图象交于 A（ 1， 6）， B（ a， 2）两点 （ 1）求一次函数与反 比例函数的解析式； （ 2）直接写出 y1 x 的取值范围 【考点】 反比例函数与一次函数的交点问题 【专题】 探究型 【分析】 （ 1）先把 A（ 1， 6）代入反比例函数的解析式求出 m 的值，进而可得出反比例函数的解析式，再把 B（ a， 2）代入反比例函数的解析式即可求出 a 的值，把点 A（ 1， 6）， B（ 3， 2）代入函数 y1=kx+b 即可求出 k、 b 的值，进而得出一次函数的解析式； （ 2）根据函数图象可知，当 x 在 A、 B 点的横坐标之间时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，再由 A、 B 两点的横坐标即可求出 x 的取值范围 【解答】 解：（ 1） 点 A（ 1， 6）， B（ a， 2）在 的图象上， =6， m=6 反比例函数的解析式为： ， =2， a= =3， 点 A（ 1， 6）， B（ 3， 2）在函数 y1=kx+b 的图象上， ， 解这个方程组，得 一次函数的解析式为 2x+8，反比例函数的解析式为 ； （ 2）由函数图象可知，当 x 在 A、 B 之间时一次函数的图象在反比例函数图象的上方， 点 A（ 1， 6）， B（ 3， 2）， 1x3 【点评】 本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，能利用数形结合求不 等式的解集是解答此题的关键 20如图，某数学兴趣小组想测量一棵树 高度，他们先在点 A 处测得树顶 C 的仰角为 30，然后沿 向前行 10m，到达 B 点，在 B 处测得树顶 C 的仰角高度为 60（ A、 B、 D 三点在同一直线上）请你根据他们测量数据计算这棵树 高度（结果精确到 （参考数据： 【考点】 解直角三角形的应用 【专题】 几何图形问题 【分析】 首先利用三角形的外角的性质求得 度数，得到 长度，然后在直角 ，利用三角函数 即可求解 【解答】 解： A+ A=60 30=30， A= B=10（米） 在直角 ， C0 =5 5） 答：这棵树 高度为 【点评】 本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形 21如图，在 ， D 是 一点，且 （ 1）求证： （ 2）若 ， ，求 长 【考点】 相似三角形的判定与性质 【分析】 （ 1）根据两角对应相等，两三角形相似即可证明 （ 2）根据相似三角形的对应边成比例得出 D： B数值代入计算即可求出 长 【解答】 （ 1）证明：在 ， A= A， （ 2）解： D： B ， ， 2=14， 【点评】 本题考查的是相似三角 形的判定与性质，用到的知识点为： 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似（简叙为两角对应相等，两三角形相似）； 相似三角形的对应边成比例 22某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是 20 元，根据市场调查，在一段时间内，销售单价是 30 元时，销量是 300 件，而销售单价每涨 1 元，就会少售出 10 件玩具，若商场想获得利润 3750元，并规定每件玩具的利润不得超过进价时单价的 100%，问该玩具的销售单价应定为多少元？ 【考点】 一元二次方程的应用 【专题】 销售问题 【分析 】 利用每件利润 销量 =3750，进而求出答案即可 【解答】 解：设该玩具的销售单价为 x 元，则依题意有： 300 10（ x 30） （ x 20） =3750 化简得 80x+1575=0 解这个方程得： 5， 5 因为利润不得超过原价的 100%， 所以 5 应舍去 答：该玩具应定价为 35 元 【点评】 考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解总利润等于单件利润乘 以销量，难度不大 23如图，抛物线经过点 A、 B、 C （ 1）求此抛物线的解析式； （ 2）若抛物线和 x 轴的另一个交点为 D， 求 面积 【考点】 待定系数法求二次函数解析式；抛物线与 x 轴的交点 【专题】 计算题 【分析】 （ 1）由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式 y=a（ x 1） 2 4，然后把 A 点坐标代入求出 a 的值即可； （ 2）利用抛物线的对称性易得 D 点坐标，然后根据三角形面积公式求解 【解答】 解：（ 1）设抛物线的解析式为 y=a（ x 1） 2 4， 把 A（ 1， 0）代入得 a（ 1 1） 2 4=0，解得 a=1， 所以抛物线的解析式为 y=（ x 1） 2 4； （ 2）因为抛物线的对称轴为直线 x=1， 则点 A（ 1， 0）关于 直线 x=1 的对称点 D 的坐标为（ 3， 0）， 所以 面积 = 34=6 【点评】 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与 x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解也考查了二次函数的性质 24如图， O 的直径， O 相切于点 A， O 相切于点 E，点 C 为 长线上一点， 且 （ 1）求证： O 的切线； （ 2）若 ， ，求线段 长 【考点】 切线的判定与性质；勾股定理 【专题】 计算题 【分析】 （ 1）因为 过圆的半径的外端，只要证明 可连接 用 到 0即可证明 O 的切线 （ 2）作 点 F，构造 用勾股定理解答即可 【解答】 （ 1）证明：连接 E， E， C， 又 O 相切于点 E， 0 0 O 的切线 （ 2）解：过点 D 作 点 F，则四边形 矩形， D=2， B=2 别切 O 于点 A、 E、 B， E， B 设 x，则 CF=x 2， DC=x+2 在 ，（ x+2） 2（ x 2） 2=（ 2 ） 2，解得 x= 【点评】 此题考查了切线的判定和勾股定理的应用，作出辅助线构造直角三角形和全等 三角形是解题的关键 25 如图，对称轴为 x= 1 的抛物线 y=bx+c（ a0）与 x 轴相交于 A、 B 两点，其中点