福建省三明市2016届高中毕业班5月质量检查数学文试题含答案

2016 年三明市普通高中毕业班质量检查 文科数学试题 （满分 150 分 考试时间 120 分钟） 注意事项： 1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，第卷 1 至 2 页，第卷 3 至 4页 2答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上 3全部答案答在答题卡上，答在本试卷上无效 4考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 第卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1若集合 2 | M x y x x ,集合 | s N y y x,则 A 1,0 B. 1,1 C. 0,1 D. 2 采用系统抽样方法从 960 人中 ， 抽取 32 人做问卷调查 ,为此将他们随机编号为 1， 2， 960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9，抽到的 32 人中，编号落入区间 1，450的人做问卷 A，编号落入区间 451， 750的人做问卷 B，其余的人做问卷 C则抽到的 32 人中，做问卷 C 的人数为 B 9 C 10 D 15 3如图，网络纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体 的三视图，则该几何体的体积为 A 2 B 3 C 4 D 6 4已知向量 (s ) , 2 )x a ， (1 , c o s ( )x b ，函数 ( ) ( ) ( ) a b a b，则 ()A 1 B 2 C D 2 5已知 ， i 是虚数单位，命题 p ：在复平面内，复数1 21对应的点位于 第 二 象限 ；命题 q ：复数2 的模等于 2.若 是真命题，则实数 a 的值等于 A 1 或 1 B 3 或 3 C 5 D 3 6 已知 3，且 (,)2，则 )4 A 17B. 7 C. 7从装有 3 个白球、 2 个红球的袋中任取 3 个，则所取的 3 个球中至多有 1 个红球的概 率是 始 输入 1 , 0S m n ? 输 出 S 结束开始 1 S S m 2是 否是 8已知直线 :1l x y 与圆 22: 2 2 1 0M x y x y 相交于 A ， C 两点，点 B 和点 D 分别在圆 位于直线 侧，则四边形 积的最大值为 A 30 B 2 30 C 51 D 2 51 9执行如图所示的程序框图， 若 输出的 63S ，则输入 a 的值可以是 A 6 B 7 C 8 D 9 10已知曲线 1( ) 与直线 y 有且仅有一个公共点，则实数 k 的 最大值是 A B 0 C 1 D 2 11 已知球 O 是某几何体的外接球，而该 几何体 是 由一个侧棱长为 25的正 四棱锥 S 与一个高为 6 的正四棱柱1 1 1 1A B C D A B C D拼接而成， 则 球 O 的 表面积为 A. 1003B. 64 C. 100 D. 500312已知函数 4l o g 3 ( 0 ) ,()1( ) 3 ( 0 ) ,4xx x 若 ()x，则12|A 3 B 3 C 22 D 3 第卷 本卷包括必考题和选考题两部分第 13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答 24 题为选考题，考生根据要求做答 二、填空题：本大题共 4 小题，每 小题 5 分 13 已知实数 满足 2 0,1,1, 则目标函数 2z x y 的取值范围是 . 14 若 关于 x 的 方程 2 20x 在 区间 1,2 上有解，则实数 m 的取值范围是 . 15 已知双曲线 22: 1 ( 0 , 0 )a 的左、右焦点分别为12若在双曲线 C 的右支上存在一 点 P 满足123F，且 212F a 双曲线 C 的离心率为 . 16在钝角 ，已知 2 3s i n s i n 2 16,则得最小值 时 ，角 . 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（本小题满分 12 分） 已知 等比数列 项都为正数 ，其 前 n 项和为3 42S ，2 6 3 716a a a a （ ） 求数列 （） 设2 2 11( l o g ) ( l o g )n ，数列 n 项和为证： 1132 18（本小题满分 12 分） 某房地产公司 的 新建小区有 A， B 两种户型住宅，其中 A 户型住宅 的 每套面积为 100 平方米， 每套面积为 80 平方米该公司准备从两种户型中各拿出 10 套试销售，下表是这 20套住宅每平方米的销售价格（单位：万元 /平方米） . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A 户型 户型 ）根据上表数据，完成下 列茎叶图，并分别求出 A， B 两类户型住宅每平方米销售价格的中位数； （） 若该公司决定：通过抽签方式进行试销售，抽签活动按 A、 B 户型分成两组，购房者从中任选一组参与抽签（ 只有一次机会 ），并根据抽签结果和自己的购买力决定是否购买（仅当抽签结果超过购买力时，放弃购买）现有某居民 获得优先抽签权，且他 的购买力最多为 120 万元，为了使其购房成功概率更大，请你向其推荐应当参加哪个户型的抽签活动， 并 为他 估计此次购房的平均 单价（ 单位：万元 /平方米 ） . 19. （本小题满分 12 分） 如图， 在四棱锥 P 中，底面 正方形，侧面 底面 2C，120 ， E 是 线段 中点， 14B A 户型 B 户型 0. 1. 2. ） 求证： D ； （） 求点 F 到平面 距离 20. （本小题满分 12 分） 已知两定点 ( 1,0)A ， (1,0)B ，动点 M 满足 4，线段 垂直平分线与线段 交于点 N ，设点 N 的轨迹为曲线 C （ ） 求曲线 C 的方程； （） 设动直线 l 与 曲线 C 交于 ,P Q 两点，且 Q (其中 O 为坐标原点 )， 试问：是否存在定圆 2 2 2 ( 0 )x y r r ，使得该圆恒与 直线 l 相切 ？ 说明理由 21 （本小题满分 12 分） 已知函数 2( ) l n mf x m （其中 m 为常数），且 1x 是 () （）设 曲线 ()y f x 在 11( , ( ) 切线 为 l ，求 l 与坐标轴围成的三角形的面积； （） 求证： ( ) 4 ( )f x f x 请考生在 22， 23， 24 三题中任选一题作答 注意：只能做所选定的题目 如果多做，则按所做第一个题目计分 做 答时 ， 请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑 22 （本 小 题满分 10 分）选修 4 1：几何证明选讲 如图， 1O 与 2O 相交于 ,点 A 作 1O 的切线交 2O 于点 C ，过点 B 作两圆的割线，分别交 1O ， 2O 于点 , 交于点 P （ ）求证 : （ ）若 2 且 6， 2， 9， 求 长 23（ 本小题满分 10 分 ） 选修 4 4： 坐标系与参数方程 在 平面 直角坐标系 ，曲线1co s , (为参数 ) ， 在以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中 ， 曲线2c o s s （ ） 求曲线1 曲线2 O 1 ） 若射线 l ： y ( 0)x 与曲线1C，2,当斜率(1, 3k 时，求 | | | |B 的 取值 范围 24.（ 本小题满分 10 分 ） 选修 4 5： 不等式选讲 已知函数 ( ) | | | 2 1 |f x x a x ()aR . （ I）当 1a 时，求 ( ) 2的解集； （ ( ) | 2 1 |f x x的解集包含集合 1 ,12，求实数 a 的取值范围 2016 年三明市普通高中毕业班质量检查 文科数学参考答案及评分标准 一、选择题： 3. A 6. B 7. C 11. C 、填空题： 13. 1,3 14. 2 2,3 15. 3 16. 12三、解答题： 17. 解： （ ） 设数列 q ，由2 6 3 716a a a a ，得 224516 所以 2 16q ， 因为数列 以 4q ， 2分 所以 23 1 1(1 ) 2 1S a q q a ，又3 42S,所以1 2a， 4分 所以数列 2 12 4 2 ， 6 分 （ （ I）得2 1 2 1221 1 1 1 1()( l o g 2 ) ( l o g 2 ) ( 2 1 ) ( 2 1 ) 2 2 1 2 1n n n n n ， 8分 所以 12b b b L 1 1 1 1 1 1 1 1( 1 ) ( 1 )2 3 3 5 2 1 2 1 2 2 1n n n L， 10 分 因为 1 042n ， 所以 1 1 12 4 2 2nT n ， 11 分 又1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) 02 4 6 2 4 2 4 2 4 6n n n n ， 所以 n 单调递增 所以1 13， 综上所述： 1132 12 分 18 解： （ ） 3分 A 户型住宅每平方米销售价格的中位数为 ； 4分 B 户型住宅每平方米销售价格的中位数为 5分 (选择 A 户型抽签，限于总价 120 万元的购买力，每平方米的价格不得高于 元， 因此，有能力购买其中的 7 套，所以成功购房的概率是 710； 7分 若选择 B 户型抽签，同样限于总价 120 万元的购买力，则每平方米的价格不得高于 元， 因此，有能力购买 其中的 5 套，所以成功购房的概率是 5110 2， 9分 因为 7110 2，所以选择 A 种户型抽签，能使购房成功的概率更大 10分 此次购房 每平方米 的 平均 单价为 0 . 97 1 . 11 . 10 . 70 . 90 . 80 . 80 . 9 万元 12分 19. 解： （ ） 在侧面 ， 2C， 120 ， E 是 点， 1， A 户型 B 户型 9 8 8 9 7 3 1 4 1 3 0. 1. 2. 2 6 8 4 4 2 7 3 3 1 作 C 于 H ， 2 分 连 结 底面 正方形， 14B 即 12 矩形， C ， 3 分 又 C ， H HI , 面 5 分 又 面 F 6 分 （ （ I）知， 平面 点 F 到平面 距离等于点 H 到平面 距离， 7 分 底面 正方形，侧面 底面 侧面 即 侧面 E ， 13A D E H D E A D ， 在三棱锥 H 中，设点 H 到平面 距离为 d ，则 13H A D E A D d ， 9分 由于H A D E A D E ， 13 D 13 ， D H E H A D A D D E d ， 13222 21d， 11分 34d，即 点 F 到平面 距离为 34 12分 20. 解： （ ） 因为点 N 在线段 垂直平分线上，所以 M ， 1分 所以 4N A N B N A N M A M A B ， 所以点 N 的轨迹是以 ,轴长 为 4 的椭圆 3分 设此椭圆方程为 22 1 ( 0 )xy ，则222 4,1,解得 2,所以曲线 C 的方程为 22143 4分 （ 直线 l 不垂直于 x 轴时，设直线 l 方程为 y kx m，11( , )P x y，22( , )Q x y， 因为 Q ，所 以 0Q即1 2 1 2 0x x y y， 5分 由 221,43,kx m 得 2 2 2( 3 4 ) 8 4 1 2 0k x k m x m ， 6分 所以 2 2 2 26 4 4 ( 3 4 ) ( 4 1 2 ) 0k m k m ，（ *） 12 2834k ， 212 24 1 234k 7分 则 221 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( 1 ) ( )x x y y x x k x m k x m k x x k m x x m 222224 1 2 8( 1 ) ( ) 03 4 3 4m k mk k m ， 解得 22 1 2 1 27 ， 代入可知不等式（ *）成立， 9分 所以原点 O 到直线 l 的 距离为2221 2 1 2127711 ， 所以直线 y kx m与圆 22127相切 11分 当直线 l 垂直于 x 轴 时，不妨设点 P 在 x 轴上 方， 根据椭圆的对称性，易得直线 方程为 ， 由 221,43, 得 1 2 1 2( , )77P , 所 以原点 O 到直线 l 距离为 127，因此 直线 l 与圆 22127相切 综上所述： 存在定圆 22127，使得该圆恒与 直线 l 相切 . 12分 21 解 法一 ：（）由已知可得 22()，则 (1 ) 0 0 或 1m ， 而当 0m 与条件不符（舍去）， 1m 2 分 所以 1( ) x ，21( ) ( 0 )xf x ， 从而 1( ) e 1， 21( ) e ， 故切线 l 的 方程为： 2 1( e 1 ) ( e e ) ( ) ， 4分 l 与坐标轴的交点分别为 2( , 0)(0 , 2e 2)B ， 所以切线 l 与坐标轴所围成的三角形的面积为 1 | | | |2 A O B 2e 2e 6 分 （）对于21( ) ( 0 )xf x ， 当 01x时， ( ) 0 ；当 1x 时 ， ( ) 0 ，当 1x 时 ， ( ) 0 ()0,1) 上递减，在 (1, ) 递增，故m i n( ( ) ) ( ) (1 ) 1f x f x f 极 小 值 8 分 又211( ) ( 0 )f x ，令 1 ( 0 )，则 22 11( ) ( ) ( ) ( 0 )24f x h t t t t t ， 从而m a x 11( ( ) ) ( )24h t h，即m a x( 4 ( ) ) 4 ( 2 ) 1f x f 10 分 故 ( ) 1 4 ( )f x f x ，但 () ( )不同时取得最值， 所以上式等 号 不同时成立，即 ( ) 4 ( )f x f x 成立 12 分 解法二：（） 同解法一 （）对于21( ) ( 0 )xf x ，当 01x时， ( ) 0 ； 当 1x 时， ( ) 0 ，当 1x 时 ， ( ) 0 ()0,1) 上递减，在 (1, ) 递增，故m i n( ( ) ) ( ) (1 ) 1f x f x f 极 小 值 8 分 令211( ) ( ) ( 0 )h x f x ，则3 2 32 1 2( ) ( 0 )xh x xx x x ， 当 02x时， ( ) 0 ；当 2x 时， ( ) 0 ；当 2x 时， ( ) 0 () (0,2) 上递增，在 (2, ) 递减， 故m a x 1( ( ) ) ( ) ( 2 ) 4h x h x h 极 大 值，即m a x 1( ( ) ) ( 2 ) 4f x f， 即m a x( 4 ( ) ) 4 ( 2 ) 1f x f 10 分 故 ( ) 1 4 ( )f x f x ，但 () ( )不同时取得最值， 所以上式等 号 不同时成立，即 ( ) 4 ( )f x f x 成立 12 分 22 解： （）证明：连接 1 ， 3分 又 ， ， 5分 （）设 BP x ， PE y ， 6， 2， 12， 6 分 962D P A P P C y ， 39, 7 分 由可得， 34或112舍去） 8 分 9 1 6D E x y ， 2 2 9 1 6A D D B D E ， 9 分 12. 10分 23 解： （） 由 1 co s ,得 22( 1) 1，即 2220x y x ， 所以1 3 分 由 2c o s s 得 22c o s s i n ，所以曲线2 5 分 O 1O 2（） 设 射线 l ： y ( 0)x 的倾斜角为 ，则射线的 极坐标方程 为 ， 6分 且 t a n (1 , 3 k ， 联立 2 得1| | 2 c o ， 7 分 联立 2c o s s i n , 得2 2s i n| c o ， 9 分 所以12 2s i n| | | | 2 c o s