2019届浙江省杭州市学军中学高三下学期5月模拟考试数学试题版.doc

2019届浙江省杭州市学军中学高三下学期5月模拟考试数学试题一、单选题1已知全集，.则（ ）ABCD【答案】A【解析】计算，再计算得到答案.【详解】，则.故选：.【点睛】本题考查了集合的运算，意在考查学生的计算能力.2双曲线：的离心率是（ ）ABCD【答案】B【解析】根据双曲线离心率定义直接计算得到答案.【详解】双曲线：，故，故.故选：.【点睛】本题考查了双曲线的离心率，属于简单题.3若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A16B32C48D144【答案】C【解析】由三视图知：几何体为四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，如图：其中BC=2，AD=6，AB=6，SA平面ABCD，SA=6，几何体的体积.故选C.4为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数（ ）ABCD或【答案】C【解析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简，再利用纯虚数的定义求解即可【详解】是纯虚数，即，故选C【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.5函数的大致图象是ABCD【答案】B【解析】根据函数解析式，可代入特殊点，进行排除.【详解】根据函数表达式，当x2时，函数值大于0，可排除A选项，当x-1时，函数值小于0 故可排除C和D选项，进而得到B正确。故答案为：B.【点睛】这个题目考查了已知函数解析式，求函数图像的问题，这种题目一般可以代入特殊点，进行选项的排除，或者根据函数表达式得到函数的定义域，值域的问题，进行排除.6已知直线，则“”是“”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】先得出两直线平行的充要条件，根据小范围可推导出大范围，可得到答案.【详解】直线，的充要条件是，当a=2时，化简后发现两直线是重合的，故舍去，最终a=-1.因此得到“”是“”的充分必要条件.故答案为C.【点睛】判断充要条件的方法是：若pq为真命题且qp为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；若pq为假命题且qp为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；若pq为真命题且qp为真命题，则命题p是命题q的充要条件；若pq为假命题且qp为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系7已知随机变量的分布列如下，则E（）的最大值是( )-10aPABCD【答案】B【解析】根据分布列的性质得到b=a,再由均值的概念得到，由二次函数的性质得到结果即可.【详解】根据分布列的性质的到,所有的概率和为1,且每个概率都介于0和1之间，得到b-a=0,，根据公式得到 化简得到，根据二次函数的性质得到函数最大值在轴处取，代入得到.此时,经检验适合题意.故答案为B.【点睛】这个题目考查了分布列的性质以及应用，分布列的概率和为1，每个概率值介于0和1之间，或者可以等于0或1，基础题型.8设，点，设对一切都有不等式 成立，则正整数的最小值为（ ）ABCD【答案】A【解析】先求得，再求得左边的范围，只需，利用单调性解得t的范围.【详解】由题意知sin，随n的增大而增大，,，即，又f(t)=在t上单增，f(2)= -10，正整数的最小值为3.【点睛】本题考查了数列的通项及求和问题，考查了数列的单调性及不等式的解法，考查了转化思想，属于中档题.9已知向量，夹角为，|=2，对任意xR，有|+x|-|，则|t-|+|t-|（tR）的最小值是（）ABCD【答案】D【解析】对任意xR，有|+x|-|，两边平方得，则即有，即，则 向量，夹角为，|=2设，建立平面直角坐标系，如图所示：则，它表示点与点、的距离之和的2倍当三点共线时，取得最小值，即，故选D点睛：平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数的最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解.10已知，为两个不重合的平面，为两条不重合的直线，且，.记直线与直线的夹角和二面角均为，直线与平面的夹角为，则下列说法正确的是（ ）A若，则B若，则C若，则D若，则【答案】A【解析】直线为，点在平面的投影为，作于，连接，化简整理得到，再根据三角函数关系，依次计算每个选项判断得到答案.【详解】如图所示：直线为，点在平面的投影为，作于，连接，.则，设，则，.，即.当时，则，故，易知，故，正确；当时，要证，即，即，不恒成立，故错误；当时，则，故错误；当时，要证，即，即，不恒成立，故错误；故选：.【点睛】本题考查了线线夹角，线面角，二面角，三角函数关系，意在考查学生的综合应用能力.二、填空题11已知多项式，则_；_.【答案】 【解析】分别取，计算得到答案.【详解】取，得到；取得到，取得到，相加得到，故.故答案为：；.【点睛】本题考查了二项式定理的应用，意在考查学生的计算能力.12已知，则的最小值为_；若，则_.【答案】 【解析】化简得到，计算得到答案.化简得到，判断，计算得到答案.【详解】，当时，函数有最小值为.，故，且，故，故，.故，.故答案为：；.【点睛】本题考查了三角恒等变换，三角函数最值，确定是解题的关键.13在平面直角坐标系中，不等式组所表示的平面区域的面积等于_，的取值范围是_.【答案】2 ； 【解析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求面积，只需求出区域图形的面积即可；将目标函数化为斜截式，根据图像分析得到最值.【详解】不等式组表示的可行域如图，三条直线围成的三角形，可得C（1，0）， 可得B（1，4）， 解得A（0，1）区域面积为：412目标函数,根据图像得到过点A时取得最小值1，过点B时取得最大值6.故答案为(1)2;(2).【点睛】利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域;(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形常见的类型有截距型（型）、斜率型（型）和距离型（型）;(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解;(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.14已知函数，若时，则_.记集合，若（为整数集）中恰有一个元素，则的取值范围为_.【答案】 【解析】计算，分别计算得到答案；根据得到，故，解得答案.【详解】，则.当时，；当时，此时，不满足，舍去.故.根据题意：，故.则，故，解得，故.故答案为：；.【点睛】本题考查了根据函数最值求参数，根据元素个数求参数，意在考查学生的综合应用能力.15已知正实数满足，则的最小值为_【答案】55【解析】由题可得y0，解得0x21则xy+5x+4y3x+y+423x42331，再利用基本不等式的性质即可得出【详解】正实数满足，解得则，当且仅当时取等号的最小值为55故答案为：55【点睛】本题考查了基本不等式的性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题16已知椭圆，为轴上一动点.若存在以点为圆心的圆，使得椭圆与圆有四个不同的公共点，则的取值范围是_.【答案】【解析】设椭圆上和圆的一个交点为，根据题意得到，解得答案.【详解】设椭圆上和圆的一个交点为，则，根据题意小于到左右顶点的距离，即函数的最小值不能取左右顶点处，故，即.故答案为：【点睛】本题考查了圆和椭圆的位置关系，意在考查学生的综合应用能力.17已知向量，满足，则的取值范围是_.【答案】【解析】如图所示建立坐标系，则，在单位圆上，转化得到，在时，取最小值，在时，取最大值，计算得到答案.【详解】如图所示建立坐标系，则，在单位圆上.则，设，满足，故，整理得到，故，.当三点共线时，即在时，有最小值为；当在时，有最大值为，因为，即，当时等号成立.综上所述：取值范围为.故答案为：.【点睛】本题考查了向量模的范围，将所求转化为是解题的关键.三、解答题18设的内角的对边分别为，且.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（）； （）.【解析】()由题意结合正弦定理可得，代入边长求解a的值即可；()由余弦定理可得：，则，利用二倍角公式和两角和差正余弦公式求解的值即可.【详解】()由可得，结合正弦定理可得：，即：，据此可得.()由余弦定理可得：，由同角三角函数基本关系可得，故，.【点睛】本题主要考查余弦定理的应用，两角和差正余弦公式，二倍角公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19如图，在几何体中，平面底面，四边形是正方形，是的中点，且，（1）证明：/平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】（1）连接，交于点，连接，证明四边形是平行四边形得到答案.（2）过点作面与面的交线，交直线于，证明即与面所成的角，计算得到答案.【详解】（1）证明：如图1所示，连接，交于点，连接.因为四边形是正方形，所以是的中点，又已知是的中点，所以，又因为且，所以，即四边形是平行四边形，所以，因此平面.（2）如图2所示，过点作面与面的交线，交直线于.过作线的垂线，垂足为.再过作线的垂线，垂足为.因为，所以面，所以，又因为，所以面，所以即与面所成的角，因为面，所以，且为的中点，如图2所示，为边上的高，因为，所以，所以，因为，所以，所以.【点睛】本题考查了线面平行，线面夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.20数列是等比数列，公比大于，前项和 ，是等差数列，已知.（）求数列，的通项公式；（）设的前项和 ，（i）求；（ii）证明：.【答案】(1) ； (2) （i）（ii）见证明【解析】（）根据条件解得公比即得根据条件列方程组解得首项与公差，即得；（）（i）先求，再利用分组求和法得，（ii）先化简，再利用裂项相消法求和，即得结果.【详解】（）解：设数列的公比为（舍）或设数列的公差为，（）（i）解：（ii）.【点睛】本题考查等差数列与等比数列通项公式、等比数列求和公式以及分组求和法、裂项相消法，考查综合分析论证求解能力，属中档题.21已知直线与抛物线交于不同的两点，为抛物线的焦点，为坐标原点，是的重心，直线恒过点.（1）若，求直线斜率的取值范围；（2）若是半椭圆上的动点，直线与抛物线交于不同的两点，.当时，求面积的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）设，联立方程解得，计算得到答案.（2）计算得到，设，求得最大值，设，求导得最小值得到答案.【详解】（1）设，直线与抛物线联立：，所以，由，得直线斜率，因为，所以.（2）直线斜率，由得.设直线（其中），直线与抛物线联立：.所以，设为点到直线的距离，的面积记为.由题知，故令，.，当时，取最大值.，设，则.时，单调递减；时，单调递增.所以，即时，取最小值.所以面积的取值范围是.【点睛】本题考查了斜率和面积的范围，意在考查学生的计算能力和转化能力.22已知函数，.（1）若直线是曲线的切线，求的最大值；（2）设，若函数有两个极值