高中数学论文：圆锥曲线中的蝴蝶定理及其应用 沪教版

用心 爱心 专心 圆锥曲线中的蝴蝶定理及其应用圆锥曲线中的蝴蝶定理及其应用 2003 年北京高考数学卷第 18 III 题考查了椭圆内的蝴蝶定理的证明 本文给出了一 般圆锥曲线的蝴蝶定理的两种形式 并由它们得到圆锥曲线的若干性质 定理定理 1 1 在圆锥曲线中 过弦 AB 中点 M 任作两条弦 CD 和 EF 直线 CE 与 DF 交直线 AB 于 P Q 则有 MQMP 证明证明 如图 1 以 M 为原点 AB 所在的直线为 y 轴 建立直角坐标系 设圆锥曲线的方程为 设 A 0 t B 0 0 22 FEyDxCyBxyAx t 知 t t 是的两个根 所以 0 2 FEyCy0 E 若 CD EF 有一条斜率不存在 则 P Q 与 A B 重合 结论成立 若 CD EF 斜率都存在 设 C x1 k1x1 D x2 k1x2 E x3 k2x3 F x4 k2x4 P 0 p Q 0 q 111 13 1132 xkxx xx xkxk yCE 同理 所以 13 2131 111 13 1132 0 xx kkxx xkx xx xkxk p 24 2142 xx kkxx q 1324 4321214321 xxxx xxxxxxxxkk qp 将代入 得 又得xky 1 0 1 2 2 11 FxEkDxCkBkA0 E 同理 2 11 21 CkBkA D xx 2 11 21 CkBkA F xx 2 22 43 CkBkA D xx 所以 即 2 22 43 CkBkA F xx 0 qpMQMP 注注 2003 年高考数学北京卷第 18 III 题 就是定理 1 中取圆锥曲线为椭圆 AB 为平 行长轴的弦的特殊情形 定理定理 2 2 在圆锥曲线中 过弦 AB 端点的切线交于点 M 过 M 的直线 l AB 过 M 任作两 条弦 CD 和 EF 直线 CE 与 DF 交直线 l 于 P Q 则有 MQMP 证明证明 如图 2 以 M 为原点 AB 所在的直线为 y 轴 建立直角坐标系 F E M P Q D C B A y x 图 1 用心 爱心 专心 设圆锥曲线的方程为 0 22 FEyDxCyBxyAx 设 A B 则切线 MA 的 11 y x 21 y x 方程是 切线 MB 的方0 22 11 Fy E x D 程是 得0 22 21 Fy E x D 所以 下面与定理 1 的证明相同 略 0 21 yyE0 E 特别的 当弦 AB 垂直圆锥曲线的对称轴时 点 M 在圆锥曲线的该对称轴上 性质性质 1 1 过点 M m 0 做椭圆 双曲线的弦 CD EF 是其焦点轴 则直线1 2 2 2 2 b y a x CE DF 的连线交点 G 在直线 l 上 特别的 当 M 为焦点时 l 就是准线 当 M 为准线 m a x 2 与焦点轴所在直线的交点时 l 就是过焦点的直线 证明证明 如图 3 过 M 做直线 AB 垂直焦点轴所在的直线 直线 CE 与 DF 交直线 AB 于 P Q 则根据定理 1 定理 2 得 MQMP 过 G 做 GH 垂直焦点轴所在直线于 H 得 设 M m 0 FH FM HG MQ HG MP HE EM H n 0 焦点轴长为 2a 则有 得 na ma na ma 2 amn 注注 性质 1 就是文 1 中的性质 1 文 2 中的推论 2 若圆锥曲线为抛物线 把无穷远点作为其虚拟顶点 把图 3 中的 DF 看作与焦点轴平行 的直线 于是得到性质 2 性质性质 2 2 过点 M m 0 做抛物线的弦 CD E 是抛物线的顶点 直线 DF 与抛pxy2 2 物线的对称轴平行 则直线 CE DF 的连线交点在直线 l 上 特别的 当 M 为焦点时 mx l 就是准线 当 M 为准线与焦点轴的交点时 l 就是过焦点的直线 注注 2001 年全国高考数学卷第 18 题 就是性质 2 中 M 为焦点的情形 性质 2 就是文 1 中 的性质 2 文 2 中的推论 1 F E M P Q D C B A y x 图 2 y H G OF E M P Q D C B A x 图 3 用心 爱心 专心 性质性质 3 3 直线 l 过点 M m 0 做椭圆 双曲线的弦 CD 直线 m a x 2 1 2 2 2 2 b y a x l 与 CD 交于点 I 则 DI DM CI CM 证明证明 如图 4 由定理 1 定理 2 及性质 1 得 DI DM IG MQ IG MP CI CM 性质性质 4 4 过点 M m 0 做椭圆 双曲线的弦 CD EF 则直线 CE DF 的连1 2 2 2 2 b y a x 线交点 G 在直线 l 上 m a x 2 证明证明 如图 5 过 G 做 GH 垂直焦点轴所在的直 线 由定理 1 定理 2 得 由性质 3 得 点 I DI DM IG MQ IG MP CI CM 在直线 l 上 所以点 G 在直线 l m a x 2 上 m a x 2 类似性质 3 性质 4 得到性质 5 性质 6 性质性质 5 5 直线 l 过点 M m 0 做抛物线的弦 CD 直线 l 与 CD 交mx pxy2 2 于点 I 则 DI DM CI CM 性质性质 6 6 过点 M m 0 做抛物线的弦 CD EF 则直线 CE DF 的连线交点 Gpxy2 2 在直线 l 上 mx 注注 文 3 中的定理是性质 4 性质 6 的特殊情形 即取 M 为焦点时 直线 CE DF 的连 线交点 G 落在相应准线上 性质性质 7 7 过点 M m 0 做椭圆 双曲线的弦 CD 则以 C D 为切点的圆锥1 2 2 2 2 b y a x I y H G OF E M P Q D C B A x 图 4 图 5 E I y H G O F M P QD C B A x 用心 爱心 专心 曲线的切线的交点 G 在直线 l 上 m a x 2 证明证明 如图 6 设切线 CG 交直线 l 于 G1 连接 G1D 若 G1D 与圆锥曲线有除 D 点外的公共点 F 做直线 FM 交圆锥曲线于 E 由性质 4 知 CE 与 DF 的交点在直线 l 上 所以 C E G1三点共线 与 CG1是圆锥曲线的切 线矛盾 所以 G1D 与圆锥曲线只有一个公共点 D G1D 是圆锥曲线的切线 G1与 G 重合 G 在 直线 l 上 性质性质 8 8 过点 M m 0 做抛物线的弦 CD 则以 C D 为切点的圆锥曲线的切pxy2 2 线的交点 G 在直线 l 上 mx 注注 性质 7 性质 8 也是性质 4 性质 6 的一种极端情形 就是文 4 中的定理 1 性质性质 9 9 直线 l 过点 M m 0 做椭圆 双曲线的弦 CD C D m a x 2 1 2 2 2 2 b y a x 在 l 上的射影为 C1 D1 在焦点轴所在直线上的射影为 C2 D2 则 2 1 2 1 DD DD CC CC 证明证明 如图 7 由性质 3 得 所 2 2 1 1 CC DD DI CI DM CM DD CC 以 2 1 2 1 DD DD CC CC 性质性质 1010 直线 l 过点 M m 0 做抛mx 物 线的弦 CD C D 在 l 上的射影为 C1 D1 pxy2 2 在 对称轴上的射影为 C2 D2 则 2 1 2 1 DD DD CC CC 注注 性质 9 10 即文 5 中的定理 1 2 3 文 5 中的推论也可由性质 3 5 直接推出 性质性质 1111 在圆锥曲线中 过弦 AB 中点 M 任作两 条弦 CD 和 EF 直线 CE 与 DF 交于点 G 过 G 做 GI AB 直线 GI 交 FE 于 I 则 FI FM EI EM 证明证明 如图 8 直线 CE 与 DF 交直线 AB 于 y H G O F M D C x 图 6 I y D2 OF C2 M C1 D C D1 x 图 7 I G F E M P Q D C B A 图 8 用心 爱心 专心 P Q 由定理 1 得 所以 MQMP FI FM IG MQ IG MP EI EM 性质性质 1212 在圆锥曲线中 过弦 AB 端点的切线交于点 M 过 M 任作两条弦 CD 和 EF 直线 CE 与 DF 交于点 G 过 G 做 GI AB 直线 GI 交 FE 于 I 则 FI FM EI EM 性质 11 12 可认为是性质 1 2 3 5 的推广 从性质 11 12 出发可以得到类似性质 4 6 7 8