指数、对数、幂函数总结归纳

指数与指数指数与指数幂幂的运算的运算 学习目标学习目标 1 理解有理指数幂的含义 掌握幂的运算 2 理解指数函数的概念和意义 理解指数函数的单调性与特殊点 3 理解对数的概念及其运算性质 4 重点理解指数函数 对数函数 幂函数的性质 熟练掌握指数 对数运算法则 明确算理 能对常见的 指 数型函数 对数型函数进行变形处理 5 会求以指数函数 对数函数 幂函数为载体的复合函数的定义域 单调性及值域等性质 6 知道指数函数与对数函数互为反函数 a 0 a 1 要点梳理要点梳理 要点一 幂的概念及运算性质要点一 幂的概念及运算性质 1 1 整数指数幂的概念及运算性质整数指数幂的概念及运算性质 2 2 分数指数幂的概念及运算性质分数指数幂的概念及运算性质 为避免讨论 我们约定 a 0 n mN 且为既约分数 分数指数幂可如下定义 m n 1 n n aa m nmmn n aaa 1 m n m n a a 3 3 运算法则 运算法则 当 a 0 b 0 时有 1 nmnm aaa 2 mn n m aa 3 0 anma a a nm n m 4 mm m baab 要点诠释 要点诠释 1 根式问题常利用指数幂的意义与运算性质 将根式转化为分数指数幂运算 2 根式运算中常出现乘方与开方并存 要注意两者的顺序何时可以交换 何时不能交换 如 24 4 2 4 4 3 幂指数不能随便约分 如 2 1 4 2 4 4 要点二 根式的概念和运算法则要点二 根式的概念和运算法则 1 1 n n 次方根的定义 次方根的定义 若 xn y n N n 1 y R 则 x 称为 y 的 n 次方根 即 x n y n 为奇数时 y 的奇次方根有一个 是负数 记为 零的奇次方根为零 记为 n y00 n n 为偶数时 正数正数 y y 的偶次方根有两个 记为 负数没有偶次方根负数没有偶次方根 零的偶次方根为零 记为 n y 00 n 2 2 两个等式 两个等式 1 当且时 1n nN n n aa 2 为偶数 为奇数 na na a nn 要点诠释 要点诠释 计算根式的结果关键取决于根指数 n 的取值 尤其当根指数取偶数时 开方后的结果必为非负数非负数 可先 写成的形式 这样能避免出现错误 a 指数幂的一般运算步骤指数幂的一般运算步骤 有括号先算括号里的 无括号先做指数运算 负指数幂化为正指数幂的倒数 底数是负数 先确定符号 底数是小数 先要化成分数 底数是带分数底数是负数 先确定符号 底数是小数 先要化成分数 底数是带分数 如如 先要化成假分数 如 先要化成假分数 如 15 415 4 然后要尽可能用幂的形式表示 便于用指数运算性质 然后要尽可能用幂的形式表示 便于用指数运算性质 在化简运算中 也要注意公式 a2 b2 a b a b a3 b3 a b a2 ab b2 a3 b3 a b a2 ab b2 a b 2 a2 2ab b2 a b 3 a3 3a2b 3ab2 b3 的运用 能够简化运算 指数函数及其性质指数函数及其性质 要点梳理要点梳理 要点一 指数函数的概念 要点一 指数函数的概念 函数 y ax a 0 且 a 1 叫做指数函数 其中 x 是自变量 a 为常数 函数定义域为 R 要点诠释 要点诠释 1 形式上的严格性 只有形如y ay ax x a 0 且 a 1 的函数才是指数函数 像 2 3xy 1 2xy 等函数都不是指数函数 31 x y 2 为什么规定底数 a 大于零且不等于 1 如果 则对于一些函数 比如 当时 在实数范围内函数值不存在 0a 4 xy 11 24 xx 如果 则是个常量 就没研究的必要了 而 a 0 时 y 0 没意义 1a 11 x y 要点二 指数函数的图象 要点二 指数函数的图象 y ax 0 a1 时图象 图象 要点诠释 要点诠释 1 当底数大小不定时 必须分当底数大小不定时 必须分 和和 两种情形讨论两种情形讨论 1a 01a 2 指数函数与的图象关于轴对称 x ya 1 x y a y 要点三 指数函数底数变化与图像分布规律要点三 指数函数底数变化与图像分布规律 x ya x yb x yc x yd 则 0 b a 1 d c 观察可知 底数越接近观察可知 底数越接近 1 1 图象曲线越平缓 底数越远离 图象曲线越平缓 底数越远离 1 1 图象曲线越 图象曲线越 陡 而且指数函数都过点 陡 而且指数函数都过点 0 10 1 又即 x 0 时 底大幂大 xxxx badc x 0 时 底小幂小 xxxx badc 要点四 指数式大小比较方法要点四 指数式大小比较方法 1 单调性法 化为同底数指数式 利用指数函数的单调性进行比较 2 中间量法 3 分类讨论法 4 比较法 比较法有作差比较与作商比较两种 其原理分别为 若 0ABAB 0ABAB 0ABAB 当两个式子均为正值的情况下 可用作商法 判断 或即可 1 A B 1 A B 对数及对数运算对数及对数运算 要点梳理要点梳理 要点一 对数概念要点一 对数概念 1 1 对数的概念对数的概念 如果 那么数 b 叫做以 a 为底 N 的对数 记作 logloga aN bN b 其中 a 叫做对数的底 01 b aN aa 且 数 N 叫做真数 要点诠释 要点诠释 对数式 logaN b 中各字母的取值范围是 a 0且 a 1 N 0 b R 2 2 对数对数具有下列性质具有下列性质 log0 a N a 且a1 1 0 和负数没有对数 即 0N 2 1 的对数为 0 即 log 10 a 3 底的对数等于 1 即 log1 aa 3 3 两种特殊的对数 两种特殊的对数 通常将以通常将以 1010 为底的对数叫做常用对数 为底的对数叫做常用对数 NNlglog10作作作 以以 e e e e 是一个无理数 是一个无理数 为底的对数叫做自然对数 为底的对数叫做自然对数 2 7182e logln e NN简记作 要点二 对数的运算法则要点二 对数的运算法则 已知 loglog010 aa MN aaMN 且 1 1 正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和 正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和 logloglog aaa MNMN 2 2 两个正数的商的对数等于被乘数的对数减去除数的对数两个正数的商的对数等于被乘数的对数减去除数的对数 logloglog aaa M MN N 3 3 正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数 正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数 loglog aa MM 要点诠释 要点诠释 1 利用对数的运算法则时 要注意各个字母的取值范围 即等式左右两边的对数都存在时等式才能成 立 如 log2 3 5 log2 3 log2 5 是不成立的 因为虽然 log2 3 5 是存在的 但 log2 3 与 log2 5 是不存在的 2 不能将和 差 积 商 幂的对数与对数的和 差 积 商 幂混淆起来 即下面的等式是错误错误的 错误 1 loga M N logaM logaN 错误 2 M N logaM logaN 要点三 对数公式要点三 对数公式 1 1 对数恒等式 对数恒等式 log log a b N a aN aN Nb 2 2 换底公式 换底公式 同底对数才能运算 底数不同时可考虑进行换底 在 a 0 a 1 M 0 的前提下有 1 loglogRnMM n a a n 令 logaM b 则有 ab M ab n Mn 即 则 nbn Ma n a Mb n log 所以得出结论 n a a MM n loglog 2 令 logaM b 则有 ab M 则有 1 0 log log log cc a M M c c a 1 0 loglog ccMa c b c 即 即 即Mab cc loglog a M b c c log log 1 0 log log log cc a M M c c a 当然 细心一些的同学会发现 1 可由 2 推出 但在解决某些问题 1 又有它的灵活性 而且由 2 还可以 得到一个重要的结论 1 0 1 0 log 1 log bbaa a b b a 对数函数及其性质对数函数及其性质 要点梳理要点梳理 要点一 对数函数的概念要点一 对数函数的概念 1 函数 y logax a 0 a 1 叫做对数函数 其中是自变量 函数的定义域是 值域为 x 0 R 2 判断一个函数是对数函数是形如的形式 即必须满足以下条件 log 0 1 a yx aa 且 1 系数为 1 2 底数为大于 0 且不等于 1 的常数 3 对数的真数仅有自变量 x 要点诠释 要点诠释 1 只有形如 y logax a 0 a 1 的函数才叫做对数函数 像 等函数 它们是由对数函数变化得到的 都不是对数函数 log 1 2log log3 aaa yxyx yx 2 求对数函数的定义域时应注意 对数函数的真数要求大于零 底数大于零且不等于 1 对含有 字母的式子要注意分类讨论 要点二 对数函数的图象要点二 对数函数的图象 0 a 1a 1 图象 要点诠释 要点诠释 1 关于对数式 logaN 的符号问题 既受 a 的制约又受 N 的制约 两种因素交织在一起 应用时经常出错 下 面介绍一种简单记忆方法 供同学们学习时参考 2 以 1 为分界点 当 a N 同侧时 logaN 0 当 a N 异侧时 logaN0 1 2 3 2 aa 332 aa a a 4 计算 63425 0 0 3 1 32 28 6 7 8 1 指数函数的概念指数函数的概念 5 函数是指数函数 求的值 2 33 x yaaa a 6 求下列函数的定义域 值域 1 2 y 4x 2x 1 3 4 a 为大于 1 的常数 3 1 3 x x y 21 1 3 9 x 2 1 1 x x ya 指数函数的单调性及其应用指数函数的单调性及其应用 7 讨论函数的单调性 2 2 1 3 xx f x 判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性 8 判断下列函数的奇偶性 9 请做出的图象 10 将下列指数式与对数式互化 1 2 3 4 5 利用对数恒等式化简求值利用对数恒等式化简求值 11 求值 7 1 log 5 7 积 商 幂的对数积 商 幂的对数 12 表示下列各式zyx aaa log log log用 2 35 3 1 log 2 log 3 log 4 log aaaa xyxyx x y zyzz 换底公式的运用换底公式的运用 13 已知 求 18 log 9 185 b a 36 log45 对数运算法则的应用对数运算法则的应用 14 求值 1 9 1 log 8 1 log 25 1 log32log 53264 2 7 lg142lglg7lg18 3 3 36log 4 3 log32 loglog 4 2 122 4 248125255 log 125log 25log 5 log8log4log 2 对数函数的概念对数函数的概念 15 下列函数中 哪些是对数函数 1 log 0 1 a yx aa 2 2 log2 yx 3 2 8log 1 yx 4 log 6 0 1 x yxx 5 6 logyx 对数函数的定义域对数函数的定义域 16 求下列函数的定义域 1 2 2 logayx log 4 01 a yx aa 且 对数函数的单调性及其应用对数函数的单调性及其应用 17 比较下列各组数中的两个值大小 1 33 log 3 6 log 8 9 2 0 20 2 log1 9 log3 5 3 与 2 log 5 7 log 5 4 与 3 log 5 6 log 4 5 log 4 2 log 4 8 aa 01aa 且 函数的奇偶性函数的奇偶性 1