高中数学知识要点重温（15）椭圆及其性质知识点分析

用心 爱心 专心 高中数学知识要点重温 高中数学知识要点重温 15 椭圆及其性质 椭圆及其性质 1 方程 1 22 n y m x 表示椭圆 m 0 n 0 且m n 2 a 是m n中之较大者 焦点的 位置也取决于m n的大小 举例 椭圆 1 4 22 m yx 的离心率为2 1 则m 解析 方程中 4 和m哪个大哪个就是 2 a 因此要讨论 若 0 m4 则 4 2 b ma 2 4 mc e m m4 2 1 得m 3 16 综上 m 3 或m 3 16 巩固 若方程 x2 ay2 a2 表示长轴长是短轴长的 2 倍的椭圆 则 a 的允许值的个数是 A 1 个 B 2 个 C 4 个 D 无数个 2 椭圆 1 2 2 2 2 b y a x 关于 x 轴 y 轴 原点对称 P x y 是椭圆上一点 则 x a y b a c PF a c 其中 F 是椭圆的一个焦点 椭圆的焦点到短轴端点的距离为 a 椭圆的焦 准距为 c b2 椭圆的通经 过焦点且垂直于长轴的弦 长为 2 a b2 通经是过焦点最短的弦 举例 1 已知椭圆 1 2 2 2 2 b y a x a 0 b 0 的左焦点为 F 右顶点为 A 上顶点为 B 若 BF BA 则称其为 优美椭圆 那么 优美椭圆 的离心率为 解析 AB 2 a2 b2 BF a FA a c 在 Rt ABF 中 a c 2 a2 b2 a2 化简得 c2 a c a2 0 等式两边同除以a2 得 01 2 ee 解得 e 2 15 注 关于a b c的齐次方程是 孕育 离心率的温床 举例 2 已知椭圆 1 2 2 2 2 b y a x a 0 b 0 的离心率为5 3 若将这个椭圆绕着它的右焦点 按逆时针方向旋转2 后 所得的新的椭圆的一条准线的方程为 y 3 16 则原来椭圆的方程是 用心 爱心 专心 解析 原来椭圆的右焦点为新椭圆的上焦点 在 x 轴上 直线 y 3 16 为新椭圆的上准线 故 新椭圆的焦准距为 3 16 原来椭圆的焦准距也为 3 16 于是有 c b2 3 16 a c 5 3 由 解得 a 5 b 3 巩固 1 一椭圆的四个顶点为 A1 A2 B1 B2 以椭圆的中心为圆心的圆过椭圆的焦点 的 椭圆的离心率为 巩固 2 在给定椭圆中 过焦点且垂直于长轴的弦长为 2 焦点到相应准线的距离为 1 则 该椭圆的离心率为 A 2 B 2 2 C 2 1 D 4 2 迁移 椭圆 1 34 22 yx 上有 n 个不同的点 P1 P2 P3 Pn 椭圆的右焦点 F 数列 PnF 是公差大于100 1 的等差数列 则 n 的最大值为 A 198 B 199 C 200 D 201 3 圆锥曲线的定义是求轨迹方程的重要载体之一 举例 1 已知 Q x 1 2 y2 16 动 M 过定点 P 1 0 且与 Q 相切 则 M 点的轨迹方程是 解析 P 1 0 在 Q 内 故 M 与 Q 内切 记 M x y M 的半径是为 r 则 MQ 4 r 又 M 过点 P MP r 于是有 MQ 4 MP 即 MQ MP 4 可见 M 点的轨迹是以 P Q 为焦点 c 1 的椭圆 a 2 举例 2 若动点 P x y 满足 x 2y 3 5 22 2 1 yx 则 P 点的轨迹是 A 圆 B 椭圆 C 双曲线 D 抛物线 解析 等式两边平方 化简方程是最容易想到的 但不可行 一方面运算量很大 另一方面 是平方 展开后方程中会出现 xy 项 这就给我们判断曲线类型带来了麻烦 但是 仔细观察 方程后 就会发现等式左边很 象 是点到直线的距离 而等式右边则是两点间的距离的 5 倍 为了让等式左边变成点到直线的距离 可以两边同除以 5 于是有 5 32 yx 5 22 2 1 yx 这就已经很容易联想到圆锥曲线的第二定义了 用心 爱心 专心 只需将方程再变形为 5 5 5 32 2 1 22 yx yx 即动点 P x y 到定点 A 1 2 与到 定直线 x 2y 3 0 的距离之比为 5 5 其轨迹为椭圆 巩固 1 已知圆 QAyxC 0 1 25 1 22 及点 为圆上一点 AQ 的垂直平分线交 CQ 于 M 则点 M 的轨迹方程为 巩固 2 设 x y R 在直角坐标平面内 a x y 2 b x y 2 且 a b 8 则点 M x y 的轨迹方程为 提高 已知 A 0 7 B O 7 C 12 2 以 C 为一个焦点作过 A B 的椭圆 则椭圆 的另一焦点的轨迹方程为 迁移 P 为直线 x y 2 0 上任一点 一椭圆的两焦点为 F1 1 0 F2 1 0 则椭圆过 P 点且长轴最短时的方程为 4 研究椭圆上的点到其焦点的距离问题时 往往用定义 会推导并记住椭圆的焦半径公式 举例 1 如图把椭圆 22 1 2516 xy 的长轴 AB 分成 8 分 过 每个分点作 轴的垂线交椭圆的上半部分于 1 P 2 P 7 P 七个点 F 是椭圆的一个焦点 则 127 PFP FP F 解析 P1 与 P7 P2 与 P6 P3 与 P5 关于 y 轴对称 P4 在 y 轴上 记椭圆的另一个焦点为 F 则 P7F P1F P6F P2F P5F P3F 于是 127 PFP FP F P1F P1F P2F P2F P3F P3F P4F 7a 35 举例 2 已知 A B 是椭圆 1 9 25 2 2 2 2 a y a x 上的两点 F2 是椭圆的右焦点 如果 5 8 22 aBFAF AB 的中点到椭圆左准线距离为2 3 则椭圆的方程 解析 aBFAF 5 8 22 2 2 11 BFaAFa a 5 8 11 BFAF a 5 12 记 AB 的中点为 M A B M 在椭圆左准线上的射影分别为 A1 B1 M1 由椭圆第二定义 知 AF1 e AA1 BF1 e BB1 于是有 e AA1 BB1 a 5 12 而 e 5 4 用心 爱心 专心 AA1 BB1 3a 2 MM1 3a 又 MM1 2 3 得 a 1 故椭圆方程为 1 9 25 2 2 y x 巩固 1 椭圆的两焦点为 F1 F2 以 F1F2 为一边的正三角形的另两条边均被椭圆平分 则椭 圆的离心率为 巩固 2 已知 F1 F2 是椭圆 4595 22 yx 的左右焦点 点P是此椭圆上的一个动点 1 1 A 为一个定点 则 1 PFPA 的最大值为 2 2 3 PFPA 的最小值为 提高 过椭圆左焦点 F 且斜率为 3 的直线交椭圆于 A B 两点 若 FA 2 FB 则椭圆的离 心率 e 5 研究椭圆上一点与两焦点组成的三角形 焦点三角形 问题时 常用椭圆定义及正 余 弦定理 举例 已知焦点在x轴上的椭圆 0 1 4 2 22 b b yx F1 F2 是它的两个焦点 若椭圆上存在 点 P 使得 0 21 PFPF 则b的取值范围是 解析 思路一 先证一个结论 若 B 为椭圆短轴端点 则 F1PF2 F1BF2 记 F1PF2 PF1 r1 PF2 r2 cos 21 22 2 2 1 2 4 rr crr 21 2 21 2 21 2 42 rr crrrr 1 2 44 21 22 rr ca 又 21r r 2 21 rr 2 2 a cos 2 222 2 4 a caa cos F1BF2 当且仅当 r1 r2 时等号成立 即 F1PF2 F1BF2 题中椭圆上存在点 P 使得 F1PF2 900 当且仅当 F1BF2 900 即 cos F1BO 2 2 b 2 2 a 2 b 0 2 思路二 用勾股定理 r1 r2 2a r12 r22 4c2 由 得 2r1r2 4b2 又 2r1r2 r12 r22 b2 c2 4 b2 即 b 0 2 思路三 用向量的坐标运算 记 P x0 y0 1 PF c x0 y0 2 PF c x0 y0 1 PF 2 PF c2 x02 y02 0 b2 4 x02 4 c2 b2 注意到 0 x02 4 0 4 c2 b2 4 b2 4 即 0 4 2b2 b2 4 得 b 0 2 巩固 1 椭圆 1 49 22 yx 的焦点为 1 F 2 F 点 P 为其上的动点 当 21PF F 为钝角时 点 P 横坐标的取值范围是 用心 爱心 专心 巩固 2 已知 P 是椭圆 1 45 22 yx 上一点 F1 和 F2 是焦点 若 F1PF2 30 则 PF1F2 的面积为 A 3 34 B 32 4 C 32 4 D 4 6 椭圆的参数方程的重要用途是设椭圆上一点的坐标时 可以减少一个变量 或者说坐标 本身就已经体现出点在椭圆上的特点了 而无需再借助圆的方程来体现横纵坐标之间的关系 如求椭圆上的点到一条直线的距离的最值 举例 若动点 yx 在曲线 0 1 4 2 22 b b yx 上变化 则 yx2 2 的最大值为 A 4 2 40 4 4 2 bb b b B 2 2 20 4 4 2 bb b b C 4 4 2 b D 2b 解析 本题可以直接借助于椭圆方程把 x2 用 y 表示 从而得到一个关于 y 的二次函数 再 配方求最值 这里用椭圆的参数方程求解 记 x 2cos y bsin yx2 2 4cos2 2bsin f f 4sin2 2bsin 4 4 sin 4 b 2 4 4 2 b sin 1 1 若 0 4 b 1 01 b 4 则当 sin 1 时 f 取得最大值 2b 故选 A 巩固 椭圆 1 49 22 yx 上的点到直线 2x 3