高中数学《向量的数量积》教案4 苏教版必修4

用心 爱心 专心 1 第第 1010 课时课时 2 4 2 4 向量的数量积 二 向量的数量积 二 三维目标 一 知识与技能 1 掌握平面向量数量积运算规律 能利用数量积的 5 个重要性质及数量积运算规律解 决有关问题 2 掌握两个向量共线 垂直的几何判断 会证明两向量垂直 以及能解决一些简单问 题 二 过程与方法 1 通过师生互动 学生自主探究 交流与合作培养学生探求新知及合作能力 2 通过讲解例题 培养学生逻辑思维能力 3 让学生充分经历 体验数量积的运算律以及解题的规律 三 情感 态度与价值观 1 让学生进一步领悟数形结合的思想 2 让学生进一步理解向量的数量积 进一步激发学生学习数学的兴趣 积极性和勇于创 新的精神 教学重点与难点 重点 运算律的理解和平面向量数量积的应用 难点 平面向量的数量积运算律的理解 学法与教学用具 1 学法 1 自主性学习 探究式学习法 2 反馈练习法 以练习来检验知识的应用情况 找出未掌握的内容及其存在的差距 2 教学用具 多媒体 实物投影仪 授课类型 新授课 课时安排 1 课时 教学思路 一 创设情景 揭示课题一 创设情景 揭示课题 复习提问 1 1 两个非零向量夹角的概念 2 平面向量数量积 内积 的定义 3 投影 的概念 4 向量数量积的几何意义 5 两个向量的数量积的性质 2 判断下列各题正确与否 若0a 则对任一向量b 有0a b 若0a 则对任一非零向量b 有0a b 若0a 0a b 则0b 若0a b 则 a b 至少有一个为零向量 若a ba c 则bc 当且仅当0a 时成立 用心 爱心 专心 2 对任意向量a 有 2 2 aa 二 研探新知二 研探新知 1 1 数量积的运算律 证明的过程可根据学生的实际水平决定 1 交换律 a bb a 证明 设 a b 夹角为 则 cosa bab cosb aba a bb a 2 数乘结合律 aba bab 证明 若0 此式显然成立 若0 cosaba b cosa ba b cosaba b aba bab 若0 cos cos cosa ba ba ba b cosa ba b cos cos cosababa ba b aba bab 综上可知 aba bab 成立 3 分配律 abca cb c 在平面内取一点O 作 OA a AB b OC c ab 即 OB 在c 方向上的投影等于 a b 在c 方向上的投影和 即 12 cos cos cosabab 12 cos cos cosc abc ac b cabc ac b 即 abca cb c 说明 1 一般地 a b c a b c 2 a c b c c 0 a b 1 2 a b A B O A 1 B 1 C c 用心 爱心 专心 3 3 有如下常用性质 a 2 a 2 a b 2 a 2 a b b 2 a b c d a c a d b c b d 2 向量的数量积不满足结合律 分析 若有 a b c a b c 设a b 夹角为 b c 夹角为 则 a b c a b cos c a b c a b c cos 若 a c 则 a c 进而有 a b c a b c 这是一种特殊情形 一般情况下不成立 举反例如下 已知 a b c 2 a 与b 夹角是 60 b 与c 夹角是 45 a b c a b cos60 c 2 1 c a b c b c cos45 a a 而 2 1 c a 故 a b c a b c 三 质疑答辩 排难解惑 发展思维三 质疑答辩 排难解惑 发展思维 例 1 已知 a b 都是非零向量 且3ab 与75ab 垂直 4ab 与72ab 垂直 求a 与b 的夹 角 解 由题意可得 3 75 0abab 22 716150aa bb 4 72 0abab 22 73080aa bb 两式相减得 2 2 a bb 代入 或 得 22 ab 设 a b 的夹角为 则 2 1 2 cos 2 2 b b ba ba 60 即a 与b 的夹角为60 例 2 求证 平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和 举一反三 1 用向量方法证明 菱形对角线互相垂直 证 设 AB DC a AD BC b ABCD为菱形 a b 用心 爱心 专心 4 AC BD b a b a b 2 a 2 b 2 a 2 0 AC BD 即菱形对角 线互相垂直 2 如图 AD BE CF是ABC 的三条高 求证 AD BE CF相交于一点 变式 用向量证明三角形的三条角平分线相交于一点 例 3 四边形ABCD中 AB a BC b CD c DA d 且a b b c c d d a 试问四边形ABCD是什么图形 例 4 设a 与b 是夹角为 60 且 a b 是否存在满足条件的a b 使 a b 2 a b 请说明理由 四 巩固深化 反馈矫正四 巩固深化 反馈矫正 1 已知 a 1 b 2 1 a b 与a 垂直 则a b 的夹角是 2 若a b a b 3 若a b 的夹角为 3 则 a b 2 已知 a 2 b 1 a 与b 之间的夹角为 3 那么向量a 4b 的模为 a 4b a b 3 设1e 2e 是两个单位向量 其夹角为 0 60 求向量a 21e 2e 与b 22e 31e 的夹角 6 对于两个非零向量a b 1 求使 a t b 最小时的值 并求此时b 与a t b 的夹角 2 当atb tR 的模取最小值时 求t的值 求证 b 与atb 垂直 解 2 2222 2atbatbt a b 当 2 2 2 2 a ba b t b b 时 atb 最小 2 2 0 a b batba bb b b 与atb 垂直 五 归纳整理 整体认识五 归纳整理 整体认识 通过本节学习 要求大家掌握平面向量数量积的运算规律 掌握两个向量共线 垂直的 A B C D E F H 用心 爱心 专心 5 几何判断 能利用数量积的 5 个重要性质解决相关问题 六 承上启下 留下悬念六 承上启下 留下悬念 1 向量 a b 的模分别为2 1 a b