高一数学暑假复习资料20讲

乐教 诚毅 奉献 创新乐教 诚毅 奉献 创新 高仕教育伴你成长每一天1 课题课题 1 1函数及其表示函数及其表示 一 课时目标一 课时目标 1 了解构成函数的要素 会求一些简单函数的定义域和值域 2 了解映射的概念 在实际情景中会根据不同的需要选择恰当的方法 如图像法 列表法 解析法 表示函数 3 了解简单的分段函数 并能简单应用 二 主要知识点二 主要知识点 1 函数 1 函数实质上是从一个非空数集到另一个非空数集的映射 2 函数的三要素 3 函数的表示法 4 两个函数只有当 都分别相同时 这两个函数才相同 2 分段函数 在一个函数的定义域中 对于自变量x的不同取值范围 有着不同的对应关系 这样 的函数叫分段函数 分段函数是一个函数而不是几个函数 三 经典例题三 经典例题 题型一题型一 函数与映射的概念函数与映射的概念 例 1 下列对应是否是从集合A到B的映射 能否构成函数 A N N B Q Q f a b 1 a 1 A x x n n N N B y y n N N f x y 1 n 1 a A x x 0 x R R B R R f x y y2 x A 平面M内的矩形 B 平面M内的圆 f 作矩形的外接圆 探究 1 1 映射只要求第一个集合A中的每个元素在第二个集合B中有且只有一个元 乐教 诚毅 奉献 创新乐教 诚毅 奉献 创新 高仕教育伴你成长每一天2 素与之对应 至于B中的元素有无原象 有几个原象却无所谓 2 函数是特殊的映射 当映射f A B中的A B为非空数集时 即成为函数 3 高考对映射的考查往往结合其他知识 只有深刻理解映射的概念才能在解决此类问题时 变式 1 1 集合A x 0 x 4 B y 0 y 2 下列不表示从A到B的函数的是 A f x y x B f x y x 1 2 1 3 C f x y xD f x y 2 3x 2 设a在映射f下的象为 2a a 则 20 在映射f下的原象为 例 2 以下给出的同组函数中 是否表示同一函数 为什么 1 f1 y f2 y 1 x x 2 f1 y x f2 y Error Error Error Error 3 f1 y Error Error f2 xx 11 x0 时 值域为 当a0 且a 1 的值域是 5 y a 0 且a 1 的值域是 xloga 三 经典例题三 经典例题 题型一题型一 函数的定义域函数的定义域 例 1 1 函数y 的定义域为 1 log0 5 x 1 2 函数y a 0 且a 1 的定义域为 1 loga x 1 3 函数f x 的定义域为 x 2x2 lg x x 探究 1 1 给定函数的解析式 求函数的定义域的依据是基本代数式的意义 如分式 的分母不等于零 偶次根式的被开方数为非负数 零指数幂的底数不为零 对数的真数大 于零且底数为不等于 1 的正数以及三角函数的定义等 2 求函数的定义域往往归结为解不等式组的问题 在解不等式组时要细心 取交集时 可借助数轴 并且要注意端点值或边界值 变式 1 求函数y 的定义域 25 x2 lgcosx 乐教 诚毅 奉献 创新乐教 诚毅 奉献 创新 高仕教育伴你成长每一天8 例 2 1 已知y f x 的定义域为 1 2 求y f 3x 1 的定义域 2 已知y f log2x 的定义域为 1 2 求y f x 的定义域 探究 2 1 若已知y f x 的定义域为 a b 则y f g x 的定义域由a g x b 解出 2 若已知y f g x 的定义域为 a b 则y f x 的定义域即为g x 的值域 变式 2 1 2013 大纲全国 已知函数f x 的定义域为 1 0 则函数f 2x 1 的定 义域为 2 若函数f 2x 的定义域是 1 1 求f log2x 的定义域 题型二题型二 函数的值域函数的值域 例 3 求下列函数的值域 1 y 2 y 3 y x 1 1 x2 1 x2 2x2 x 3 1 x 4 y x 5 y x 6 1 2x4 x2 y x 1 x 2 乐教 诚毅 奉献 创新乐教 诚毅 奉献 创新 高仕教育伴你成长每一天9 探究 3 求函数值域的一般方法有 分离常数法 反解法 配方法 不等式法 单调性法 换元法 变式 3 1 函数的值域为 A B 1 1 2 1 2 C 1 D 1 2 1 2 2 函数y 的值域是 2 sinx 2 sinx 3 函数y 的值域为 x2 x 1 x 1 题型三题型三 函数定义域与值域的应用函数定义域与值域的应用 例 4 已知函数f x lg a2 1 x2 a 1 x 1 1 若f x 的定义域为 R R 求实数a的取值范围 2 若f x 的值域为 R R 求实数a的取值范围 探究 4 已知值域求参数的值或范围是值域应用中的一类比较典型的题目 变式 4 已知函数f x x2 4ax 2a 6 x R R 1 若函数的值域为 0 求a的值 2 若函数的值域为非负数集 求函数f a 2 a a 3 的值域 乐教 诚毅 奉献 创新乐教 诚毅 奉献 创新 高仕教育伴你成长每一天10 四 本课总结四 本课总结 求函数的值域与最值没有通性通法 只能根据函数解析式的结构特征来选择对应的方 法求解 因此 对函数解析式结构特征的分析是十分重要的 常见函数解析式的结构模型 与对应求解方法可归纳为 1 二次函数y ax2 bx c a 0 及二次型函数y a f x 2 b f x c a 0 可 用换元法 2 形如y 其中a1 a2不全为 0 且a2x2 b2x c2 0 的函数可用判别 a1x2 b1x c1 a2x2 b2x c2 式法 3 形如y ax b a b c d为常数 ac 0 的函数 可用换元法或配方 cx d 法 4 形如y c 0 或y 或y 的函数 可用反函数法或分离常数 ax b cx d 2x 1 2x 1 sinx 1 sinx 2 法 5 形如y x k 0 x 0 的函数可用图像法或均值不等式法 k x 6 对于分段函数或含有绝对值符号的函数 如y x 1 x 4 可用分段求值域 最值 或数形结合法 7 定义在闭区间上的连续函数可用导数法求函数的最值 其解题程序为第一步求导 第二步求出极值及端点函数值 第三步求最大 最小值 五 课堂作业五 课堂作业 1 函数的定义域是 A 3 B 2 C 3 2 D 2 乐教 诚毅 奉献 创新乐教 诚毅 奉献 创新 高仕教育伴你成长每一天11 2 2013 山东 函数f x 的定义域为 1 2x 1 x 3 A 3 0 B 3 1 C 3 3 0 D 3 3 1 3 对函数f x ax2 bx c a 0 作x h t 的代换 则总不改变函数f x 的值域 的代换是 A h t 10tB h t t2 C h t D h t log2tsint 4 函数y 的定义域为 4 x2 3x 4 3 x 1 2 5 函数y 的值域为 10 x 10 x 10 x 10 x 课题课题 3 3函数的单调性和最值函数的单调性和最值 一 课时目标一 课时目标 1 理解函数的单调性及其几何意义 2 会运用函数图像理解和研究函数的性质 3 会求简单函数的值域 理解最大 小 值及几何意义 二 主要知识点二 主要知识点 1 单调性定义 1 单调性定义 给定区间 D 上的函数 y f x 若对于 D 当 x1 x2时 都有 f x1 f x2 则 f x 为区间 D 上的增函数 否则为区间 D 上的减函数 单调性与单调区间密不可分 单调区间是定义域的子区间 2 证明单调性的步骤 证明函数的单调性一般从定义入手 也可以从导数入手 利 用定义证明单调性的一般步骤是 a x1 x2 D 且 b 计算 并判断符号 c 结论 设 y f x 在某区间内可导 若 f x 0 则 f x 为增函数 若 f x 0 则 f x 为减函数 2 与单调性有关的结论 1 若f x g x 均为某区间上的增 减 函数 则f x g x 为某区间上的 函数 2 若f x 为增 减 函数 则 f x 为 函数 3 y f g x 是定义在M上的函数 若f x 与g x 的单调性相同 则y f g x 是 乐教 诚毅 奉献 创新乐教 诚毅 奉献 创新 高仕教育伴你成长每一天12 若f x 与g x 的单调性相反 则y f g x 是 4 奇函数在对称区间上的单调性 偶函数在对称区间上的单调性 5 若函数f x 在闭区间 a b 上是减函数 则f x 的最大值为 最小值为 值域为 3 函数的最值 设函数 y f x 的定义域为 I 如果存在实数 M 满足 对于任意 x I 都有 存在 x0 I 使得 那么称 M 是函数 y f x 的最大值 类比定义 y f x 的最小值 三 经典例题三 经典例题 题型一题型一 单调性的判断与证明单调性的判断与证明 例 1 判断函数f x a 0 在区间 1 1 上的单调性 ax x2 1 探究 1 1 判断函数的单调性有三种方法 图像法 利用已知函数的单调性 定义法 2 证明函数的单调性有两种方法 定义法 导数法 变式 1 设函数f x 2x a 2 x 1 a为实数 若a0 恒成立 试求实数a的取值范围 题型四题型四 单调性的应用单调性的应用 例 4 1 已知函数f x 在区间 0 上单调递增 则满足f x2 2x 3 0 单调增区间 单调减区 a xaa 间 0 0 aa 4 函数的单调增 减区间要分开写 两个 或两个以上 同一类单调区间之间用 隔开 不能用 符号连接 5 若f x 具有对称轴x a 则在x a两侧的对称区间上f x 具有相反的单调性 若f x 具有对称中心 a b 则在x a两侧的对称区间上f x 具有相同的单调性 6 函数图像的平移不影响单调性 其中左右平移能改变单调区间 上下平移不改变单调区 间 自助专题自助专题 求函数最值的常用方法求函数最值的常用方法 1 配方法 配方法是求二次函数最值的基本方法 如F x af2 x bf x c的函数的最值问题 可以考虑用配方法 例 1 已知函数y ex a 2 e x a 2 a R R a 0 求函数y的最小值 2 换元法 例 2 1 函数f x x 2的最大值为 1 x 2 求函数y x 的值域 4 x2 3 不等式法 乐教 诚毅 奉献 创新乐教 诚毅 奉献 创新 高仕教育伴你成长每一天17 例 3 设x y z为正实数 x 2y 3z 0 则的最小值为 y2 xz 4 单调性法 例 4 设a 1 函数f x 在区间 a 2a 上的最大值与最小值之差为 则xloga 1 2 a 5 平方法 例 5 已知函数y 的最大值为M 最小值为m 则 的值为 1 xx 3 m M A B 1 4 1 2 C D 2 2 3 2 6 数形结合法 例 7 对a b R R 记 max a b Error Error 函数f x max x 1 x 2 x R R 的 最小值是 五 课堂作业五 课堂作业 1 下列函数中 在区间 0 上是减函数的是 A y 1 x2B y x2 x C y D y x x x 1 2 若f x x2 2 a 1 x 2 在区间 4 上是减函数 则实数a的取值范围是 A a 3D a 3 3 若函数f x 是 R R 上的增函数 对实数a b 若a b 0 则有 A f a f b f a f b B f a f b f a f b D f a f b 0 且a 1 为 函数 ax a x ax a x a2x 1 a2x 1 3 函数f x 为 函数 a log 1 x 1 x 4 函数f x x 为 函数 a log x2 1 5 周期函数 乐教 诚毅 奉献 创新乐教 诚毅 奉献 创新 高仕教育伴你成长每一天19 若f x 对于定义域中任意x均有 T为不等于 0 的常数 则f x 为周期 函数 6 函数的对称性 若f x 对于定义域中任意x 均有f x f 2a x 或f a x f a x 则函数 f x 关于 对称 三 经典例题三 经典例题 题型一题型一 判断函数的奇偶性 判断函数的奇偶性 例 1 判断下列函数的奇偶性 并证明 1 f x x3 x 2 f x x3 x 1 3 f x x2 x 1 x 1 4 4 f x x 1 x 1 5 f x 6 f x x 1 x 1 1 1 x2 x 2 2 1 x 1 x 乐教 诚毅 奉献 创新乐教 诚毅 奉献 创新 高仕教育伴你成长每一天20 探究 1 判断函数的奇偶性 一般有以下几种方法 1 定义法 若函数的定义域不是关于原点对称的区间 则立即可判断该函数既不是奇 函数也不是偶函数 若函数的定义域是关于原点对称的区间 再判断f x 是否等于 f x 2 图像法 奇 偶 函数的充要条件是它的图像关于原点 或y轴 对称 3 性质法 偶函数的和 差 积 商 分母不为零 仍为偶函数 奇函数的和 差仍为 奇函数 奇 偶 数个奇函数的积 商 分母不为零 为奇 偶 函数 一个奇函数与一个偶函 数的积为奇函数 注 利用上述结论时要注意各函数的定义域 变式 1 判断下列函数的奇偶性 1 f x ln 2 x 2 x 2 f x a 0 且a 1 1 ax 1 1 2 3 f x Error Error 乐教 诚毅 奉献 创新乐教 诚毅 奉献 创新 高仕教育伴你成长每一天21 题型二题型二 奇偶性的应用奇偶性的应用 例 2 1 已知函数f x 为奇函数且定义域为 R R x 0 时 f x x 1 f x 的解析式 为 2 f x 是定义在 1 1 上的奇函数 且x 0 1 时f x 为增函数 则不等式f x f x 0 的解集为 1 2 3 函数f x 1 为偶函数 则函数f x 的图像的对称轴方程为 探究 2 奇偶函数的性质主要体现在 1 若f x 为奇函数 则f x f x 若f x 为偶函数 则f x f x 2 奇偶函数的对称性 3 奇偶函数在关于原点对称的区间上的单调性 变式 2 1 若函数f x 是 R R 上的偶函数 且在 0 上是减函数 满足f f a 的实数a的取值范围是 2 函数y f x 2 为奇函数 则函数y f x 的图像的对称中心为 题型三题型三 函数的周期性函数的周期性 例 3 设函数f x 在 上满足f 2 x f 2 x f 7 x f 7 x 且 在闭区间 0 7 上 只有f 1 f 3 0 1 证明 函数f x 为周期函数 2 试求方程f x 0 在闭区间 2 005 2 005 上的根的个数 并证明你的结论 探究 3 1 证明函数是周期函数应紧扣周期函数的定义 乐教 诚毅 奉献 创新乐教 诚毅 奉献 创新 高仕教育伴你成长每一天22 2 若函数f x 对任意x满足f x a f x b 则f x 为周期函数 若函数f x 对 任意x满足f x a f b x 则函数图像为轴对称图形 变式 3 1 f x 是定义域为 R R 的奇函数 且图像关于直线x 1 对称 试判断f x 的 周期性 2 f x 是定义在 R R 上的函数 对任意x R R 均满足f x 试判断函数 1 f x 1 f x 的周期性 例 4 2014 衡水中学调研卷 已知函数f x 是 上的奇函数 且f x 的 图像关于x 1 对称 当x 0 1 时 f x 2x 1 1 求证 f x 是周期函数 2 当x 1 2 时 求f x 的解析式 3 计算f 0 f 1 f 2 f 2 013 的值 乐教 诚毅 奉献 创新乐教 诚毅 奉献 创新 高仕教育伴你成长每一天23 变式 4 已知f x 为偶函数 且f 1 x f 1 x 当x 0 1 时 f x x 1 求x 5 7 时 f x 的解析式 四 本课总结四 本课总结 常用结论记心中 快速解题特轻松 常用结论记心中 快速解题特轻松 1 1 若f x 定义域不对称 则f x 不具有奇偶性 2 若f x 为奇函数 且在x 0 处有定义 则f 0 0 3 若f x 为偶函数 则f x f x 2 1 任意一个定义域关于零点对称的函数f x 均可写成一个奇函数g x 与一个偶函 数h x 和的形式 则g x h x f x f x 2 f x f x 2 2 若函数y f x 的定义域关于原点对称 则f x f x 为偶函数 f x f x 为奇函数 f x f x 为偶函数 3 函数f x 关于x a对称 f a x f a x f 2a x f x f 2a x f x 4 1 若函数f x 满足f x a f x 则f x 周期T 2a 2 若函数f x 满足f x a 则f x 周期T 2a 1 f x 5 1 若f x 关于x a x b都对称 且a b 则f x 是周期函数且T 2 b a 2 若f x 关于 a 0 b 0 都对称 且a b 则f x 是周期函数 且T 2 b a 3 若f x 关于 a 0 及x b都对称 且a0 f x x 1 x 那么x0 时 上为增函数 在 上为减函数 当a0 当 时 恒有f x 0 则二次函数在闭区间 m n 上的最大 最小值的分布情况 1 若 m n 则f x max max f x min f b 2a f m f n b 2a 2 若 m n 则f x max max f m f n f x min min f m f n b 2a 5 二次方程ax2 bx c 0 a 0 实根的分布 1 方程有两个均小于常数k的不等实根的充要条件是 2 方程有两个均大于常数k的不等实根的充要条件是 3 方程有一个小于常数k和一个大于常数k的不等实根的充要条件是 4 方程有位于区间 k1 k2 内的两个不等实根的充要条件是 5 方程有两个不等实根x1 x2且k1 x1 k2 x2f 1 则 A a 0 4a b 0B a0 2a b 0D a0 b 0 r s Q Q 2 根式的运算性质 1 当n为奇数时 有 当n为偶数时 有 n an n an 2 负数的偶次方根 3 零的任何次方根 3 指数函数的概念 图像和性质 1 形如 a 0 且a 1 的函数叫做指数函数 2 定义域为 R R 值域为 3 当 0 a1 时 y ax在定义域内是 单调性 y ax的图像恒过定点 4 当 0 a0 则ax 若x1 时 若x 0 则ax 若x0 且a 1 的图像可能是 2 k为何值时 方程 3x 1 k无解 有一解 有两解 题型三题型三 指数函数的性质及运用指数函数的性质及运用 乐教 诚毅 奉献 创新乐教 诚毅 奉献 创新 高仕教育伴你成长每一天34 探究 3 1 研究函数的值域 单调区间应先求定义域 2 求复合函数y f g x 的值域应先求内层u g x 的取值范围 再根据u的取值范 围去求y f u 的取值范围 即为所求 3 求复合函数的单调区间应首先分清该复合函数是由哪几个基本函数复合而得 变式 3 求下列函数的定义域与值域 例 4 已知函数f x x 1 2x 1 1 2 1 求函数的定义域 2 讨论f x 的奇偶性 3 求证 f x 0 乐教 诚毅 奉献 创新乐教 诚毅 奉献 创新 高仕教育伴你成长每一天35 变式 4 函数f x lg在x 1 上有意义 求实数a的取值范围 1 2x 4xa 3 四 本课总结四 本课总结 1 在进行指数运算时要遵守运算法则 防止 跟着感觉走 2 合理运用图像解决单调 方程 不等式问题 3 对f x ax的单调性要注意a 1 和 0 a 1 两种情况 五 课堂作业五 课堂作业 1 下列等式 2a 3 中一定成立的有 3 6a3 3 2 6 2 2 4 2 4 3 4 2 A 0 个 B 1 个 C 2 个D 3 个 2 函数y 的定义域是 4 2x A 0 2 B 2 C 2 D 1 3 下列函数中值域为正实数的是 A y 5xB y 1 x 1 3 C y D y 1 2 x 11 2x 4 已知f x 2x 2 x 若f a 3 则f 2a 等于 A 5B 7 C 9D 11 5 已知实数a b满足等式 a b 下列五个关系式 1 2 1 3 乐教 诚毅 奉献 创新乐教 诚毅 奉献 创新 高仕教育伴你成长每一天36 0 b a a b 0 0 a b b a0 且a 1 N 0 a 0 且a 1 b R R b aa log 3 对数运算法则 a 0 且a 1 M 0 N 0 M N Mn a log a log M N a log 4 换底公式 N a 0 且a 1 b 0 且b 1 N 0 b log logaN logab 推论 b a b c a log b log a log b log 2 对数函数 1 对数函数的概念 函数y x a 0 且a 1 叫做对数函数 a log 2 对数函数的图像 3 对数函数的性质 定义域为 值域为 恒过定点 1 0 a 1 时 y x在 0 上为 a log 0 a1 x 1 时 x 0 a log 当a 1 0 x 1 时 x 0 a log 当 0 a 1 0 x 1 时 x 0 a log 当 0 a1 时 lx 0 a log 三 经典例题三 经典例题 题型一题型一 对数式的运算对数式的运算 乐教 诚毅 奉献 创新乐教 诚毅 奉献 创新 高仕教育伴你成长每一天38 例 1 1 lg25 lg50 lg2 lg500 lg2 2 探究 1 在对数运算中 要注意以下几个问题 1 在化简与运算中 一般先用幂的运算把底数或真数进行变形 化成分数指数幂的形 式 使幂的底数最简 然后再运用对数运算法则化简合并 2 ab N b N a 0 且a 1 是解决有关指数 对数问题的有效方法 在运算 a log 中要注意互化 变式 1 1 log32 log92 log43 log83 题型二题型二 对数大小的比较对数大小的比较 例 2 比较下列各组数的大小 1 log23 4 log28 5 2 log67 log76 3 m 0 95 1 n 5 10 9 p log0 95 1 乐教 诚毅 奉献 创新乐教 诚毅 奉献 创新 高仕教育伴你成长每一天39 4 若 0 a b 1 试确定b a loga logb的大小关系 a log b log 1 b 1 a 探究 2 1 比较两个指数幂或对数值大小的方法 分清是底数相同还是指数 真数 相同 利用指数 对数函数的单调性或图像比较大小 当底数 指数 真数 均不相同时 可通过中间量过渡处理 2 多个指数幂或对数值比较大小时 可对它们先进行 0 1 分类 然后在每一类中比较 大小 变式 2 1 设a log3 b log2 c log3 则 32 A a b cB a c b C b a cD b c a 2 若 3 3 a 1B a bb 1D b a 1 题型三题型三 对数函数的图像对数函数的图像 例 3 1 作出函数y log2 x 1 的图像 由图像指出函数的单调区间 并说明它的 图像可由函数y log2x的图像经过怎样的变换而得到 2 当x 1 2 时 不等式 x 1 2 x恒成立 则a的取值范围是 a log A 0 1 B 1 2 C 1 2 D 0 1 2 探究 3 1 作一些复杂函数的图像 首先应分析它可以从哪一个基本函数的图像变换过 来 一般是先作出基本函数的图像 通过平移 对称 翻折等方法 得出所求函数的图 像 2 对于较复杂的不等式有解或恒成立问题 可借助函数图像解决 具体做法是 对不等式变形 不等号两边对应两函数 在同一坐标系下作出两函数图像 比较当x在某 一范围内取值时图像的上下位置及交点的个数 来确定参数的取值或解的情况 变式 3 1 已知图中曲线C1 C2 C3 C4是函数y x的图像 则曲线 a log 乐教 诚毅 奉献 创新乐教 诚毅 奉献 创新 高仕教育伴你成长每一天40 C1 C2 C3 C4对应的a的值依次为 A 3 2 B 2 3 C 2 3 D 3 2 1 3 1 2 1 3 1 2 1 2 1 3 1 2 1 3 2 已知函数f x x log2x 若实数x0是方程f x 0 的解 且 0 x10 且a 1 如果对于任意x 3 都有 f x 1 a log 成立 试求a的取值范围 乐教 诚毅 奉献 创新乐教 诚毅 奉献 创新 高仕教育伴你成长每一天41 探究 4 关于形如f x 的函数的单调性 有以下结论 a log 函数y f x 的单调性与函数u f x f x 0 的单调性 当a 1 时相同 当 a log 0 a0 且a 1 下列结论正确的是 若M N 则M N a log a log 若M N 则M N a log a log 若 logaM2 logaN2 则M N 若M N 则 logaM2 logaN2 A B 乐教 诚毅 奉献 创新乐教 诚毅 奉献 创新 高仕教育伴你成长每一天42 C D 2 1 若 loga3 则a的范围是 a log 2 若 log3a a 则a的范围是 log 3 若x e 1 1 a x b 2lnx c ln3x 则 ln A a b cB c a b C b a cD b c0 那么幂函数的图像过原点 并且在区间 0 上为 3 如果 C2 C3 C4 B C2 C1 C4 C3 C C1 C2 C4 C3 D C1 C4 C3 C2 探究 1 幂函数的图像一定会出现在第一象限 一定不会出现在第四象限 是否在第 二 三象限内出现 要看奇偶性 在 0 1 上幂函数中指数愈大 函数图像愈靠近x轴 简 记 指大图低 在 1 上 幂函数中指数越大 函数图像越远离x轴 变式 1 如图是幂函数y 和y 在第一象限内的图像 则 a x a x A 1 n 0 m 1 B n 1 0 m 1 C 1 n1 D n1 题型二题型二 幂函数的性质幂函数的性质 例 2 比较下列各组数的大小 乐教 诚毅 奉献 创新乐教 诚毅 奉献 创新 高仕教育伴你成长每一天44 探究 2 利用幂函数的单调性比较大小要注意以下几点 1 将要比较的两个数都写成同一个函数的函数值的形式 2 构造的幂函数 要分析其单调性 3 注意两个函数值要在同一个单调区间上取到 4 若直接不易比较大小 可构造中间值 间接比较其大小 变式 2 比较下列各组数的大小 变式 3 已知幂函数在 0 上是增函数 在 0 上是减函 数 那么最小的正整数a 题型三题型三 对数对数 指数指数 幂函数的应用幂函数的应用 例 4 将下列各数按从大到小的顺序排列 log89 log79 log 3 log29 3 1 2 1 2 1 2 1 2 变式 4 1 下列大小关系正确的是 A 0 43 30 4 log40 3 B 0 43 log40 3 30 4 C log40 3 0 43 30 4D log40 3 30 4 0 43 2 若 loga2 logb2 0 则下列结论正确的是 乐教 诚毅 奉献 创新乐教 诚毅 奉献 创新 高仕教育伴你成长每一天45 A 0 a b 1B 0 b ab 1D b a 1 四 本课总结四 本课总结 幂函数y 的性质和图像 由于 的取值不同而比较复杂 一般可以从三方面考查 a x 1 的正负 0 时图像经过 0 0 点和 1 1 点 在第一象限的部分 上升 0 时图像不过 0 0 点 经过 1 1 点 在第一象限的部分 下降 五 课堂作业五 课堂作业 1 当 0 a b 1 时 下列不等式中正确的是 2 设a log 2 b log c 0 3 则 1 3 1 2 1 3 1 2 A a b cB a c b C b c aD b a c 3 2014 衡水调研 方程 x log3x 解的个数是 1 3 A 0B 1 C 2D 3 4 已知实数a b 0 a b 1 M 2a 2b 则M的整数部分是 A 1B 2 C 3D 4 5 已知容器中有A B两种菌 且在任何时刻A B两种菌的个数乘积为定值 1010 为了简 单起见 科学家用PA lg 来记录 A 菌个数的资料 其中为 A 菌的个数 则下列判 A n A n 断中正确的是 PA 1 若今天的PA值比昨天的PA值增加 1 则今天的A菌个数比昨天的 A 菌个数多了 10 个 假设科学家将B菌的个数控制在 5 万个 则此时 5 PA0 个单位 得到 的图像 y f x b b 0 的 图像可由y f x 的图像 而得到 y f x 的图像向下平移b b 0 个单位 得到 的图像 y f x b b 0 的图像可由y f x 的图像 而得到 总之 对于平移变换 记忆口诀为 左加右减 上加下减 2 对称变换 y f x 与y f x 的图像关于 对称 y f x 与y f x 的图像关于 对称 y f x 与y f x 的图像关于 对称 乐教 诚毅 奉献 创新乐教 诚毅 奉献 创新 高仕教育伴你成长每一天47 y f x 的图像可将y f x 的图像在x轴下方的部分 其余部分 不变而得到 y f x 的图像可先作出y f x 当x 0 时的图像 再作关于y轴的对称 3 伸缩变换 y f ax a 0 的图像 可将y f x 的图像上所有点的 坐标变为原来的 倍 坐标 而得到 y 的图像 可将y f x 的图像上所有点的 坐标不变 坐标变为原 xaf 来的 倍 2 几个重要结论 1 若f m x f m x 恒成立 则y f x 的图像关于直线 对称 2 设函数y f x 定义在实数集上 则函数y f x m 与y f m x m 0 的图像关 于直线 对称 3 若f a x f b x 对任意x R R 恒成立 则y f x 的图像关于x 对 a b 2 称 4 函数y f a x 与函数y f b x 的图像关于x 对称 b a 2 三 经典例题三 经典例题 题型一题型一 利用变换作图利用变换作图 例 1 作出下列函数的图像 1 f x 2 f x lg x 1 x 1 x 探究 1 1 一些函数的图像可由基本初等函数的图像通过变换而得 常见图像变换有 平移变换 对称变换 伸缩变换 用x m替换x 图像发生左 右平移 用y n替换y 图像发生上 下平移 用替换x 图像发生伸缩变化 用 x y替换x y图像分别kx 关于y轴 x轴对称 乐教 诚毅 奉献 创新乐教 诚毅 奉献 创新 高仕教育伴你成长每一天48 2 作函数图像时应结合函数的性质 如f x 为奇函数 f x lg x 为偶函 x 1 x 数等 3 多步变换时 应确定好变换顺序 变式 1 作出下列函数的图像 1 y 2x 2 2 y y x 4 x 2 x 1 1 2 y log2x 1 题型二题型二 知图选图或知图选式问题知图选图或知图选式问题 例 2 1 2013 四川 函数y 的图像大致是 x3 3x 1 2 函数f x 的部分图像如图所示 则函数f x 的解析式是 A f x x B f x sinx cosx x C f x D f x x x x xcosx 2 3 2 探究 2 对于给定函数的图像 要能从图像的左右 上下分布范围 变化趋势 对称性 等方面研究函数的定义域 值域 最值 单调性 奇偶性 周期性 注意图像与函数解析 乐教 诚毅 奉献 创新乐教 诚毅 奉献 创新 高仕教育伴你成长每一天49 式中参数的关系 常用的方法有 1 定性分析法 通过对问题进行定性的分析 从而得出图像的上升 或下降 的趋势 利用这一特征分析解决问题 2 定量计算法 通过定量的计算来分析解决问题 3 函数模型法 由所提供的图像特征 联想相关函数模型 利用这一函数模型来分析 解决问题 变式 2 函数y x 的大致图像是 cosx 题型三题型三 函数图像的对称性函数图像的对称性 例 3 1 设函数y f x 的定义域为实数集 R R 则函数y f x 1 与y f 1 x 的图 像关于 A 直线y 0 对称 B 直线x 0 对称 C 直线y 1 对称 D 直线x 1 对称 2 已知f x 1 x 函数g x 的图像与f x 的图像关于点 1 0 对称 则g x ln 的解析式为 探究 3 1 求一曲线关于一点或一直线对称曲线方程 一般运用相关点求轨迹的方 法 2 下列结论需记住 y f x 与y f x 的图像关于y轴对称 y f x 与y f x 的图像关于x轴对称 y f x 与y f x 的图像关于原点对称 y f x 与y f 1 x 的图像关于y x对称 y f x 与y f 2m x 的图像关于直线x m对称 变式 3 1 已知函数f 2x 1 是奇函数 则函数y f 2x 的图像关于下列哪个点成 中心对称 A 1 0 B 1 0 C 0 D 0 1 2 1 2 2 求证 函数f x 满足对任意x 都有f a x f a x 则函数f x 的图像关于 直线x a对称 乐教 诚毅 奉献 创新乐教 诚毅 奉献 创新 高仕教育伴你成长每一天50 题型四题型四 函数图像的应用函数图像的应用 例 4 1 若直线y x m和曲线y 有两个不同的交点 则m的取值范围是 1 x2 2 不等式 log2 x x 1 的解集为 探究 4 函数 方程 不等式三者之间有着密切的联系 它们之间的相互转化有时能 使问题迎刃而解 本题利用函数的图像来解决方程根的个数问题及不等式求解问题 变式 4 直线y 1 与曲线y x2 x a有四个交点 则a的取值范围是 四 本课总结四 本课总结 1 作图的基本方法是描点法 某些函数的图像也可通过已知图像进行变换而得 2 识图问题的关键是通过函数的性质进行排除确定 3 函数图像能直观反映函数的性质 通过图像可以解决许多问题 如不等式问题 方程问 题 函数的值域等 五 课堂作业五 课堂作业 1 函数f x 的图像是 1 1 x 2 函数y 1 x 的大致图像为 ln 乐教 诚毅 奉献 创新乐教 诚毅 奉献 创新 高仕教育伴你成长每一天51 3 函数y 2sinx的图像大致是 x 2 4 若函数y 1 x m的图像与x轴有公共点 则m的取值范围是 1 2 5 已知 0 函数f x ax与函数g x x的图像可能是 lgblga b log 6 已知函数f x 的定义域为 a b 函数y f x 的图像如下图所示 则函数f x 的 图像大致是 乐教 诚毅 奉献 创新乐教 诚毅 奉献 创新 高仕教育伴你成长每一天52 课题课题 1010函数与方程函数与方程 一 课时目标一 课时目标 1 结合二次函数的图像 判断一元二次方程根的存在性及根的个数 了解函数的零点与方 程根的联系 2 根据具体函数的图像 能够用二分法求相应方程的近似解 二 主要知识点二 主要知识点 1 函数零点的概念 零点不是点 1 从 数 的角度看 即是使f x 0 的实数x 2 从 形 的角度看 即是函数f x 的图像与x轴交点的横坐标 2 函数零点与方程根的关系 方程f x 0 有实数根 函数y f x 的图像与 有交点 函数y f x 有 3 函数零点的判断 如果函数y f x 在区间 a b 上的图像是连续不断的一条曲线 并且有 那么 函数y f x 在区间 内有零点 即存在c a b 使得f c 0 这个c也 乐教 诚毅 奉献 创新乐教 诚毅 奉献 创新 高仕教育伴你成长每一天53 就是方程f x 0 的根 4 二分法的定义 对于在 a b 上连续不断 且 的函数y f x 通过不断地把函数f x 的 所在的区间 使区间的两端点逐步逼近零点 进而得到零点近似值的方法叫做 二分法 5 用二分法求函数f x 零点近似值 1 确定区间 a b 验证 给定精确度 2 求区间 a b 的中点x1 3 计算f x1 若 则x1就是函数的零点 若 则令b x1 此时零点x0 a x1 若 则令a x1 此时零点x0 x1 b 4 判断是否达到精确度 即若 a b 则得到零点近似值a 或b 否则重复 2 4 三 经典例题三 经典例题 题型一题型一 零点的个数及求法零点的个数及求法 例 1 1 求下列函数的零点 f x x3 1 f x x2 2x 1 x 1 2 判断下列函数在给定区间是否存在零点 f x x2 3x 18 x 1 8 f x log2 x 2 x x 1 3 乐教 诚毅 奉献 创新乐教 诚毅 奉献 创新 高仕教育伴你成长每一天54 探究 1 函数零点个数的判定有下列几种方法 1 直接求零点 令f x 0 如果能求出解 那有几个解就有几个零点 2 零点存在性定理 利用该定理不仅要求函数在 a b 上是连续的曲线 且 f a f b 1 则函数f x 零点的个数为 x 2 x 1 2 已知函数f x 2x x g x log2x x h x log2x 2 的零点依次为 a b c 则 A a b c B c b a C c a bD b a c 题型二题型二 零点性质的应用零点性质的应用 例 2 若函数f x 4x x2 a有 4 个零点 求实数a的取值范围 探究 2 函数与方程虽然是两个不同的概念 但它们之间存在着密切的联系 方程f x 0 的根就是函数y f x 的图像与x轴的交点的横坐标 函数y f x 也可以看作二元方 乐教 诚毅 奉献 创新乐教 诚毅 奉献 创新 高仕教育伴你成长每一天55 程f x y 0 然后通过方程进行研究 许多有关方程的问题可以用函数的方法解决 反 之 许多函数问题也可以用方程的方法来解决 变式 2 1 2012 大纲全国 已知函数y x3 3x c的图像与x轴恰有两个公共点 则c A 2 或 2B 9 或 3 C 1 或 1D 3 或 1 2 2014 朝阳区 已知函数f x Error Error 若函数g x f x k有两个不同的零点 则实数k的取值范围是 例 3 若二次函数f x x2 2ax 4 在 1 内有两个零点 求实数a的取值范 围 探究 3 对于二次函数零点问题常转化为二次方程根的分布问题来解决 结合二次函 数的图像从判别式 韦达定理 对称轴 端点函数值 开口方向等方面去考虑使结论成立 的所有条件 这里涉及到三个 二次问题 的全面考虑和 数形结合思想 的灵活运用 变式 3 已知函数f x x2 ax 3 a 当x 2 2 时 函数至少有一个零点 求 a的取值范围 题型三题型三 用二分法求方程的近似解用二分法求方程的近似解 例 4 求方程x 2x 6 0 在 2 3 内的近似解 精确到 0 01 ln 乐教 诚毅 奉献 创新乐教 诚毅 奉献 创新 高仕教育伴你成长每一天56 探究 4 用二分法求函数零点近似值的步骤 借助于计算器一步步求解即可 我们可以 借助于表格或数轴清楚地描写逐步缩小零点所在区间的过程 而运算终止的时候在区间长 度小于精确度 的时候 变式 4 1 为了求函数f x 2x x2的一个零点 某同学利用计算器 得到自变量x和 函数值f x 的部分对应值 精确到 0 01 如下表所示 2 用二分法研究函数f x x3 3x 1 的零点时 第一次经计算f 0 0 可得其中一个零点x0 第二次应计算 四 本课总结四 本课总结 1 函数零点的性质 1 若函数f x 的图像在x x0处与x轴相切 则零点x0通常称为不变号零点 2 若函数f x 的图像在x x0处与x轴相交 则零点x0通常称为变号零点 2 函数零点的求法 求函数y f x 的零点 1 代数法 求方程f x 0 的实数根 常用公式法 因式分解 直接求解等 2 几何法 对于不能用求根公式的方程 可以将它与函数y f x 的图像联系起来 并利用函数的性质找出零点 3 二分法 主要用于求函数零点的近似值 所求零点都是指变号零点 3 有关函数零点的重要结论 1 若连续不断的函数f x 是定义域上的单调函数 则f x 至多有一个零点 2 连续不断的函数 其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号 3 连续不断的函数图像通过一重零点时 不是二重零点 函数值变号 通过二重零点 时 函数值可能不变号 乐教 诚毅 奉献 创新乐教 诚毅 奉献 创新 高仕教育伴你成长每一天57 五 课堂作业五 课堂作业 1 2014 衡水调研 若函数f x 2ax2 x 1 在 0 1 内恰有一个零点 则a的取值范围 是 A 1 1 B 1 C 1 D 2 2 2013 天津 函数f x 2x log0 5x 1 的零点个数为 A 1B 2 C 3D 4 3 函数f x Error Error 的零点个数为 A 0B 1 C 2D 3 4 已知函数f x x log2x 若实数x0是方程f x 0 的解 且 0 x1 x0 则f x1 1 3 A 恒为负值B 等于 0 C 恒为正值D 不大于 0 5 2014 辽宁五校联考 函数f x x3 bx2 1 有且仅有两个不同零点 则b的值为 A B 3 4 2 3 2 2 C D 不确定 3 2 3 2 6 若函数f x m 2 x2 2m 1 的两个零点分别在区间 1 0 和区间 1 2 内 mx 则m的取值范围是 乐教 诚毅 奉献 创新乐教 诚毅 奉献 创新 高仕教育伴你成长每一天58 课题课题 1111两角和与差的三角函数两角和与差的三角函数 一 课时目标一 课时目标 1 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式 2 能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦 正切公式 3 能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦 余弦 二 主要知识点二 主要知识点 1 两角和的正弦 余弦 正切公式 1 sin 2 cos 3 tan 2 两角差的正弦 余弦 正切公式 1 sin cos cos sin 2 sin cos sin sin 3 Error Error 3 常用公式的变化形式 1 a b sin sin cos a2 b2 其中 cossin 或a b cos x sinxcosx a2 b2 其中 cossin 2 tan 1 tantantantan 乐教 诚毅 奉献 创新乐教 诚毅 奉献 创新 高仕教育伴你成长每一天59 3 tan 1 tan 1 tan 4 4 tan 1 tan 1 tan 4 三 经典例题三 经典例题 题型一题型一 知角求值知角求值 例 1 1 求的值 sin7 cos15 sin8 cos7 sin15 sin8 2 化简 sin50 1 tan10 3 求 tan20 4sin20 的值 3 探究 1 1 注意观察各角之间的内在关系 2 注意公式的逆运用进行化简 变式 1 2013 重庆 4cos50 tan40 A B C D 2 1 2 2 3 232 题型二题型二 知值求值知值求值 例 2 1 已知 sin 求 的值 6 4 5 2 2 sin 2 已知 sin cos 求 cos2 的值 2 3 4 3 5 12 13 乐教 诚毅 奉献 创新乐教 诚毅 奉献 创新 高仕教育伴你成长每一天60 探究 2 给值求值问题 即给出某些角的三角函数式的值 求另外一些角的三角函数值 解题的关键在于 变角 如 2 等 把所求角 用含已知角的式子表示 求解时一定要注意角的范围的讨论 变式 2 1 已知 为锐角 cos 求 的值 sin 8 17 21 29 cos 2 已知 tan 1 tan 则的值为 1 2 sin2 sin2 A B 1 3 1 3 C 3D