高三数学第一轮复习章节测试3-2 北师大版

用心 爱心 专心 1 第第 3 3 章章 第第 2 2 节节 一 选择题 1 设 a R 若函数 y eax 3x x R 有大于零的极值点 则 A a 3 B a D a0 及 a 0 1 a 3 a ln 0 0 1 a0 y x2 81 9 x 9 x 令 y 0 得 x 9 时 当 x 0 9 时 y 0 x 9 y 0 y 先增后减 x 9 时函数取最大值 选 C 4 2011 西安模拟 若函数 f x x3 12x 在区间 k 1 k 1 上不是单调函数 则实数 k 的取值范围是 A k 3 或 1 k 1 或 k 3 B 3 k 1 或 1 k 3 C 2 k0 得函数的增区间是 2 和 2 由 y 0 得函数的减区间是 2 2 由于函数在 k 1 k 1 上不是单调函数 所以有 k 1 2 k 1 或 k 1 2 k 1 解得 3 k 1 或 1 k 3 2 3 2 C m D mx x2 B lnx0 F x 在 2 上为增函数 又 F 2 ln2 2 2 ln2 0 F x 0 在 2 上恒成立 即 lnx x2 x 0 lnx x x2 1 2 1 2 7 要做一个圆锥形的漏斗 其母线长为 20cm 要使其体积为最大 则高为 A cm B cm 3 3 103 3 C cm D cm 163 3 203 3 答案 D 解析 设圆锥的高为 x 则底面半径为 202 x2 其体积为 V x 400 x2 0 x 20 1 3 V 400 3x2 令 V 0 解得 x 1 3 20 33 当 0 x 时 V 0 当 x 20 时 V 0 203 3 203 3 所以当 x 时 V 取最大值 203 3 8 已知对任意实数 x 有 f x f x g x g x 且 x 0 时 f x 0 g x 用心 爱心 专心 3 0 则 x0 g x 0 B f x 0 g x 0 C f x 0 D f x 0 g x 0 时 f x g x 都单调递增 x0 g x 0 二 填空题 9 已知函数 f x ax lnx 若 f x 1 在区间 1 内恒成立 则实数 a 的取值范围 为 答案 a 1 解析 由已知得 a 在区间 1 内恒成立 1 lnx x 设 g x 则 g x 0 x 1 1 lnx x lnx x2 g x 在区间 1 内单调递减 1 lnx x g x g 1 g 1 1 1 在区间 1 内恒成立 a 1 1 lnx x 10 如图 函数 f x 的图像是折线段 ABC 其中 A B C 的坐标分别为 0 4 2 0 6 4 则 f f 0 函数 f x 在 x 1 处的导数 f 1 答案 2 2 11 2011 广州综测 若函数 f x x3 3x a 有 3 个不同的零点 则实数 a 的取值范围是 答案 2 2 解析 f x 3x2 3 3 x 1 x 1 当 x0 当 1 x 1 时 f x 1 时 f x 0 所以当 x 1 时函数 f x 有极大值 当 x 1 时函数 f x 有极小 值 要使函数 f x 有 3 个不同的零点 只需满足Error Error 解得 2 a 3 2 13 8 50 27 13 8 f x 在上的最大值为 f 1 6 最小值为 f 3 2 1 3 2 13 8 理 2010 江西文 设函数 f x 6x3 3 a 2 x2 2ax 1 若 f x 的两个极值点为 x1 x2 且 x1x2 1 求实数 a 的值 2 是否存在实数 a 使得 f x 是 上的单调函数 若存在 求出 a 的值 若不 存在 说明理由 分析 本题考查了导数的运算及应用 先求导 再由导函数确定 a 的值及范围 解析 1 f x 18x2 6 a 2 x 2a 令 f x 0 18x2 6 a 2 x 2a 0 的两根为 x1 x2 则 x1x2 1 a 9 2a 18 2 由 f x 18x2 6 a 2 x 2a 开口向上 36 a 2 2 8 18a 36 a2 4 0 恒成立 18x2 6 a 2 x 2a 0 有两不等根 故不存在 a 使 f x 单调 因为 f x 一定存在两个极 值点 13 若函数 f x lnx ax2 2x 存在单调递减区间 求实数 a 的取值范围 1 2 分析 先求函数的定义域 然后把问题转化为 f x 0 在定义域上有解的问题来解决 解析 函数 f x 存在单调递减区间 就是不等式 f x 0 有解 考虑到函数的定义域为 0 所以就是要求不等式 f x 0 在 0 上有解 函数 f x 的导函数 f x ax 2 由题意知 f x 0 在 0 上有解 1 当 a 0 时 y ax2 2x 1 的图像是开口向上的抛物线 ax2 2x 1 0 总有 x 0 的解 2 当 a0 总有 x 0 的解 则有Error Error 只要 4 4a 0 即可 解得 a 1 1 a0 且方程 f x 9x 0 的两 a 3 个根分别为 1 4 用心 爱心 专心 5 1 当 a 3 且曲线 y f x 过原点时 求 f x 的解析式 2 若 f x 在 内无极值点 求 a 的取值范围 解析 本题考查了函数与导函数的综合应用 由 f x x3 bx2 cx d 得 f x ax2 2bx c a 3 f x 9x ax2 2bx c 9x 0 的两根为 1 4 Error Error 1 当 a 3 时 由 式得Error Error 解得 b 3 c 12 又 曲线 y f x 过原点 d 0 故 f x x3 3x2 12x 2 由于 a 0 所以 f x x3 bx2 cx d 在 内无极值点 等价于 f x a 3 ax2 2bx c 0 在 内恒成立 由 式得 2b 9 5a c 4a 又 2b 2 4ac 9 a 1 a 9 解Error Error 得 a 1 9 即 a 的取值范围 1 9 理 2010 北京理 已知函数 f x ln 1 x x x2 k 0 k 2 1 当 k 2 时 求曲线 y f x 在点 1 f 1 处的切线方程 2 求 f x 的单调区间 分析 本题考查了导数的几何意义及利用导数求函数的单调区间 第 1 问可由导数求得 切线斜率 从而求出切线方程 第 3 问要注意对参数 k 进行分类讨论 解析 1 当 k 2 时 f x ln 1 x x x2 f x 1 2x 1 1 x 由于 f 1 ln2 f 1 3 2 所以曲线 y f x 在点 1 f 1 处的切线方程为 y ln2 x 1 即 3x 2y 2ln2 3 0 3 2 2 f x x 1 x kx k 1 1 x 当 k 0 时 f x x 1 x 因此在区间 1 0 上 f x 0 在区间 0 上 f x 0 所以 f x 的单调递增区间为 1 0 单调递减区间为 0 当 0 k0 x kx k 1 1 x 1 k k 因此 在区间 1 0 和 上 f x 0 1 k k 用心 爱心 专心 6 在区间 0 上 f x 1 时 由 f x 0 得 x1 0 x2 1 0 x kx k 1 1 x 1 k k 因此 在区间 1 和 0 上 f x 0 在区间 0 上 f x 0 即 1 k k 1 k k 函数 f x 的单调递增区间为和 0 单调递减区间为 0 1 1 k k 1 k k 点评 利用导数求函数的单调区间需注意两个问题 一是先求函数的定义域 二是对参数 进行讨论 15 统计表明 某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量 y 升 关于行驶速度 x 千米 小 时 的函数解析式可以表示为 y x3 x 8 0 x 120 已知甲 乙两地相距 100 千 1 128000 3 80 米 1 当汽车以 40 千米 小时的速度匀速行驶时 从甲地到乙地要耗油多少升 2 当汽车以多大的速度匀速行驶时 从甲地到乙地耗油最少 最少为多少升 解析 1 当 x 40 时 汽车从甲地到乙地行驶了 2 5 小时 耗油 100 40 2 5 17 5 升 1 128000 403 3 80 40 8 答 当汽车以 40 千米 小时的速度匀速行驶时 从甲地到乙地耗油 17 5 升 2 当速度为 x 千米 小时时 汽车从甲地到乙地行驶了小时 设耗油量为 f x 升 100 x 依题意得 f x 1 128000 x3 3 80 x 8 100 x x2 0 x 120 1 1280 800 x 15 4 f x