高中数学《函数与方程》学案2 苏教版必修1

用心 爱心 专心1 第六讲第六讲 函数与方程函数与方程 一 复习目标要求一 复习目标要求 1 结合二次函数的图像 判断一元二次方程根的存在性及根的个数 从而了解函数的零点与方程根 的联系 2 根据具体函数的图像 能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解 了解这种方法是求方程近 似解的常用方法 二 二 2010 年命题预测年命题预测 函数与方程的理论是高中新课标教材中新增的知识点 特别是 二分法 求方程的近似解也一定会 是高考的考点 从近几年高考的形势来看 十分注重对三个 二次 即一元二次函数 一元二次方程 一元二次不等式 的考察力度 同时也研究了它的许多重要的结论 并付诸应用 高考试题中有近一半 的试题与这三个 二次 问题有关 预计 2010 年高考对本讲的要求是 以二分法为重点 以二次函数为载体 以考察函数与方程的关系 为目标来考察学生的能力 1 题型可为选择 填空和解答 2 高考试题中可能出现复合了函数性质与函数零点的综合题 同时考察函数方程的思想 三 知识精点讲解三 知识精点讲解 1 方程的根与函数的零点 1 函数零点 概念 对于函数 Dxxfy 把使0 xf成立的实数x叫做函数 Dxxfy 的零点 函数零点的意义 函数 xfy 的零点就是方程0 xf实数根 亦即函数 xfy 的图象与 x轴交点的横坐标 即 方程0 xf有实数根 函数 xfy 的图象与x轴有交点 函数 xfy 有零点 二次函数 0 2 acbxaxy的零点 方程0 2 cbxax有两不等实根 二次函数的图象与x轴有两个交点 二次函数有 两个零点 方程0 2 cbxax有两相等实根 二重根 二次函数的图象与x轴有一个交点 二次函数有一个二重零点或二阶零点 方程0 2 cbxax无实根 二次函数的图象与x轴无交点 二次函数无零点 零点存在性定理 如果函数 xfy 在区间 ba上的图象是连续不断的一条曲线 并且有 0 bfaf 那么函数 xfy 在区间 ba内有零点 既存在 bac 使得0 cf 这个 c也就是方程的根 2 二分法 二分法及步骤 对于在区间a b上连续不断 且满足 af bf0 的函数 xfy 通过不断地把函数 用心 爱心 专心2 xf的零点所在的区间一分为二 使区间的两个端点逐步逼近零点 进而得到零点近似值的方法叫做二 分法 给定精度 用二分法求函数 xf的零点近似值的步骤如下 1 确定区间a b 验证 af bf0 给定精度 2 求区间a b的中点 1 x 3 计算 1 xf 若 1 xf 0 则 1 x就是函数的零点 若 af 1 xf 0 则令b 1 x 此时零点 10 xax 若 1 xf bf0 f x 在区间 p q 上的最大值 M 最小值 m 令 x0 2 1 p q 若 a b 2 p 则 f p m f q M 若 p a b 2 x0 则 f a b 2 m f q M 若 x0 a b 2 q 则 f p M f a b 2 m 若 a b 2 q 则 f p M f q m 3 二次方程 f x ax2 bx c 0 的实根分布及条件 方程 f x 0 的两根中一根比 r 大 另一根比 r 小 a f r 0 用心 爱心 专心3 二次方程 f x 0 的两根都大于 r 0 2 04 2 rfa r a b acb 二次方程 f x 0 在区间 p q 内有两根 0 0 2 04 2 pfa qfa q a b p acb 二次方程 f x 0 在区间 p q 内只有一根 f p f q 0 或 f p 0 检验 或 f q 0 检验 检验另一根 若在 p q 内成立 四 典例解析四 典例解析 题型 1 方程的根与函数零点 例 1 1 方程 lgx x 3 的解所在区间为 A 0 1 B 1 2 C 2 3 D 3 2 设 a 为常数 试讨论方程 lg 3lg 1lg xaxx 的实根的个数 解析 1 在同一平面直角坐标系中 画出函数 y lgx 与 y x 3 的图象 如图 它 们的交点横坐标 0 x 显然在区间 1 3 内 由此可排除 A D 至于选 B 还是选 C 由于画图精确性的限制 单凭直观就比较困难了 实际上这是要比较 0 x与 2 的大 小 当 x 2 时 lgx lg2 3 x 1 由于 lg2 1 因此 0 x 2 从而判定 0 x 2 3 故本题应选 C 2 原方程等价于 xaxx xa x x 3 1 0 03 01 即 31 35 2 x xxa 构造函数 31 35 2 xxxy和ay 作出它们的图像 易知平行 于 x 轴的直线与抛物线的交点情况可得 当31 a或 4 13 a时 原方程有一解 当 4 13 3 a时 原方程有两解 当1 a或 4 13 a时 原方程无解 点评 图象法求函数零点 考查学生的数形结合思想 本题是通过构造函数用数形结合法求方程 x0 3 2 1 3 21o y x X Y 234 2 3 瑨灴 眯 睷愮 敬瑮 浵挮 浯愯 牧灡 敨 O 2 5 x ay 用心 爱心 专心4 lgx x 3 解所在的区间 数形结合 要在结合方面下功夫 不仅要通过图象直观估计 而且还要计算 0 x的 邻近两个函数值 通过比较其大小进行判断 例 2 2005 广东 19 设函数 f x在 上满足 2 2 fxfx 7 7 fxfx 且在闭区间 0 7 上 只有 1 3 0ff 试判断函数 yf x 的奇偶性 试求方程 f x 0 在闭区间 2005 2005 上的根的个数 并证明你的结论 解析 由 f 2 x f 2 x f 7 x f 7 x 得函数 xfy 的对称轴为72 xx和 从而知函数 xfy 不是奇函数 由 14 4 14 4 7 7 2 2 xfxf xfxf xfxf xfxf xfxf 10 xfxf 从而知函数 xfy 的周期为10 T 又0 7 0 0 3 fff而 故函数 xfy 是非奇非偶函数 II 由 14 4 14 4 7 7 2 2 xfxf xfxf xfxf xfxf xfxf 10 xfxf III 又0 9 7 13 11 0 0 3 ffffff 故 f x 在 0 10 和 10 0 上均有有两个解 从而可知函数 xfy 在 0 2005 上有 402 个解 在 2005 0 上 有 400 个解 所以函数 xfy 在 2005 2005 上有 802 个解 点评 解题过程注重了函数的数字特征 1 3 0ff 即函数的零点 也就是方程的根 题型 2 零点存在性定理 例 3 2004 广东 21 设函数 ln f xxxm 其中常数m为整数 1 当m为何值时 0f x 2 定理 若函数定理 若函数 g x在在 a b上连续 且上连续 且 g a与与 g b异号 则至少存在一点异号 则至少存在一点 0 xa b 使得 使得 0 0g x 试用上述定理证明 当整数1m 时 方程 0f x 在 2 mm em em 内有两个实根 用心 爱心 专心5 解析 1 函数 f x x ln x m x m 连续 且 mxxf mx xf 1 0 1 1 得令 当 x m 1 m 时 f x f 1 m 当 x 1 m 时 f x 0 f x 为增函数 f x f 1 m 根据函数极值判别方法 f 1 m 1 m 为极小值 而且 对 x m 都有 f x f 1 m 1 m 故当整数 m 1 时 f x 1 m 0 2 证明 由 I 知 当整数 m 1 时 f 1 m 1 m1 时 1121 03 2 12 2 213 11 3 222 归纳法证明上述不等式也可用数学 mm m mm mmmemef mmm 类似地 当整数 m 1 时 函数 f x x ln x m 在 1 mem m 上为连续增函数且 f 1 m 与 2 mef m 异号 由所给定理知 存在唯一的0 1 22 xfmemx m 使 故当 m 1 时 方程 f x 0 在 2 meme mm 内有两个实根 点评 本题以信息给予的形式考察零点的存在性定理 解决该题的解题技巧主要在区间的放缩和不 等式的应用上 例 4 若函数 xfy 在区间 a b 上的图象为连续不断的一条曲线 则下列说法正确的是 A 若0 bfaf 不存在实数 bac 使得0 cf B 若0 bfaf 存在且只存在一个实数 bac 使得0 cf C 若0 bfaf 有可能存在实数 bac 使得0 cf D 若0 bfaf 有可能不存在实数 bac 使得0 cf 解析 由零点存在性定理可知选项 D 不正确 对于选项 B 可通过反例 1 1 xxxxf在区 间 2 2 上满足0 2 2 ff 但其存在三个解 1 0 1 推翻 同时选项 A 可通过反例 1 1 xxxf在区间 2 2 上满足0 2 2 ff 但其存在两个解 1 1 选项 D 正确 见 用心 爱心 专心6 实例 1 2 xxf在区间 2 2 上满足0 2 2 ff 但其不存在实数解 点评 该问题详细介绍了零点存在性定理的理论基础 题型 3 二分法的概念 例 5 关于 二分法 求方程的近似解 说法正确的是 A 二分法 求方程的近似解一定可将 xfy 在 a b 内的所有零点得到 B 二分法 求方程的近似解有可能得不到 xfy 在 a b 内的零点 C 应用 二分法 求方程的近似解 xfy 在 a b 内有可能无零点 D 二分法 求方程的近似解可能得到0 xf在 a b 内的精确解 解析 如果函数在某区间满足二分法题设 且在区间内存在两个及以上的实根 二分法只可能求出 其中的一个 只要限定了近似解的范围就可以得到函数的近似解 二分法的实施满足零点存在性定理 在区间内一定存在零点 甚至有可能得到函数的精确零点 点评 该题深入解析了二分法的思想方法 例 6 方程0 xf在 0 1 内的近似解 用 二分法 计算到445 0 10 x达到精确度要求 那么 所取误差限 是 A 0 05 B 0 005 C 0 0005 D 0 00005 解析 由四舍五入的原则知道 当 4455 0 4445 0 10 x时 精度达到445 0 10 x 此时差限 是 0 0005 选项为 C 点评 该题考察了差限的定义 以及它对精度的影响 题型 4 应用 二分法 求函数的零点和方程的近似解 例 7 借助计算器 用二分法求出 x x32 62ln 在区间 1 2 内的近似解 精确到 0 1 解析 原方程即023 62ln x x 令23 62ln x xxf 用计算器做出如下对应值表 x 2 1012 f x 2 58203 0530279181 0794 4 6974 观察上表 可知零点在 1 2 内 取区间中点 1 x 1 5 且00 1 5 1 f 从而 可知零点在 1 1 5 内 再取区间中点 2 x 1 25 且20 0 25 1 f 从而 可知零点在 1 25 1 5 内 同理取区间中点 3 x 1 375 且0 375 1 f 从而 可知零点在 1 25 1 375 内 由于区间 1 25 1 375 内任一值精确到 0 1 后都是 1 3 故结果是 1 3 点评 该题系统的讲解了二分法求方程近似解的过程 通过本题学会借助精度终止二分法的过程 用心 爱心 专心7 例 8 借助计算器或计算机用二分法求方程732 x x 的近似解 精确到1 0 分析 本例除借助计算器或计算机确定方程解所在的大致区间和解的个数外 你是否还可以想到有 什么方法确定方程的根的个数 略解 图象在闭区间a b上连续的单调函数 xf 在a b上至多有一个零点 点评 第一步确定零点所在的大致区间a b 可利用函数性质 也可借助计算机或计算器 但 尽量取端点为整数的区间 尽量缩短区间长度 通常可确定一个长度为 1 的区间 建议列表样式如下 零点所在区间中点函数值区间长度 1 2 5 1 f 01 1 1 5 25 1 f 00 5 1 25 1 5 375 1 f 00 25 如此列表的优势 计算步数明确 区间长度小于精度时 即为计算的最后一步 题型 5 一元二次方程的根与一元二次函数的零点 例 9 设二次函数 方程的两个根满足 当时 证明 12 1 0 xxx a 证明 由题意可知 21 xxxxaxxf a xxx 1 0 21 0 21 xxxxa 当时 xxf 又 1 211211 axaxxxxxxxxxaxxf 011 0 221 axaxaxxx且 1 xxf 综上可知 所给问题获证 点评 在已知方程两根的情况下 根据函数与方程根的关系 可以写出函数 xxf 的表达式 从 而得到函数 xf的表达式 例 10 已知二次函数 0 1 2 aRbabxaxxf 设方程xxf 的两个实数根为 1 x和 2 x 1 如果42 21 xx 设函数 xf的对称轴为 0 xx 求证 1 0 x 用心 爱心 专心8 2 如果2 1 x 2 12 xx 求b的取值范围 解析 设1 1 2 xbaxxxfxg 则0 xg的二根为 1 x和 2 x 1 由0 a及42 21 xx 可得 0 4 0 2 g g 即 03416 0124 ba ba 即 0 4 3 2 24 0 4 3 2 33 aa b aa b 两式相加得1 2 a b 所以 1 0 x 2 由 aa b xx 4 1 22 21 可得 1 1 12 2 ba 又0 1 21 a xx 所以 21 x x同号 2 1 x 2 12 xx等价于 1 1 12 20 2 21 ba xx 或 1 1 12 02 2 12 ba xx 即 1 1 12 0 0 0 2 2 ba g g 或 1 1 12 0 0 0 2 2 ba g g 解之得 4 1 b或 4 7 b 点评 条件42 21 xx实际上给出了xxf 的两个实数根所在的区间 因此可以考虑利用上 述图像特征去等价转化 题型 6 一元二次函数与一元二次不等式 例 13 1996 上海 文 理 8 在下列图象中 二次函数 y ax2 bx 与指数函数 y a b x的图象只 可能是 用心 爱心 专心9 解析一 由指数函数图象可以看出 0 a b 1 抛物线方程是 y a x a b 2 2 2 2 4a b 其顶点坐标为 a b 2 a b 4 2 又由 0 a b 1 可得 2 1 a b 2 0 观察选择支 可选 A 解析二 求 y ax2 bx 与 x 轴的交点 令 ax2 bx 0 解得 x 0 或 x a b 而 1 a b 0 故选 A 点评 本题虽小 但一定要细致观察图象 注意细微之处 获得解题灵感 1 例例 14 2002 全国高考题 设全国高考题 设 a R 函数 函数 f x x2 x a 1 x R 2 1 讨论 讨论 f x 的奇偶性的奇偶性 3 2 求 求 f x 的最小值的最小值 4 解 解 1 显然 显然 a 0 时 时 f x 为偶函数 为偶函数 5 当当 a 0 时 时 f a a2 1 f a a2 2 a 1 6 f a f a f a f a 0 7 此时此时 f x 为非奇非偶函数为非奇非偶函数 8 2 首先应先去掉绝对值 再进行讨论 首先应先去掉绝对值 再进行讨论 9 当当 x a 时 时 4 3 2 1 1 22 axaxxxf 10 若若 2 1 a 则则 f x 在区间 在区间 a 上单调递减 上单调递减 11 f x 的最小值为的最小值为 f a a2 1 如图如图 I 12 若若 2 1 a 则 则 f x 在区间 在区间 a 上的最小值为上的最小值为af 4 3 2 1 如图 如图 II 13 14 当当 x a 时 时 4 3 2 1 1 22 axaxxxf 15 若若 2 1 a 则 则 f x 在在 a 上的最小值为上的最小值为af 4 3 2 1 如图 如图 III 16 若若 2 1 a 则 则 f x 在在 a 上单调递增 上单调递增 17 则则 f x 在在 a 上的最小值为上的最小值为 f a a2 1 如图如图 IV 用心 爱心 专心10 18 综上 当综上 当 2 1 a时 时 f x 最小值为最小值为a 4 3 19 当当 2 1 2 1 a时 时 f x 最小值为最小值为 a2 1 当 2 1 a时 f x 最小值为 4 3 a 点评 该题考察到函数的图像与性质的综合应用 考察了分类讨论的思想 题型 8 二次函数的综合问题 例 15 2005 浙江文 20 已知函数 f x和 g x的图象关于原点对称 且 2 2f xxx 求函数 g x的解析式 解不等式 1g xf xx 若 1h xg xf x 在 1 1 上是增函数 求实数 的取值范围 解析 设函数 yf x 的图象上任意一点 00 Q xy关于原点的对称点为 P x y 则 0 0 00 0 2 0 2 xx xx yyyy 即 点 00 Q xy在函数 yf x 的图象上 222 22 2yxxyxxg xxx 即 故 由 2 1210g xf xxxx 可得 当1x 时 2 210 xx 此时不等式无解 当1x 时 2 210 xx 解得 1 1 2 x 因此 原不等式的解集为 1 1 2 2 12 11h xxx 1411 1h xx 当时 在上是增函数 1 1 1 1 x 当时 对称轴的方程为 1 11 1 1 当时 解得 1 11 10 1 当时 解得 0 综上 点评 本题主要考查函数图象的对称 二次函数的基本性质与不等式的应用等基础知识 以及综合 运用所学知识分析和解决问题的能力 例 16 已知函数 x z a xf 2 2 1 将 xfy 的图象向右平移两个单位 得到函数 xgy 求函数 xgy 的解析式 用心 爱心 专心11 2 函数 xhy 与函数 xgy 的图象关于直线1 y对称 求函数 xhy 的解析式 3 设 1 xhxf a xF 已知 xF的最小值是m且72 m 求实数a的取值范围 解析 1 2 22 2 2 x x a xfxg 2 设 xhy 的图像上一点 yxP 点 yxP 关于1 y的对称点为 yxQ 2 由点 Q 在 xgy 的图像上 所以 y a x x 2 2 2 2 2 于是 2 22 2 2 x x a y 即 2 22 2 2 x x a xh 3 2 2 14 2 4 11 1 x x a a xhxf a xF 设 x t2 则2 14 4 4 t a t a a xF 问题转化为 722 14 4 4 t a t a a 对0 t恒成立 即 0147 4 4 2 att a a 对0 t恒成立 故必有0 4 4 a a 否则 若0 4 4 a a 则关于t的二次函数 147 4 4 2 att a a