江苏省睢宁县李集中学高中数学第一章1正弦定理教案 新人教版必修5

1 第一章第一章 解三角形解三角形 课题 1 1 1 1 1 1 正弦定理正弦定理 第 课时 总序第 个教案 课型 新授课 编写时时间 年 月 日 执行时间 年 月 日 教学目标 知识与技能 知识与技能 通过对任意三角形边长和角度关系的探索 掌握正弦定理的内容 及其证明方法 会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问 题 过程与方法 过程与方法 让学生从已有的几何知识出发 共同探究在任意三角形中 边与其 对角的关系 引导学生通过观察 推导 比较 由特殊到一般归纳出正弦定理 并进行定理基本应用的实践操作 情感态度与价值观 情感态度与价值观 培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力 培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力 通过三角形函数 正弦定 理 向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一 教学重点 正弦定理的探索和证明及其基本应用 教学难点 已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数 教学用具 三角板 多媒体 教学方法 让学生从已有的几何知识出发 共同探究在任意三角形中 边与其对 角的关系 引导学生通过观察 推导 比较 由特殊到一般归纳出正弦定理 并进行定理基本应用的实践操作 教学过程 课题导入课题导入 如图 1 1 1 固定 ABC 的边 CB 及 B 使边 AC 绕着顶点 C 转动 A 思考 C 的大小与它的对边 AB 的长度之间有怎样的数量关系 显然 边 AB 的长度随着其对角 C 的大小的增大而增大 能否 用一个等式把这种关系精确地表示出来 C B 讲授新课讲授新课 探索研究探索研究 图 1 1 1 在初中 我们已学过如何解直角三角形 下面就首先来探讨直角三角形中 角与边的等式关系 如图 1 1 2 在 Rt ABC 中 设 BC a AC b AB c 根据锐角三角函数中正弦函数的定义 有si n a A c si n b B c 又 si n1 c C c A 则 si nsi nsi n abc c ABC b c 从而在直角三角形 ABC 中 si nsi nsi n abc ABC C a B 图 1 1 2 批 注 2 思考 那么对于任意的三角形 以上关系式是否仍然成立 由学生讨论 分析 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况 如图 1 1 3 当 ABC 是锐角三角形时 设边 AB 上的高是 CD 根据任意角 三角函数的定义 有 CD si nsi naBbA 则 si nsi n ab AB C 同理可得 si nsi n cb CB b a 从而 si nsi n ab AB si n c C A c B 图 1 1 3 思考 是否可以用其它方法证明这一等式 由于涉及边长问题 从而可以考虑 用向量来研究这个问题 证法二 过点 A 作jAC C 由向量的加法可得 ABACC B 则 jABjACC B A B jABjACjC B j 00 cos 900cos 90 j ABAj CBC sinsin cA aC 即 sinsin ac AC 同理 过点 C 作 jBC 可得 sinsin bc BC 从而 si nsi n ab AB si n c C 类似可推出 当 ABC 是钝角三角形时 以上关系式仍然成立 由学生课后自 己推导 从上面的研探过程 可得以下定理 正弦定理 正弦定理 在一个三角形中 各边和它所对角的正弦的比相等 即 si nsi n ab AB si n c C 理解定理理解定理 3 1 正弦定理说明同一三角形中 边与其对角的正弦成正比 且比例系数为同 一正数 即存在正数 k 使si nakA si nbkB si nckC 2 si nsi n ab AB si n c C 等价于 si nsi n ab AB si nsi n cb CB si n a A si n c C 从而知正弦定理的基本作用为 已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边 如 si n si n bA a B 已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值 如 si nsi n a AB b 一般地 已知三角形的某些边和角 求其他的边和角的过程叫作解三角形解三角形 例题分析例题分析 例 1 在 ABC中 已知 0 32 0 A 0 81 8 B 42 9 acm 解三角形 解 根据三角形内角和定理 0 180 CA B 000 180 32 081 8 0 66 2 根据正弦定理 0 0 sin42 9sin81 8 80 1 sin sin32 0 aB bcm A 根据正弦定理 0 0 sin42 9sin66 2 74 1 sin sin32 0 aC ccm A 评述 对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 例 2 在 ABC中 已知20 acm 28 bcm 0 40 A 解三角形 角度精 确到 0 1 边长精确到 1cm 解 根据正弦定理 0 sin28sin40 sin0 8999 20 bA B a 因为 0 0 B 0 180 所以 0 64 B 或 0 116 B 当 0 64 B时 00000 180 180 4064 76 CA B 0 0 sin20sin76 30 sin sin40 aC ccm A 4 当 0 116 B时 00000 180 180 40116 24 CA B 0 0 sin20sin24 13 sin sin40 aC ccm A 评述 应