高二数学期末复习专题：圆锥曲线与方程人教实验版

高二数学高二数学期末复习专题 圆锥曲线与方程期末复习专题 圆锥曲线与方程人教实验版人教实验版 本讲教育信息本讲教育信息 一 教学内容 期末复习专题 圆锥曲线与方程 二 知识分析 本章知识网络本章知识网络 学法点拨学法点拨 圆锥曲线是解析几何的重点 也是高中数学的重点内容 圆锥曲线试题的类型 特点 与学习的方法主要归结如下 1 求动点的轨迹方程问题 从来都是高考的热点 试题有一定的难度 学习时应注意一 些求轨迹方程的基本方法 2 求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点 试题一般涉及量较多 计算量大 要求 较强的运算能力 在计算中 首先要明确运算方向 还要注意运算合理 运算的技巧 使 运算简练 3 试题注重对解析几何基本方法的考查 要求会建立适当的直角坐标系 把平面几何问 题转化为代数问题 4 注意用圆锥曲线的定义解题 有关圆锥曲线上的点到焦点的距离 到准线的距离 离 心率的问题都可能用到圆锥曲线的定义去解 5 对称问题是高考的热点 注意关于原点 x 轴 y 轴 关于直线 y x 对称的两曲线 方程的特点 6 在有关直线与圆锥曲线的问题中 注意韦达定理 弦长公式在解题中的应用 7 一些试题将解析几何问题与数列问题 极限问题 不等式问题 函数问题综合在一起 对解决数学综合问题的能力要求更高 此时要充分利用解析几何的特点 运用数形结合 用代数的方法解决几何的问题 备考建议备考建议 在复习过程中抓住以下几点 1 在高考命题中 有关圆锥曲线的试题主要考查两大类问题 一是根据题设条件 求出圆锥曲线的方程 二是通过方程 研究圆锥曲线的性质 本 章考题大多数是课本的变式题 即源于课本 因此掌握双基 精通课本是关键 2 加强直线与圆锥曲线的位置关系问题的复习 由于直线与圆锥曲线的位置关系一直为高考的热点 这类问题常涉及到圆锥曲线的性 质和直线的基本知识点 线段的中点 弦长 垂直问题 因此分析问题时利用数形结合思 想来设 3 重视对数学思想 方法进行归纳提炼 达到优化解题思维 简化解题过程的目的 如 下列思想和方法 1 方程思想 2 用好函数思想方法 3 掌握坐标法 4 对 称思想 5 参数思想 6 转化思想 4 在注重解题方法 数学思想的应用的同时注意一些解题技巧 椭圆 双曲线 抛物线 的定义揭示了各自存在的条件 性质及几何特征与圆锥曲线的焦点 准线 离心率有关量 的关系问题 若能用定义法 可避免繁琐的推理与运算 涉及到原点和焦点距离问题用极 坐标的极径表示 关于直线与圆锥曲线相交弦则结合韦达定理采用设而不求法 利用引入 一个参数表示动点的坐标 x y 间接把它们联系起来 减少变量 未知量采用参数法 有 些题目还常用它们与平面几何的关系 利用平面几何知识会化难为易 化繁为简 收到意 想不到的解题效果 第一讲第一讲 椭圆椭圆 一 椭圆及其标准方程 1 平面内与两个定点 F1 F2的距离的和等于常数 大于 F1 F2 的点的轨迹叫做椭圆 这两个定点叫椭圆的焦点 两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 一般的 集合PM MFMFaF Fc 1212 22 其中ac 00 且 a c 为 常数 1 若 a c 则集合 P 为椭圆 2 若 a c 则集合 P 为线段 3 若 a c 则集合 P 为空集 2 椭圆的两种标准方程 焦点在 x 轴上 x a y b ab 2 2 2 2 10 焦点为Fc 0 焦点在 y 轴上 y a x b ab 2 2 2 2 10 焦点为Fc 0 都有 1 a b 0 2 abc 222 二 椭圆的几何性质 方程 x a y b ab 2 2 2 2 10 y a x b ab 2 2 2 2 10 范围 xayb xbya 对称性轴对称 中心对称轴对称 中心对称 顶点 a 0 a 0 0 b 0 b b 0 b 0 0 a 0 a 离心率 01 e c a 01 e c a 准线方程x a c a e 2 y a c a e 2 典例分析典例分析 例 1 已知椭圆41 22 xy 及直线 y x m 1 当直线和椭圆有公共点时 求实数 m 的取值范围 2 求被椭圆截得的最长弦所在的直线的方程 解 解 解方程组 41 22 xy yxm 消去 y 整理得 5210 42012016 1020160 5 2 5 2 22 222 2 xmxm mmm m m 由得 解之得 2 由韦达定理得 xx m x x m 12 12 2 2 5 1 5 弦长 L 142 4 25 41 5 2 12 2 12 22 kxxx x mm 2 5 108 2 m 当 m 0 时 L 取得最大的值为 2 10 5 此时直线方程为 y x 点评 设两曲线交点 M x1 y1 N x2 y2 直线 MN 的斜率为 k 则弦长 MNkxx 1 2 12 或 MN k yy 1 1 2 12 例 2 若椭圆axby 22 1 与直线 x y 交于 A B 两点 M 为 AB 的中点 直线 OM O 为原点 的斜率为 2 2 且 OA OB 求椭圆的方程 解 解 设 A x1 y1 B x2 y2 M xxyy 1212 22 由 xy axby 1 1 22 abxbxb 2 210 xxb ab yyxxa ab M b ab a ab kba OAOB y x y x x xy y x x b ab y yxx y yxxx x b ab b a OM 121212 1 1 2 2 1212 121212 121212 22 1 2 2 2 2 10 1 11 11 21 b a ab b ab a ab ab ab xy 1 11 02 2212 221 2212 2211 22 由 得 所求方程为 点评 点评 直线与椭圆相交的问题 通常采取设而不求 即设出 A xl yl B x2 y2 但不是真的求出 xl yl x2 y2 而是借助于一元二次方程根与系数的关系来解决问题 由 OA OB 得 xlx2 yly2 0 是解决本题的关键 例 3 如图所示 从椭圆 x a y b ab 2 2 2 2 10 上一点 M 向 x 轴作垂线 恰好通过椭 圆的左焦点 F1 且它的长轴端点 A 及短轴的端点 B 的连线 AB OM 1 求椭圆的离心率 e 2 设 Q 是椭圆上任意一点 F2是右焦点 求 F1QF2的取值范围 3 设 Q 是椭圆上一点 当 QF2 AB 时 延长 QF2与椭圆交于另一点 P 若 F1PQ 的面积为20 3 求此时椭圆的方程 解 解 1 MF1 x 轴 xM c 代入椭圆方程 得yM b a 2 k b ac k b a OMAB 2 OM AB b ac b a bc 2 即 从而ace 2 2 2 2 设 QFrQFrFQF 112212 则rraF Fc 121 2 22 由余弦定理 得 cos rrc r r a r r a rr 1 2 2 22 1 2 2 1 2 2 122 4 2 1 2 10 当且仅当rr 12 时 上式成立 010 2 cos 3 bc ac 2 设椭圆方程 x c y c 2 2 2 2 2 1 又 PQ AB k k a b PQ AB 1 2 则 PQ 的方程为yxc 2 代入椭圆方程 得5820 22 xcxc 由弦长公式 得 PQc 6 2 5 而 F1到 PQ 之距为 2 6 3 c SPQcc F PQ 1 1 2 2 6 3 4 3 5 20 3 2 c225 250 2 c 故所求椭圆的方程为 xy 22 5025 1 第二讲第二讲 双曲线双曲线 一 双曲线的定义 平面内动点 P 与两个定点 F1 F2 F Fc 1 2 20 的距离之差的绝对值为定值 2a 1 当2 1 2 aF F 时 P 点的轨迹是双曲线 2 当2 1 2 aF F 时 P 点的轨迹是两条射线 3 当2 1 2 aF F 时 P 点不存在 4 当 a 0 时 P 点轨迹是线段 F1F2的中垂线 二 双曲线的几何性质 标准方程 x a y b ab 2 2 2 2 100 y a x b ab 2 2 2 2 100 图形 2 顶点A1 a 0 A2 a 0 A1 0 a A2 0 a 对称轴x 轴 y 轴 焦点F1 c 0 F2 c 0 F1 0 c F2 0 c 焦距 F F 2c c 0 c 1 2 2 ab 22 离心率 e c a b a e 11 2 渐近线 y b a x y a b x a b c 的关 系 cab 222 典例分析典例分析 例 1 求渐近线方程为340 xy 与340 xy 焦点为椭圆 xy 22 105 1 的一对顶点的 双曲线方程 解 解 1 当双曲线的焦点为椭圆的长轴顶点 即 10 0 与 10 0 时 设双曲线方程为 xy 22 169 其中 0 由cab 222 得10169 2 5 所求的双曲线方程为 5 32 5 18 1 22 xy 2 当双曲线的焦点为椭圆短轴顶点 即 0 5 与 0 5 时 设双曲线方程为 xy 22 169 其中 0 即 yx 22 916 1 5916 1 5 故所求的双曲线方程为 5 9 5 16 1 22 yx 综上 所求的双曲线方程为 5 32 5 18 1 22 xy 或 5 9 5 16 1 22 yx 点评 点评 当已知双曲线的渐近线方程为 x a y b 0 或ymx 时 可设双曲线的方程 为 x a y b 2 2 2 2 或m xy 222 其中 为不等于零的待定常数 以简化运算过程 这 里方程 x a y b R 2 2 2 2 0 且称之为双曲线 x a y b 2 2 2 2 1 的共渐近线的双曲线系 例 2 设双曲线x y 2 2 2 1 上两点 A B AB 中点 N 1 2 1 求直线 AB 的方程 2 如果线段 AB 的垂直平分线与双曲线交于 C D 两点 那么 A B C D 是否共 圆 为什么 1 解法一 解法一 显然 AB 斜率存在 设 AB y k x 由 ykxk x y 2 2 1 2 2 得 222460 222 kxkk xkk 当 0 时 设 A x1 y1 B x2 y2 则1 2 2 2 10 12 2 xxkk k k 满足 直线 AB y x 1 解法二 解法二 设 A x1 y1 B x2 y2 则 x y x y 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 两式相减得 xxxxyyyy 12121212 1 2 xx yy xx xx yy 12 12 12 12 12 2 kk ABAB 21 2 11 代入x y 2 2 2 1 满足 0 直线 AB y x 1 2 解 解 设 A B C D 共圆于 M 因 AB 为弦 故 M 在 AB 垂直平分线即 CD 上 又 CD 为弦 故圆心 M 为 CD 中点 因此只需证 CD 中点 M 满足 MA MB MC MD 由 yx x y 1 2 1 2 2 得 A 1 0 B 3 4 又 CD 方程 y x 3 由 yx x y 3 2 1 2 2 得xx 2 6110 设 C x3 y3 D x4 y4 CD 中点 M x0 y0 则x xx yx 0 34 00 2 336 M 3 6 MCMDCD 1 2 2 10 又 MAMB 2 10 MAMBMCMD A B C D 在以 CD 中点 M 3 6 为圆心 2 10为半径的圆上 第三讲第三讲 抛物线抛物线 一 抛物线的定义 平面内与一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 点 F 叫做抛物 线的焦点 直线 l 叫做抛物线的准线 二 抛物线的标准方程和几何性质 定义 平面内到定点 F 和定直线 l 的距离相等的点的轨迹 叫抛物线 即 P PF dPl 1 标准 方程 ypx p 2 20 ypx p 2 20 xpy p 2 20 xpy p 2 20 图形 顶点O 0 0 O 0 0 O 0 0 O 0 0 对称 轴 x 轴x 轴y 轴y 轴 焦点 F p 2 0F p 2 0F p 0 2 F p 0 2 离心 率 e 1e 1e 1E 1 x y 取 值范 围 x 0 y Rx 0 y Ry 0 x Ry 0 x R 典例分析典例分析 例 1 A B 是抛物线 y2 2px p 0 上的两点 且 OA OB 1 求 A B 两点的横坐标之积和纵坐标之积 2 求证 直线 AB 过定点 3 求弦 AB 中点 P 的轨迹方程 4 求 AOB 面积的最小值 1 解 解 设 A x1 y1 B x2 y2 中点 P x0 y0 k y x k y x OAOBkkx xy y OAOBOAOB 1 1 2 2 1212 10 ypx ypx y p y p y y 1 2 12 2 2 1 2 2 2 12 22 22 0 yyy ypx xp 1212 2 12 2 0044 2 证明 证明 ypx ypxyyyyp xx 1 2 12 2 2121212 222 yy xx p yy k p yy AB 12 121212 22 直线 AB yy p yy xx 1 12 1 2 y px yy y px yy y px yy ypxy y yy 2222 12 1 1 1212 1 2 112 12 ypx y ypy px yy p yy 1 2 112 2 12 2 12 24 24 y p yy xp 2 2 12 AB 过定点 2p 0 设 M 2p 0 3 解 解 设 OA y kx 代入 y2 2px 得 x x p k 2 2 A p k p k 22 2 同理 以 1 k 代 k 得Bpkpk 22 2 xp k k yp k k 0 2 2 0 1 1 k kk k x p y p 2 2 2002 11 22 即ypxp 0 2 0 2 2 中点 M 的轨迹方程ypxp 22 2 4 解 解 SSSOMyyp yypy yp AOBAOMBOM 1 2 24 121212 2 当且仅当 y1 y2 2p 时 等号成立 例 2 设抛物线 y2 2px p 0 的焦点为 F 经过点 F 的直线交抛物线于 A B 两点 点 C 在抛物线的准线上 且 BC x 轴 证明 直线 AC 经过原点 O 证法一 证法一 设直线方程为yk x p 2 A x yB xyC p y 11222 2 yk x p ypx y py k p y ypk y x k y p p y OAOC 2 2 2 0 2 2 2 22 12 21 1 2 1 又 ypxk y x k OCOA1 2 1 1 1 2 即 k 也是直线 OA 的斜率 AC 经过原点 O 当 k 不存在时 AB x 轴 同理可得 kOA kOC 证法二 证法二 连结 AC 与 EF 相交于点 N 过 A 作 AD l D 为垂足 AD EF BC EN AD CN AC BF AB NF BC AF AB 由抛物线的定义可知 AF AD BF BC EN AD BF AB AF BC AB NF O 点与 N 点重合 N 是 AC 上的一点 AC 经过原点 O 点评 该题的解答既可采用常规的坐标法 借助代数推理进行 又可采用圆锥曲线的 几何性质 借助平面几何的方法进行推理 解题思路宽 而且几何方法较之解析法比较快 捷便当 从审题与思维深度上看 几何法的采用 源于思维的深刻 例 3 已知抛物线 y2 4ax a 0 的焦点为 A 以 B a 4 0 为圆心 AB 长为半径 画圆 在 x 轴上方交抛物线于 M N 不同的两点 若 P 为 MN 的中点 1 求 a 的取值范围 2 求 AM AN 的值 3 问是否存在这样的 a 值 使 AM AP AN 成等差数列 解 解 1 设 M x1 y1 N x2 y2 P x0 y0 则 xayy 4160 22 代入 y2 4ax a 0 得xaxaa 22 2480 由 4 480 22 aaa得01 a 2 A 为焦点 AMANxaxaxxaaa 1212 28228 3 AMN 中 AP 为 MN 边上的中线 由平面几何知识 AM AN 2 AP 不存在实数 a 使 AM AP AN 成等差数列 点评 1 根据定义解题 能化难为易 2 巧用平面几何和三角知识解题 能简 化运算过程 简约思维过程 第四讲第四讲 直线与圆锥曲线直线与圆锥曲线 一 直线与圆锥曲线的三种位置关系 相交 相切 相离 直线 l 方程为AxByC 0 圆锥曲线方程 F x y 0 由 AxByC F x y 0 0 消元 如 y 后得axbxc 2 0 若 F x y 0 表示椭圆 则上述方程中 a 0 为此有 1 若 a 0 当圆锥曲线是双曲线时 直线 l 与双曲线的渐近线平行 或重合 当圆 锥曲线是抛物线时 直线 l 与抛物线的对称轴平行 或重合 2 若 a 0 设 bac 2 4 1 0 时 相交于两点 2 0 时 相切于一点 3 0 时 无公共点 二 直线与圆锥曲线相交所产生的问题 1 弦长 直线与圆锥曲线相交于 A B A x yB xy 1122 直线斜率为 k 1 一般弦长公式 ABkxx 1 2 12 2 焦点弦长公式 可用焦半径公式来表示弦长 简化运算 如 椭圆 中心在原点 焦点在坐标轴上 ABae xx 2 12 过右焦点 ABae xx 2 12 过左焦点 ABae yy 2 12 过上焦点 ABae yy 2 12 过下焦点 2 弦的中点问题 多数问题可合理 准确地运用韦达定理来解决 但弦的中点坐标与其斜率可由曲线方 程得到关系 合理使用此关系 可简化解决有关问题的过程 如 设A x yB xy 1122 是椭圆 x a y b 2 2 2 2 1 上不同两点且xxxx 1212 0 M 是其中 点 则 x a y b x a y b 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 11 两式作差可得 yy xx yy xx b a 12 12 12 12 2 2 其中 yy xx 12 12 可以看作是斜率 而 yy xx 12 12 是中点 M 纵横坐标比 这种方法叫做代点法 最后需检验直线与曲线是否相交 说明 说明 1 直线与圆锥曲线的位置关系可通过对直线方程与圆锥曲线方程组成的二元二次方 程组的解的情况来讨论 若方程组消元后得到一个一元二次方程 根据 来讨论 若方程组消元后得到一个一元一次方程 则相交于一个公共点 值得注意的是 直 线与圆锥曲线只有一个公共点时 未必一定相切 还有其他情况 如抛物线与平行 或重 合 于其对称轴的直线 双曲线与平行于其渐近线的直线 它们都只有一个公共点 但不 相切 而是相交 直线与圆锥曲线的位置关系 还可以利用数形结合 以形助数的方法解决 若讨论一线段与圆锥曲线或一直线与圆锥曲线的一部分 如双曲线的一支 的公共 点个数 则应注意根的范围限制 2 与弦有关的问题内容十分丰富 基本类型有弦长 弦中点 有关最值 有关轨迹 等问题 但解题思想都很一致 即由直线方程与圆锥曲线方程联立 消元 判别式 韦达 定理转化为方程的问题求解 在解题过程中 一定要形成常规的通解通法 形成规范的解 题步骤 3 焦点弦问题 要注意圆锥曲线定义的应用 4 代点法可将弦中点与弦所在直线的斜率相互转化 5 在分析直线与圆锥曲线的问题时 要注重函数思想 方程思想 转化思想 分类 讨论思想的应用 注重待定系数法 判别式法 代点法 数形结合法等数学方法的培养 提高综合运用能力和创新探索能力 典例分析典例分析 例 1 过双曲线 xy 22 916 1 的右焦点 F 作倾斜角为 4 的弦 AB 求弦长 AB 及弦中点 C 到 F 的距离 解 解 由双曲线的方程得 半实轴长 a 3 半虚轴长 b 4 半焦距 c 5 双曲线的右焦点为 F 5 0 直线 AB 的方程为yx 5 代入 xy 22 916 1 消去 y 得7903690 2 xx 设 A x1 y1 B x2 y2 C x0 y0 ABkxxx x14 192 7 2 12 2 12 又xxx 120 90 7 45 7 FCxyx 0 2 0 2 0 5252 45 7 5 80 2 7 例 2 抛物线的顶点在坐标原点 焦点在 x 轴正半轴上 A B C D 是抛物线上的四点 已知线段 AB 的中点的纵坐标为 3 线段 CD 的中点的纵坐标为 5 6 且直线 CD 的倾斜角是 直线 AB 的倾斜角的 2 倍 求此抛物线方程 解法一 解法一 设抛物线方程为ypx p 2 20 由于直线 AB 与 y 轴不平行 故可设 AB 方程为yk xb 11 由 消去 x 得k ypypb 1 2 1 220 弦 AB 中点纵坐标为 3 p k1 3 直线 AB 的斜率k p 1 3 同样地 直线 CD 与 y 轴不平行 设其方程为yk xb 22 由弦 CD 中点纵坐标为 5 6 可得直线 CD 的斜率kp 2 6 5 直线 CD 倾斜角是 AB 倾斜角的 2 倍 直线 CD 的斜率k k k 2 1 1 2 2 1 即 6 5 2 3 1 3 2 p p p 解得 p 2 所求的抛物线方程为yx 2 4 解法二 解法二 设A x yB xy 1122 则有ypx ypx 1 2 12 2 2 22 两式相减得 yyyyp xx 121212 2 yyxx 1212 6 直线 AB 的斜率k yy xx pp 1 12 12 2 63 同理可得直线 CD 的斜率kp 2 6 5 CD 倾斜角是 AB 倾斜角的 2 倍 k k k 2 1 1 2 2 1 即 6 5 2 3 1 3 2 p p p 解得 p 2 所求的抛物线方程为yx 2 4 点评 点评 上述两种方法求抛物线弦所在直线的斜率 是研究圆锥曲线与直线位置关系的 过程中常用的两种方法 一般来说 解法二比解法一的计算量要小 应熟练掌握 应用 例 3 已知双曲线 C 22 22 xy 与点 P 1 2 1 求过点 P 1 2 的直线 l 的斜率 k 的取值范围 使 l 与 C 分别有一个交点 两 个交点 没有交点 2 是否存在过点 P 的弦 AB 使 AB 的中点为 P 3 若 Q 1 1 试判断以点 Q 为中点的弦 AB 是否存在 解 解 1 设直线 l 的方程为yk x 21 代入双曲线 C 的方程 整理得 22246