高中数学《二次函数的性质与图象-运用》素材5 新人教B版必修1

用心 爱心 专心 例析二次函数图象性质的运用例析二次函数图象性质的运用 与二次函数相关的题目是高考的热点题型 充分利用二次函数图象的性质 从形象直观 到理性思考 能找到较为简捷的解题思路 下面从不同侧面入手 介绍几种常见类型的解 题思路 一 图象的位置一 图象的位置 根据题意考察结合条件的二次函数图象的位置 以形助数列出不等式易求解 例例 1 若二次函数在区间内至少存在一点12 2 24 22 ppxpxxf 11 c 使 求实数 p 的取值范围 0 cf 分析 1 依题意有或0 1 f0 1 f 即或012 2 pp0932 2 pp 解得或1 2 1 p 2 3 3 p 所以 2 3 3 p 分析 2 补集法 问题的反面即抛物线在内位于 x 轴下方 含与 x 轴的交点 11 令且 得且0 1 f0 1 f012 2 pp0932 2 pp 求得或3 p 2 3 p 求其补集得符合题意的解是 2 3 3 p 二 图象的对称轴二 图象的对称轴 二次函数图象的对称轴是二次函数的重要几何特征 除轴对称的关系外 还有图象顶点 的横坐标这一几何量 灵活运用这些知识来解题 效果甚好 例例 2 已知 a 0 函数 2 bxaxxf I 当 b 0 时 若对任意 都有 证明 Rx 1 xfba2 用心 爱心 专心 II 当 b 1 时 证明对任意 的充要条件是 10 x1 xfbab21 III 当时 讨论对任意的充要条件 10 b1 10 xfx 解 I b a b a xbxf 4 2 2 2 因为对恒成立 且1 xfRx 00 ab 所以ba b a 21 4 2 又 f x 图象过原点且对称轴 故时 恒成立的充要条0 2 b a x 10 x1 xf 件为 1 1 2 1 1 1 2 ba ba f b a 或 2 1 22 1 1 1 1 4 1 2 2 ba bab ba f b a b a II 当时 因 故的解集为空集 而的解等价于1 b12 bb bab21 III 当时 由得 因 10 b12 bab0 1 222 bbbb 且 由得 故时 的充要条件是01 bba20 10 x1 xf 10 ba 三 与三 与 x 轴的交点轴的交点 当二次函数的图象与 x 轴相交时 利用交点所在位置 根据范围列式 可获简解 用心 爱心 专心 例例 3 关于 x 的实系数二次方程的两实根为 证明 0 2 baxx 1 如果 那么且 2 2 ba 4 24 b 2 如果且 那么 ba 4 24 b2 2 分析 分析 所证两个小题 即证且的充要条件是且22 22 ba 4 2 若令 则问题转化为求证抛物线与 x 轴的两个交点4 bbaxxxf 2 xfy 落在区间内的充要条件是且 故 0 0 22 b4 a 2 4 b 22 4 4 344 2024 1024 04 2 2 2 0 2 0 2 2 2 a b a ba ba ba a f f 由bab 42 4 从而 且4 4 43 2 a bba 4 24 b 四 在四 在 x 轴上截得的弦轴上截得的弦 二次函数的图象抛物线截 x 轴所得的弦长为 4 4 2 21 2 2121 a acb xxxxxx 运用此公式是解决有关弦长问题的重要手段 用心 爱心 专心 例例 4 已知二次函数 其中且 cbxaxy 2 2 cba 0 cba 1 求证此函数的图象与 x 轴交于相异两点 2 设函数图象截 x 轴所得的线段的长为 L 求 L 的取值范围 略解 略解 1 因为且 则 所以 故0 cbacba 00 ca 0 ac 即函数图象与 x 轴交于相异两点 04 2 acb 2 设函数图象与 x 轴两交点为 则 0 0 21 xx 2 2 2 21 2 44 a acb xxL 3 2 1 4 4 4 4 4 4 2 2 2 2 a c a c a c a acca 又且0 cba00 cacba 故 则有cacbaca 202 2 1 2 a c 而在上是单调减函数 则3 2 1 4 22 a c L 2 1 2 a c 123 2 L 故323 L 五 函数图象的顶点位置五 函数图象的顶点位置 二次函数图象的顶点即二次函数的最大值或最小值点 而在闭区间上的最值问题必须根 据顶点的位置变化来讨论解决 例例 5 已知函数 当时 恒成立 求 a 的取3 2 axxxf 22 xaxf 值范围 分析 分析 若恒成立 即有 f x 在上的最小值 axf 22 xaag 用心 爱心 专心 收于 22 4 3 2 2 2 x aa xxf 下面按对称轴与定义域的位置关系分类求解 2 a x 1 当 即时 解得 则2 2 2 a 44 aa a ag 4 3 2 26 a 24 a 2 当即时 得 则2 2 a 4 aaafag 27 2 7 a 47 a 3 当 即时 得 与矛2 2 a 4 aaafag 27 2 3 7 a4 a 盾 舍去 综上所述 得 27 a 六 函数单调性六 函数单调性 二次函数的单调性是比较简单的 根据其单调区间的判定 可获得函数取最值的情况 从而可列式来判断参数的取值 例例 6 已知且cxxf 2 1 2 xfxff 1 设 求的表达式 xffxg xg 2 设 试问 是否存在实数 使在上是减 xfxgx x 1 函数并且在上是增函数 01 分析 分析 1 由得 1 22 xfcxfxff1 c 即221 1 2422 xxxxg 则 2 2 1 22 24224 xxxxxx 若设 则 2 xt 0