高考物理一轮复习 知识点完全解析 （基础知识回顾+重点难点例析+课堂自主训练+课后创新演练）第5课时 万有引力定律及其应用

1 第第 5 5 课时课时 万有引力定律及其应用万有引力定律及其应用 2 基础知识回顾基础知识回顾 1 1 开普勒三定律 开普勒三定律 1 第一定律 轨道定律 所有的行星围绕太阳的轨道都是椭圆 太阳处在所有椭圆的一 个焦点上 2 第二定律 面积定律 对任意一个行星来说 它与太阳的连线在相等的时间内扫过相 等的面积 3 第三定律 周期定律 所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的 比值都相等 在近似情况下 通常将行星或卫星的椭圆轨道运动处理为圆轨道运动 2 万有引力定律万有引力定律 1 内容 自然界中任何两个物体都是相互吸引的 引力的大小跟着两个物体的质量的乘积 成正比 跟他们之间的距离的二次方成反比 2 公式 F 12 2 m m G r 其中G 6 67 10 11N m2 kg2 叫引力常量 3 适用条件 仅仅适用于质点或可以看作质点的物体 相距较远 相对于物体自身的尺寸 的物体和质量均匀分布的球体可以看作质点 此时 式中的r指两质点间的距离或球心间 的距离 3 万有引力定律的应用万有引力定律的应用 由得 所以R越大 越小 2 2 Mmv Gm RR GM v R 2 由得 所以R越大 越小 2 2 Mm GmR R 3 GM R 3 由得 所以R越大 T越大 2 22 4Mm Gm RT 23 4R T GM 4 模型总结 1 当卫星稳定运行时 轨道半径R越大 越小 越小 T 越大 万 有引力越小 向心加速度越小 2 同一圆周轨道内正常运行的所有卫星的速度 角速度 周期 向心加速度均相等 3 这一模型在分析卫星的轨道变换 卫星回收等问题中很有用 重点难点例析重点难点例析 一 万有引力与重力一 万有引力与重力 1 重力 重力是指地球上的物体由于地球的吸引而使物体受到的 力 通过分析地球上物 体受到地球引力产生的效果 可以知道重力是引力的一个分力 引力的另一个分力是地球 上的物体随同地球自转的向心力 这个向心力也可以看作是物体受到的地球引力与地面支持 力的合力 如图 5 3 2 所示 但由于向心力很小 所以在一般计算中可认为重力近似等于 引力 重力方向竖直向下 即指向地心 3 2 天体表面重力加速度问题 设天体表面重力加速度为g 天体半径为R 因为物体在天体表面受到的重力近似等于 受到的引力 所以有 22 MmGM mgGg RR 同样可以推得在天体表面h重力加速度 2 2 Mm mgG Rh GM g Rh 重力加速度受纬度 高度 地球质量分布情况等多种因数影响 纬度越高 高度越小 重 力加速度越大 例例 1 1 某人利用单摆来确定某高山的高度 已知单摆在海面处的周期是T0 而在该高山 上 测得该单摆周期为T 求此高山离海平面高度h为多少 把地球看作质量均匀分布 的半径为R的球体 解析解析 根据单摆周期公式有 g L T g L T 2 2 0 0 由万有引力公式得 22 0 hR M Gg R M Gg 联立解得 R T T h 1 0 答案答案 R T T h 1 0 点拨点拨 重力加速度与物体所处高度 纬度有关 同时注意单摆的振动周期与重力加速度 有关 拓展拓展 火星的质量和半径分别约为地球的和 地球表面的重力加速度为g 则火星表面的重力 10 1 2 1 加速度约为 A 0 2g B 0 4g C 2 5g D 5g 解析解析 考查万有引力定律 星球表面重力等于万有引力 G mg 故火星表面的重力 Mm R2 加速度 0 4 故 B 正确 g火 g M火R地2 M地R火2 答案答案 B 图 4 5 1 4 二 估算天体的质量和密度二 估算天体的质量和密度 把卫星 或行星 绕中心天体的运动看成是匀速圆周运动 由中心天体对卫星 或行 星 的引力作为它绕中心天体的向心力 根据 2 22 4 n Mmr Gmam rT 得 23 2 4r M GT 因此 只需测出卫星 或行星 的运动半径r和周期T 即可算出中心天体的质量 M 又由 3 4 3 M R 可以求出中心星体的密度 例例 3 3 登月飞行器关闭发动机后在离月球表面 112km 的空中沿圆形轨道绕月球飞行 周 期是 120 5min 已知月球半径是 1740km 根据这些数据计算月球的平均密 度 G 6 67 10 11Nm2 kg2 解析解析 根据牛顿第二定律有 2 22 4 Mm GmRh RhT 从上式中消去飞行器质量 m 后可解得 7 2 1022kg 2323 3 2113 2 4 4 3 14 1852 10 6 67 10 7 23 10 Rh M GT 根据密度公式有 22 36 3 33 33 7 2 10 44 3 14 1 74 10 3 26 10 MM VR kg m 答案答案 3 26 103kg m3 点拨点拨 要计算月球的平均密度 首先应求出质量 M 飞行器绕月球做匀速圆周运动的向 心力是由月球对它的万有引力提供的 拓展拓展 继神秘的火星之后 土星也成了全世界关注的焦点 经过近 7 年 35 2 亿公里在太空中 风尘仆仆的穿行后 美航空航天局和欧航空航天局合作研究的 卡西尼 号土星探测器于 美国东部时间 2004 年 6 月 30 日 北京时间 7 月 1 日 抵达预定轨道 开始 拜访 土星 及其卫星家族 这是人类首次针对土星及其 31 颗已知卫星最详尽的探测 若 卡西尼 号 探测器进入绕土星飞行的轨道 在半径为R的土星上空离土星表面高的圆形轨道上绕土h 星飞行 环绕周飞行时间为 试计算土星的质量和平均密度 nt 解析解析 设 卡西尼 号的质量为m 土星的质量为M 卡西尼 号围绕土星的中心做匀 速圆周运动 其向心力由万有引力提供 5 2 2 2 T hRm hR Mm G 由题意 n t T 所以 2 322 4 Gt hRn M 又 3 3 4 RV 得 32 32 3 RGt hRn V M 答案答案 32 32 3 RGt hRn V M 三 万有引力定律及其应用三 万有引力定律及其应用 易错门诊易错门诊 例例 3 3 从地球上发射的两颗人造地球卫星 A 和 B 绕地球做匀速圆周运动的半径之比为 RA RB 4 1 求它们的线速度之比和运动周期之比 错解错解 卫星绕地球做匀速圆周运动所需向心力为 2 v Fmgm R 向 设 A B 两颗卫星的质量分别为 mA mB 则 2 A AA A v m gm R 1 2 B BB B v m gm R 2 由得 所以 1 2 2 2 AA BB vR vR 2 AA BB vR vR 又 所以 2 R T v 1 42 2 AAB BBA TRv TRv 错因错因 这里错在没有考虑重力加速度与高度有关 根据万有引力定律知道 2 A AA A M m m gG R 地 3 2 B BB B M m m gG R 地 4 由得 3 4 2 2 1 16 AB BA gR gR 所以 1 16 AB gg 可见 在 错解 中把 A B 两卫星的重力加速度gA gB当作相同的g来处理是不对的 正解正解 卫星绕地球做匀速圆周运动 万有引力提供向心力 根据牛顿第二定律有 A 2 2 AA A AA M mv FGm RR 地 A向 5 6 B 2 2 BB B BB M mv FGm RR 地 B向 6 得 5 6 2 2 AB BA vR vR 1 2 AB BA vR vR 根据 可知 2 A A A R T v 2 B B B R T v 2 4 8 1 1 1 ABA BAB TvR TvR 点悟点悟 我们在研究地球上的物体的运动时 地面附近物体的重力加速度近似看做是恒量 但研究天体运动时 应注意不能将其认为是常量 随高度变化 g 值是改变的 课堂自主训练课堂自主训练 1 1 如图 4 5 2 所示 在半径为R 20cm 质量为M 168kg 的均 匀铜球上 挖去一个球形空穴 空穴的半径为R 2 并且跟铜球 相切 在铜球外有一个质量为m lkg 可视为质点的小球 这个小 球位于连接铜球的中心跟空穴中心的直线上 并且在靠近空穴一 边 两个球心相距d 2m 试求它们之间的吸引力 解析解析 本题直接用万有引力的公式计算挖去球形空穴的铜球和 质量为m的小球的万有引力是不可能的 但可看成大小两个实心铜球与质量为m的小球的 万有引力之差 这样就可用等效的方法求出它们之间的吸引力 设被挖去的部分质量为 则 M 3 2 3 4 R M 3 3 4 RM 所以 8 M M 所以 2 8 11 2 2 2 2 2 R d d GMm R d mGM d GMm F 代入数据得 N1041 2 9 F 2 地球对地面上物体的引力和地球对月球的引力是一种性质的力 万有引力 地球表面物 体的重力加速度为 月球受到地球的吸引力产生的绕地球运动的向心加速度有 2 m s8 9 g 为多大 月球表面的物体受到月球的引力产生的加速度是多大 已知月球中心到地球中心 的距离为地球半径的 60 倍 地球的质量约为月球质量的 81 倍 月球的半径约为地球半径 的 0 27 倍 解析解析 根据万有引力定律 宇宙间任何两个物体间都存在万有引力 地球表面的物体受 到地球的引力产生的加速度为 g 设地球质量为M 月球的质量为 地球的半径为R 向 M 月球的半径为r 以地球表面的物体为研究对象 2 R GMm mg 4 5 2 7 加速度 2 2 m s8 9 R GM g 研究月球受到地球的引力产生的加速度 2 60 R GMM aM 向 向 2 22 m s0027 0 3600 60 R GM R GM a 设月球表面的物体受到月球的引力产生的加速度为 则 g 解得 2222 27 0 81 1 27 0 81 1 R GMm R MmG r mGM mg 向 2 m s63 1 8 9 6 1 g 答案答案 1 63 1 63m s2 3 3 天体中两颗恒星的质量相差不大 相距较近时 它们绕一 中心分别做匀速圆周运动 这叫做双星 已知双星的质量分 别为和 相距为 1 m 2 m r 它们分别绕连线上的一点做匀速圆 周运动 求它们的周期和线速度 解析解析 首先建立双星系统的运动模型如图 4 5 3 所示 由 转动的中心总在一直线上得到 两星的转动周期相同 角速 度一样 再根据向心力由它们之间的万有引力提供 结合规 律容易得到 设到O的距离为x 到O的距离为r x 则 1 m 2 mx T m r mm G 2 1 2 21 2 2 2 2 2 21 xr T m r mm G 联立二式解得 21 2 21 m x 2 mm r mmG r rT 因此速度分别为 2 21 21 mmr G m T x v 2 21 12 mmr G m T xr v 答案答案 12 2 r r G mm 1 12 G m r mm 课后创新演练课后创新演练 1 关于太阳系中行星运动的轨道 以下说法正确的是 BC A 所有行星绕太阳运动的轨道都是圆 B 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆 C 不同行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴是不同的 D 不同行星绕太阳运动的椭圆轨道是相同的 2 对于万有引力定律公式中的 r 下列说法正确的是 AC 2 Mm FG r A 对卫星而言 是指轨道半径 B 对地球表面的物体而言 是指物体距离地面的高度 C 对两个质量分布均匀的球体而言 是两球心之间的距离 4 5 3 8 D 对人造卫星而言 是指卫星到地球表面的高度 3 A B是两个环绕地球做圆周运动的人造卫星 若两个卫星的质量相等 环绕运动的半 径 则卫星A和B的 2 BA RR A 加速度大小之比是 4 1 B 周期之比是1 22 C 线速度大小之比是 1 2 D 向心力之比是 1 1 4 组成星球的物质是靠引力吸引在一起的 这样的星球有一个最大的自转速率 如果超 过了该速率 星球的万有引力将不足以维持其赤道附近的物体做圆周运动 由此能得到半 径为R 密度为 质量为M且均匀分布的星球的最小自转周期T 下列表达式中正确的 是 AD T 2 B T 2 GMR 3 GMR 3 3 C T T G G 3 5 南京市调研性测试 银河系的恒星中大约四分之一是双星 某双星由质量不等的星体 S1和S2构成 两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点O做匀速圆周运动 由天文观察测得其运动周期为T S1到O点的距离为r1 S1到S2间的距离为r 已知引力 常量为G 由此可求出S2的质量为 D A B 2 1 22 4 GT rrr 2 3 1 2 4 GT r C D 2 32 4 GT r 2 1 22 4 GT rr 6 航天技术的不断发展 为人类探索宇宙创造了条件 1998 年 1 月发射的 月球勘探者 号 空间探测器 运用最新科技手段对月球进行近距离勘探 在月球重力分布 磁场分布 及元素测定等方面取得最新成果 探测器在一些环形山中央发现了质量密集区 当飞越这 些重力异常区域时 AC A 探测器受到的月球对它的万有引力将变大 B 探测器运行的轨道半径将变大 C 探测器飞行的速率将变大 D 探测器飞行的速率将变小 7 神舟 五号载人飞船在绕地球飞行的第五圈进行变轨 由原来的椭圆轨道变为距地面 高度为h的圆形轨道 已知飞船的质量为m 地球半径为R 地面处的重力加速度为g 则 飞船在上述圆轨道上运行的动能 B K E A 等于B 小于 2 1 hRmg 2 1 hRmg C 大于 D 等于 2 1 hRmg mgh 2 1 8 在某个星球表面以初速度v竖直向上抛出一个物体 物体上升的最大高度为H 已知该 9 星球的直径为D 那么环绕这个星球做匀速圆周运动的最大速度是 H Dv 2 9 如图 4 5 4 所示 地球和某行星在同一轨道平面内同向绕太 阳做匀速圆周运动 地球的轨道半径为 R 运转周期为 T 地球和 太阳中心的连线与地球和行星的连线所夹的角叫地球对该行星的 观察视角 简称视角 已知该行星的最大视角为 当 行星处 于最大视角处时 是地球上的天文爱好者观察该行星的最佳时期 若某时刻该行星正处于最佳观察期 问该行星下一次处于最佳观 察期至少需经历多长时间 解析解析 由题意可得行星的轨道半径 r 为 sinrR 设行星绕太阳