高考数学复习点拨 判定充要条件的四法

判定充要条件的四法判定充要条件的四法 充要条件是数学中的一个重要概念 是正确进行逻辑理必不可少的基础知识 高考对充 要条件的考查主要以其他知识为载体进行两类问题的考查 一类是充要条件的判别 一类 是有关充要性命题的证明 尤以考查充要条件的判别为主 要正确判断 充分且不必要条件 必要且不充分条件 充要条件 非充分非不必要条件 应该明确 确定条件是什 么 结论是什么 尝试从条件推导结论 从结论推导条件 确定条件是结论的什么条 件 下面就介绍几种充要条件的判定方法 方法一 定义法方法一 定义法 能够保证一个事件一定发生的条件 叫做这个事件发生的充分条件 一个事件要发生 必须具备的条件叫做这个事件发生的必要条件 一个条件既能保证某个事件发生 同时又 是这个事件发生必须具备的条件 就叫做这个事件发生的充要条件 在实际应用中 体现充 要条件的文字还有 当且仅当 有且仅有 必需且只需 等语句 用逻辑符号表示为 1 若P Q 且QP 则P是Q的充分且不必要条件 Q是P的必要且不充分条件 2 若Q P 且PQ 则P是Q的必要且不充分条件 Q是P的充分且不必要条件 3 若P Q 且Q P 或 P Q 则P是Q的充要条件 此时Q也是P的充要条件 4 若PQ 且QP 则P是Q的非充分非不必要条件 例例 1 1 一元二次方程Ax2 2x 1 0 A 0 有一个正根和一个负根的充分不必要条件是 A A 0B A 0C A 1D A 1 解析 解析 如果一元二次方程Ax2 2x 1 0 A 0 有一个正根和一个负根 则两个根的积为 负数 即 0 所以A 0 由此可知 一元二次方程Ax2 2x 1 0 有一个正根和一个负 1 a 根 A 1 但 A 1 一元二次方程Ax2 2x 1 0 A 0 有一个正根和一个负根 故选C 二 命题法二 命题法 1 如果原命题成立 逆命题不成立 则原命题的条件是充分非必要的 2 如果原命题不成立 逆命题成立 则原命题的条件是必要非充分的 3 如果原命题和它的逆命题都成立 则原命题的条件充要的 4 如果原命题和它的逆命题都不成立 则原命题的条件是非充分非必要的 例例 2 2 若非空集合MN 则 A M或A N 是 A M N 的 A 充分非必要条件B 必要非充分条件 C 充要条件D 既非充分又非必要条件 解析 解析 因为命题 若A M或A N 则A M N 为假 它的逆命题 若A M N 则A M或A N 为真 故 A M或A N 是 A M N 的必要非充分条件 故选B 三 双箭头表示法三 双箭头表示法 由于逻辑联结符号 具有传递性 因此可根据几个条件的关系 经 过若干次的传递 判断所要判断的两个条件之间的依存关系 例例 3 3 已知P是R的充分不必要条件 S是R的必要条件 Q是S的必要条件 那么P 是Q成立的 A 充分非必要条件B 必要非充分条件 C 充要条件D 既非充分又非必要条件 解析 解析 画出用双箭头符号表示表示P Q R S的关系 P R S R Q S 即 P R S R Q S P R S Q 即P Q 又RP 则QP 故P是Q的充分非必要 条件 故选A 四 集合法四 集合法 1 若A B 就是x A则x B 则A是B的充分条件 B是A的必要条件 2 若AB 就是x A则x B 且A中至少有一个元素不在B中 则A是B的充分 非必要条件 B是A的必要非充分条件 3 若A B 就是A B且A B 则A是B的充分条件 同时A是B的必要条件 即A 是B的充要条件 4 若A B A B 则A是B的既不充分也不必要条件 例例 2 2 也可这样解 由于MN 所以M N N M N M 又由并集的定义知 A M或A N A M N A N A M N N A M 而MN 所以 A M或A N A M N 所以 A M或A N 是 A M N 的必要非充分条件 故选B 例例 3