高考数学二轮总复习专题训练二十二 三角函数、平面向量、立体几何、概率与统计型解答题 理

1 高考专题训练二十二高考专题训练二十二 三角函数 平面向量 立体几何 概率与统计型解答题三角函数 平面向量 立体几何 概率与统计型解答题 班级 姓名 时间 45 分钟 分值 50 分 总得分 1 12 分 2011 广东卷 已知函数f x 2sin x R 1 3x 6 1 求f的值 5 4 2 设 f f 3 2 求 cos 的值 0 2 3 2 10 13 6 5 分析 本题考查运用三角公式化简求值 1 f x 的解析式已给出 求f即可 5 4 2 先化简f f 3 2 再结合 求 cos 与 sin 3 2 10 13 6 5 0 2 代入即得 cos 的值 解 1 f x 2sin 1 3x 6 f 2sin 2sin 5 4 5 12 6 42 2 f f 3 2 0 2 3 2 10 13 6 5 2sin 2sin 即 sin cos 10 13 2 6 5 5 13 3 5 cos sin 12 13 4 5 cos cos cos sin sin 12 13 3 5 5 13 4 5 16 65 2 12 分 2011 重庆卷 如图 在四面体ABCD中 平面ABC 平面 ACD AB BC AD CD CAD 30 1 若AD 2 AB 2BC 求四面体ABCD的体积 2 若二面角C AB D为 60 求异面直线AD与 BC所成角的余弦值 分析 本小题主要考查面面垂直的性质 四面体的 体积计算公式 二面角的意义与异面直线所成的角的 意义及求法 在具体处理过程中 可围绕线面垂直的 2 性质定理去考虑 从而添加相关的辅助线 由此求得相关几何体的体积 在求异面直线所 成的角的过程中 注意根据异面直线所成角的意义 考虑平移其中一条或两条直线 从而 将问题转化为求两条相交直线的夹角问题 也可考虑通过建立坐标系的方式解决相关问 题 解 1 如图所示 设F为AC中点 连接FD 由于AD CD 所以DF AC 又由平面 ABC 平面ACD 知DF 平面ABC 即DF是四面体ABCD的面ABC上的高 且 DF ADsin30 1 AF ADcos30 3 在 Rt ABC中 因AC 2AF 2 AB 2BC 由勾股定理易知BC AB 3 2 15 5 4 15 5 故四面体ABCD的体积V S ABC DF 1 3 1 3 1 2 4 15 5 2 15 5 4 5 2 解法一 如图所示 设G H分别与边CD BD的中点 则FG AD GH BC 从而 FGH是异面直线AD与BC所成的角或其补角 设E为边AB的中点 则EF BC 由AB BC 知EF AB 又由 1 知DF 平面ABC 故 由三垂线定理知DE AB 所以 DEF为二面角C AB D的平面角 由题设知 DEF 60 设AD a 则DF AD sin CAD a 2 在 Rt DEF中 EF DF cot DEF a a 2 3 3 3 6 从而GH BC EF a 1 2 3 6 因 Rt ADE BDE 故BD AD a 从而 在 Rt BDF中 FH BD 1 2 a 2 又FG AD 从而在 FGH中 因FG FH 由余弦定理得 1 2 a 2 cos FGH FG2 GH2 FH2 2FG GH GH 2FG 3 6 因此 异面直线AD与BC所成角的余弦值为 3 6 解法二 如图所示 过F作FM AC 交AB 于M 已知AD CD 平面ABC 平面ACD 易知 FC FD FM两两垂直 以F为原点 射线 FM FC FD分别为x轴 y轴 z轴的正半轴 建立空间直角坐标系F xyz 不妨设AD 2 由CD AD CAD 30 3 易知点A C D的坐标分别为A 0 0 C 0 0 D 0 0 1 则 33 0 1 AD 3 显然向量k 0 0 1 是平面ABC的一个法向量 已知二面角C AB D为 60 故可取平面ABD的一个单位法向量n l m n 使 得 n k 60 从而n 1 2 由n 有m n 0 从而m AD 3 3 6 由l2 m2 n2 1 得l 6 3 设点B的坐标为B x y 0 由 n 取l 有Error 解之得 Error AB BC AB 6 3 或Error 舍去 易知l 与坐标系的建立方式不合 舍去 6 3 因此点B的坐标为 所以 4 6 9 7 3 9 0 CB 从而 cos 4 6 9 2 3 9 0 AD CB AD CB AD CB 3 2 3 9 3 1 4 6 9 2 2 3 9 2 3 6 故异面直线AD与BC所成的角的余弦值为 3 6 3 13 分 2011 浙江卷 如图 在三棱锥P ABC中 AB AC D为BC的中点 PO 平面ABC 垂足O落在线段AD上 已知BC 8 PO 4 AO 3 OD 2 1 证明 AP BC 4 2 在线段AP上是否存在点M 使得二面角A MC B为直二面角 若存在 求出AM 的长 若不存在 请说明理由 分析 此题主要考查了线线位置关系和二面角的求解 对 1 问线线垂直的证明易入手 利用线面垂直即可进行证明 对 2 问可采用空间直角坐标向量法进行处理 解题时对 2 问要注意恰当建立坐标系 恰当设参数 从而有效快速 求解 解 方法一 1 如图 以O为原点 以射线OP 为z轴的正半轴 建立空间直角坐标系O xyz 则O 0 0 0 A 0 3 0 B 4 2 0 C 4 2 0 P 0 0 4 0 3 4 8 0 0 由此可 AP BC 得 0 所以 即AP BC AP BC AP BC 2 设 1 则 PM PA 0 3 4 PM BM BP PM BP PA 4 2 4 0 3 4 4 2 3 4 4 4 5 0 8 0 0 AC BC 设平面BMC的法向量n1 x1 y1 z1 平面APC的法向量n2 x2 y2 z2 由Error 得Error 即Error 可取n1 0 1 2 3 4 4 由Error 即Error 得Error 可取n2 5 4 3 由n1 n2 0 得 4 3 0 2 3 4 4 解得 故AM 3 2 5 综上所述 存在点M符合题意 AM 3 方法二 1 由AB AC D是BC的中点 得AD BC 5 又PO 平面ABC 得PO BC 因为PO AD O 所以BC 平面PAD 故BC PA 2 如图 在平面PAB内作BM PA于M 连接 CM 由 1 中知PA BC 得AP 平面BMC 又AP 平面APC 所以平面BMC 平面APC 在 Rt ADB中 AB2 AD2 BD2 41 得AB 41 在 Rt POD中 PD2 PO2 OD2 在 Rt PDB中 PB2 PD2 BD2 所以PB2 PO2 OD2 DB2 36 得PB 6 在 Rt POA中 PA2 AO2 OP2 25 得PA 5 又 cos BPA PA2 PB2 AB2 2PA PB 1 3 从而PM PBcos BPA 2 所以AM PA PM 3 综上所述 存在点M符合题意 AM 3 4 13 分 2011 天津 学校游园活动有这样一个游戏项目 甲箱子里装有 3 个白球 2 个黑球 乙箱子里装有 1 个白球 2 个黑球 这些球除颜色外完全相同 每次游戏从这 两个箱子里各随机摸出 2 个球 若摸出的白球不少于 2 个 则获奖 每次游戏结束后将球 放回原箱 1 求在 1 次游戏中 摸出 3 个白球的概率 获奖的概率 2 求在 2 次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望E X 解 1 设 在 1 次游戏中摸出i个白球 为事件Ai i 0 1 2 3 则 P A3 C2 3 C2 5 C1 2 C2 3 1 5 设 在 1 次游戏中获奖 为事件B 则B A2 A3 又P A2 C2 3 C2 5 C2 2 C2 3 C1 3C1 2 C2 5 C1 2 C2 3 1 2 且A2 A3互斥 所以P B P A2 P A3 1 2 1 5 7