（广东专用）2013高考数学总复习 6-5 课时跟踪练习 文（含解析）

1 课时知能训练课时知能训练 一 选择题 1 已知数列 an 中 a1 1 n 2 时 an an 1 2n 1 依次计算a2 a3 a4后 猜 想an的表达式是 A 3n 1 B 4n 3 C n2 D 3n 1 2 我们知道 在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值a 类比上 3 2 述结论 在边长为a的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值 A a B a 6 3 6 4 C a D a 3 3 3 4 3 定义A B B C C D D B分别对应下列图形 图 6 5 1 那么下列图形中 图 6 5 2 可以表示A D A C的分别是 A 1 2 B 2 3 C 2 4 D 1 4 4 在 ABC中 若AB AC AC b AB a 则 ABC的外接圆半径r 将此 a2 b2 2 结论拓展到空间 可得出的正确结论是 在四面体S ABC中 若SA SB BC两两垂直 SA a SB b SC c 则四面体S ABC的外接球半径R A B a2 b2 c2 2 a2 b2 c2 3 C D 3 a3 b3 c3 2 3 a3 b3 c3 3 2 5 2012 南昌模拟 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数 比如 图 6 5 3 他们研究过图 1 中的 1 3 6 10 由于这些数能够表示成三角形 将其称为三角 形数 类似地 称图 2 中的 1 4 9 16 这样的数为正方形数 下列数中既是三角形数 又是正方形数的是 A 289 B 1 024 C 1 225 D 1 378 二 填空题 6 2012 肇庆模拟 观察下列各式 9 1 8 16 4 12 25 9 16 36 16 20 这些等式反映了自然数间的某种规律 设n表示自然数 用关于n的等式表示为 7 把正整数 1 2 3 4 5 6 按某种规律填入下表 261014 145891213 371115 按照这种规律连续填写 2 011 出现在第 行第 列 8 如果f x y f x f y 且f 1 1 则 f 2 f 1 f 4 f 3 f 2 010 f 2 009 f 2 012 f 2 011 三 解答题 9 通过观察下列等式 猜想出一个一般性结论 并证明结论的真假 sin230 sin290 sin2150 3 2 sin260 sin2120 sin2180 3 2 sin245 sin2105 sin2165 3 2 sin215 sin275 sin2135 3 2 10 定义 等和数列 在一个数列中 如果每一项与它的后一项的和都为同一常数 3 那么这个数列叫做等和数列 这个常数叫做该数列的公和 已知数列 an 是等和数列 且 a1 2 公和为 5 试求 1 a18的值 2 该数列的前n项和Sn 11 在 Rt ABC中 AB AC AD BC于D 求证 那么在四面体 1 AD2 1 AB2 1 AC2 ABCD中 类比上述结论 你能得到怎样的猜想 并说明理由 答案及解析 1 解析 a1 1 a2 4 a3 9 a4 16 猜想an n2 答案 C 2 解析 正四面体内任一点与四个面组成四个三棱锥 它们的体积之和为正四面 体的体积 设点到四个面的距离分别为h1 h2 h3 h4 每个面的面积为a2 正四面体 3 4 的体积为a3 2 12 则有 a2 h1 h2 h3 h4 a3 1 3 3 4 2 12 得h1 h2 h3 h4 a 6 3 答案 A 3 解析 由题意知 A是 B是大正方形 C是 D是小正方形 A D 为小正方形中有竖线 即为 2 A C为 即为 4 答案 C 4 解析 从结构形式上看 A D 都符合类比推理的要求 但题中要求的是正确结 论 所以还需要验证或证明 事实上 我们将四面体S ABC以SA SB SC为三边可以补 成一个长方体 四面体的外接球半径为长方体对角线长的一半 所以选 A 答案 A 5 解析 由图形的规律可知 第n个三角形数为 1 2 3 n 第 n n 1 2 n个正方形数为n2 其中 A B C 都是正方形数 分别令它们等于求n 知 1 n n 1 2 225 是三角形数 答案 C 6 解析 由所给等式可知 等式左边为 n 2 2 n2 等式右边是首项为 8 公差 为 4 的等差数列 故第n个等式的右边为 4 n 1 故这个等式为 n 2 2 n2 4 n 1 答案 n 2 2 n2 4 n 1 4 7 解析 依题意知 这些数所出现的位置是以 4 为周期重复性地连续填入相应的 位置 且从 1 开始的连续四个整数共填了 3 列 注意到 2 011 4 502 3 因此 2 011 所 填的位置与 3 所填的位置相对应 即应填在第三行 2 011 所填的位置应是第 502 3 2 1 508 列 即 2 011 出现在第 3 行第 1 508 列 答案 3 1508 8 解析 f x y f x f y f 1 1 f x 1 f x f 1 即 f 1 1 f x 1 f x 1 f 2 f 1 f 4 f 3 f 2 010 f 2 009 f 2 012 f 2 011 f 2 f 1 f 4 f 3 f 2 010 f 2 009 f 2 012 f 2 011 1 006 1 1 006 答案 1 006 9 解 猜想 sin2 sin2 sin2 3 3 3 2 证明 左 sin cos cos sin 2 sin2 3 3 sin cos cos sin 2 3 3 sin2 cos 2 右 3 2 3 2 待证式成立 10 解 1 由等和数列的定义 数列 an 是等和数列 且a1 2 公和为 5 易知 a2n 1 2 a2n 3 n 1 2 故a18 3 2 当n为偶数时 Sn a1 a2 an a1 a3 an 1 a2 a4 an 2 2 3 3 n 2 n 2个2 3 n 2个3 5 2 当n为奇数时 Sn Sn 1 an n 1 2 n 5 2 5 2 1 2 综上所述 Sn Error 5 11 证明 如图所示 由射影定理 AD2 BD DC AB2 BD BC AC2 BC DC 1 AD2 1 BD DC BC2 BD BC DC BC BC2 AB2 AC2 又BC2 AB2 AC2 1 AD2 AB2 AC2 AB2 AC2 1 AB2 1 AC2 所以 1 AD2 1 AB2 1 AC2 猜想 四面体ABCD中 AB AC AD两两垂直 AE 平面BCD 则 1 AE2 1 AB2 1 AC2 1 AD2 证明 如