高二数学下 11.1《直线方程》教案（2） 沪教版

用心 爱心 专心 1111 1 1 直线方程 直线方程 一 教学内容分析教学内容分析 本节的重点是直线的点法向式方程以及一般式方程的推导及应用 在上一堂课的基础上 通过向量垂直的充要条件 对应坐标的关系式 推导出直线的点法向式方程 引导同学发现 直线的点方向式方程 点法向式方程都可以整理成关于yx 的一次方程0 cbyax ba 不全为零 的形式 本节的难点是通过对直线与二元一次方程关系的分析 初步认识曲线与方程的关系并体 会解析几何的基本思想 从而培养学生用坐标法对平面直线 和以后的圆锥曲线 的研 究能力 二 教学目标设计二 教学目标设计 在理解直线方程的意义 掌握直线的点方向式方程的基础上 进一步探究点法向式方程以及 一般式方程 学会分类讨论 数形结合等数学思想 形成探究能力 三 教学重点及难点三 教学重点及难点 直线的点法向式方程以及一般式方程 四 教学流程设计四 教学流程设计 五 教学过程设计五 教学过程设计 一 复习上一堂课的教学内容一 复习上一堂课的教学内容 复习上节课内容 引导学生自主探究点法向式方程 一般式方程 运用与深化 例题解析 巩固练习 课堂小结并布置作业 用心 爱心 专心 二 讲授新课二 讲授新课 一 点法向式方程 一 点法向式方程 1 1 概念引入 概念引入 从上一堂课的教学中 我们知道 在平面上过一已知点P 且与某一方向平行的直线 l是惟一确定的 同样在平面上过一已知点P 且与某一方向垂直的直线l也是惟一确定的 2 概念形成 直线的点法向式方程直线的点法向式方程 在平面上过一已知点P 且与某一方向垂直的直线l是惟一确定的 建立直角坐标平面 设P的坐标是 00 xy 方向用非零向量 na b 表示 直线的点法向式方程的推导直线的点法向式方程的推导 设直线l上任意一点Q的坐标为 x y 由直线垂直于非零向量n 故PQn 根据 PQn 的充要条件知0 nPQ 即 00 0a xxb yy 反之 若 11 x y为方 程 的任意一解 即 1010 0a xxb yy 记 11 x y为坐标的点为 1 Q 可知 1 PQn 即 1 Q在直线l上 综上 根据直线方程的定义知 方程 是直线l的方程 直线 l是方程 的直线 我们把方程 00 0a xxb yy 叫做直线l的点法向式方程 非零向量n 叫做直线 l的法向量 3 3 概念深化 概念深化 从上面的推导看 法向量n是不唯一的 与直线垂直的非零向量都可以作为法向量 若直线的一个方向向量是 vu 则它的一个法向量是 uv 4 4 例题解析 例题解析 例例 1 1 已知点 4321 BA 求AB的垂直平分线l的点法向式方程 解 由中点公式 可以得到AB的中点坐标为 3 1 2 4 AB是直线l的法向量 所以 AB的垂直平分线l的点法向式方程 03214 yx 说明说明 关键在于找点和法向量 用心 爱心 专心 例例 2 2 已知点 2 1 6 1 BA和点 3 6 C是三角形的三个顶点 求 1 BC边所在直线方程 2 BC边上的高AD所在直线方程 解 1 因为BC边所在直线的一个方向向量BC 7 5 且该直线经过点 2 1 B 所 以BC边所在直线的点方向式方程为 5 2 7 1 yx 2 因为BC边上的高AD所在的直线的一个法向量为BC 7 5 且该直线经过 点 6 1 A 所以高AD所在直线的点法向式方程为 0 6 5 1 7 yx 巩固练习 巩固练习 练习 11 1 2 二 一般式方程 二 一般式方程 1 1 概念引入 概念引入 由直线的点方向式方程和点法向式方程 我们可以发现 平面直角坐标系中的每一条直 线都可以用一个关于yx 的二元一次方程表示 那么每一个关于yx 的二元一次方程 0 cbyax a b不同时为 0 是否都表示一条直线呢 2 2 概念形成 概念形成 直线的一般式方程的定义直线的一般式方程的定义 直线的点方向式方程和直线的点法向式方程经过整理 成为 x y的二元一次方程 0axbyc 反之 任意二元一次方程0axbyc 0 a b不全为都是直线方程么 回答是肯定的 首 先 当0b 时 方程可化为 0 c axb y b 根据直线点法向式方程可知 这是过 点 0 c b 以 a b为一个法向量的直线 当0b 时 方程为0axc 由于0a 方程化为 c x a 表示过点 0 c a 且垂直于x轴的直线 所以二元一次方程0axbyc 0 a b不全为是直线的方程 叫做直线的一般式方程 用心 爱心 专心 例题解析 例题解析 例例 1 1 ABC 中 已知 2 1 A 4 3 B 求AB边的中垂线的一般式方程 解 直线过AB中点 1 3 D 4 2 nAB 则其点法向式方程为4 1 2 3 0 xy 整理为一般式方程250 xy 说明说明 点法向式方程化为一般式方程 例例 2 2 1 求过点 2 5 A 且平行于直线 1 4 390lxy 的直线方程 2 求过点 3 4 B 且垂直于直线 2 3 760lxy 的直线方程 解 1 解一 4 3 3 4 nd 又直线过点 2 5 A 故直线的方程为 4 2 3 5 xy 化简得43230 xy 解二 4 3 n 又直线过点 2 5 A 故直线的点法向式方程为4 2 3 5 0 xy 化 简得43230 xy 解三 设与 1 4 390lxy 平行的直线方程为430 xyc 又直线过点 2 5 A 故 4 2 3 50c 23c 所以直线的方程是43230 xy 2 解一 1 l的法向量 1 3 7 n 为所求直线的方向向量 又直线过点 3 4 B 故直线的 方程为7 3 3 4 xy 化简得73330 xy 解二 设与 2 3 760lxy 垂直的直线方程为730 xyc 又直线过点 3 4 B 故 7 33 4 0c 33c 所以直线的方程是73330 xy 说明说明 一般地 与直线0axbyc 平行的直线可设为0 axbyccc 其中 而 与直线0axbyc 垂直的直线可设为0bxay c 例例 3 3 能否把直线方程0532 yx化为点方向式方程 点法向式方程 若能 它的点方向 式方程和点法向式纺方程是否唯一 并观察 x y 的系数与方向向量和法向量有什么联系 解 2 1 3 1 yx 2 1 3 1 yx 2 3 1 3 2 y x 4 1 6 4 yx 用心 爱心 专心 2 1 3 1 0 xy 4 x 4 6 y 1 0 能够化成点方向式的形式 并且有无数个 所有的方向向量之间存在 一个非零实数 使得 2 3 21 dd 易得点法向式方程也是不唯一的 并且有无数个 所有的法向量之间存在 一个非零实数 使得 3 2 21 nn 变式 直线0 cbyax的方向向量可以表示为 ab 直线0 cbyax的法向量可以表示为 ba 说明说明 注意直线的一般式方程和点方向式方程与点法向式方程的联系 三 巩固练习三 巩固练习 练习 11 1 3 补充练习补充练习 1 1 若直线过两点 0 0 A aBb 则 a b分别叫做该直线在 x y轴上的截距 当 0ab 时 求直线AB的方程 2 若过点 4 3 P 的直线l在两坐标轴上截距相等 求直线l的方程 2 已知直线l过点 2 3 P 且与 x y轴分别交于 A B两点 1 若P为AB中点 求直线l的方程 2 若P分AB 所成的比为2 求l的方程 3 已知直线l的方程为 2 1 2 430 axa yaaR 常数 1 求证 不论a取何值 直线l恒过定点 2 记 1 中的定点为P 若lOP O为原点 求实数a的值 4 A ABCD中 三个顶点坐标依次为 2 3 A 2 4 B 6 1 C 求 1 直线 AD与直线CD的方程 2 D点坐标 5 过点 4 5 P作一直线l 使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为 5 个单 位面积 求直线l的方程 6 已知两直线 11 10 a xb y和 22 10 a xb y都通过 2 3 P 求证 经过两点 111 Q a b 222 Q a b的直线方程是2310 xy 用心 爱心 专心 四 课堂小结四 课堂小结 直线的点法向式方程和一般方程的推导 直线的点方向式方程 点法向式方程和一般方程这三种形式方程之间的互相之间的 联系 确定直线方程的几个要素 五 课后作业五 课后作业 习题 11 1 A 组 5 6 7 B 组 3 4 习题 11 1 A 组 8 补充作业 1 直线320 xy 的单位法向量是 2 直线l的一般式方程为2370 xy 则其点方向式方程可以是 点法向 式方程可以是 3 过 4 3 P 且垂直y轴的直线方程是 4 若直线 2 30m xmy 的法向量恰为直线30 xmy 的方向向量 求实数 m的值 5 已知点 2 1 P 及直线 3250lxy 求 1 过点P且与l平行的直线方程 2 过点P且与l垂直的直线方程 6 正方形ABCD的顶点A的坐标为 4 0 它的中心M的坐标为 0 3 求正方形两条 对角线 AC BD所在的直线方程 7 已知 A B C的坐标分别为 1 3 0 0 bc 其中 b c均为正整数 问过这三点的直线 l是否存在 若