（新课程）2013高中数学 《2.5 向量的应用》活页规范训练 苏教版必修4

1 新课程 新课程 20132013 高中数学高中数学 2 5 2 5 向量的应用向量的应用 活页规范训练活页规范训练 双基达标 限时15分钟 1 在四边形ABCD中 0 且 则四边形ABCD是 AB BC AB DC 解析 由 0 又 AB綉DC AB BC AB BC AB DC 答案 矩形 2 作用于一个物体的两个力F F1 F F2的大小都是 10 F F1与F F2的夹角为 60 则F F1 F F2 的大小为 解析 F F1 F F2 2 10 10 3 23 答案 10 3 3 一纤夫用牵绳拉船沿直线方向前进 60 m 若牵绳与行进方向夹角为 人的拉力 6 为 50 N 则纤夫对船所做的功为 解析 功W 60 50 cos 30 1 500 J 3 答案 1 500 J 3 4 ABC中 3 4 5 则 AB AC BC AB AC 解析 由已知 ABC是直角三角形 A 90 0 AB AC AB AC 答案 0 5 如图 非零向量 a a b b且BC OA C为垂足 若 a a 则 OA OB OC 解析 a a b b a a a a b b 0 则 BC a a b b a a 2 答案 a a b b a a 2 6 求证 平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和 证明 2 如图所示 ABCD中 AB DC AD BC AC AB AD 2 2 AC AB AD 2 2 2 AB AD AB AD 而 DB AB AD 2 2 2 2 2 DB AB AD AB AD AB AD 2 2 2 2 2 2 AC BD AB AD 2 2 2 2 AB BC DC AD 即AC2 BD2 AB2 BC2 CD2 DA2 综合提高 限时30分钟 7 用两条成 120 角的等长的绳子悬挂一个物体 如图 已知物体的重力大小为 10 N 则每根绳子的拉力大小是 解析 因绳子等长 所以每根绳子上的拉力和合力所成的角都相等 且等于 60 故 每根绳子的拉力大小都是 10 N 答案 10 N 8 点O是三角形ABC所在平面内的一点 满足 则点O是 OA OB OB OC OC OA ABC的 解析 由 可得 0 0 即 OA OB OB OC OC OA OA OB OB OC OA OC OB 0 同理可证 所以O是 ABC的垂心 即三条高的交 CA OB CA OB OC AB OA BC 点 答案 垂心 9 一条河宽为 400 m 一船从A出发航行 垂直到达河正对岸的B处 船速为 20 3 km h 水速为 12 km h 则船到达B处所需时间为 min 解析 船和水流速度的合速度是船的实际航行速度 如图 v v1 20 km h v v2 12 km h 根据勾股定理 v v 16 km h m min 800 3 所需时间为 1 5 min 400 800 3 答案 1 5 10 已知直线l1 3x 4y 12 0 l2 7x y 28 0 则直线l1与l2的夹角是 解析 在直线l1上任取两点得向量v v1 4 3 l2上任取两点得向量v v2 1 7 则v v1与v v2的夹角为 则 cos v v1 v v2 v v1 v v2 25 5 5 2 2 2 两直线夹角为 45 答案 45 11 如图所示 在平行四边形ABCD中 BC 2BA ABC 60 作AE BD交BC于E 求 BE EC 解 法一 基向量法 设 a a b b a a 1 b b 2 BA BC a a b b a a b b cos 60 1 a a b b BD 设 b b 则 b b a a BE BC AE BE BA 由AE BD 得 0 即 b b a a a a b b 0 AE BD 解得 BE EC 2 3 2 5 2 5 3 5 法二 以B为坐标原点 直线BC为x轴建立平面直角坐标系 4 根据条件 设B 0 0 C 2 0 A D 1 2 3 2 5 2 3 2 又设E m 0 则 BD 5 2 3 2 AE m 1 2 3 2 由AE BD 得 0 AE BD 即 0 5 2 m 1 2 3 2 3 2 得m 所以BE EC 2 3 4 5 4 5 6 5 12 在 ABC中 A 4 1 B 7 5 C 4 7 求 A的角平分线的方程 解 3 4 8 6 A的角平分线的一个方向向量为 AB AC AB AB AC AC 3 5 4 5 4 5 3 5 1 5 7 5 A的角平分线过点A 所求直线方程为 x 4 y 1 0 7 5 1 5 整理得 7x y 29 0 13 创新拓展 两个人用同样的力量共提一个重力为G G的旅行包 两人所用力F F1 F F2 的夹角为 1 试讨论 的大小与 F F1 的关系 2 为何值时 F F1 最小 最小值是多少 3 F F1 能等于 G G 吗 为什么 解 如图所示 由平行四边形法则及直角三角形的知识得 F F1 G G 2cos 2 1 通过上面的式子 可以发现 当 由 0 到 180 逐渐变大时 由 0 到 90 逐 2 5 渐变大 cos的值由大逐渐变小 因此 F F1 由小逐渐变大 即F F1 F F2之间的夹角越大越 2 费力 2 要使 F F1 最小 则 cos最大 2 又 0 180 0