（新课程）高中数学《3.1.2 空间向量的数乘运算》评估训练 新人教A版选修2-1

3 1 23 1 2 空间向量的数乘运算空间向量的数乘运算 双基达标 限时 20 分钟 1 给出的下列几个命题 向量a a b b c c共面 则它们所在的直线共面 零向量的方向是任意的 若a ba b 则存在唯一的实数 使a a b b 其中真命题的个数为 A 0 B 1 C 2 D 3 解析 假命题 三个向量共面时 它们所在的直线或者在平面内或者与平面平行 真命题 这是关于零向量的方向的规定 假命题 当b b 0 则有无数多个 使之 成 立 答案 B 2 设空间四点O A B P满足 m n 其中m n 1 则 OP OA OB A 点P一定在直线AB上 B 点P一定不在直线AB上 C 点P可能在直线AB上 也可能不在直线AB上 D 与的方向一定相同 AB AP 解析 已知m n 1 则m 1 n 1 n n n n OP OA OB OA OA OB OP OA n n 因为 0 所以和共线 即点A P B共线 故选 A OB OA AP AB AB AP AB 答案 A 3 已知点M在平面ABC内 并且对空间任意一点O 有 x 则x的值为 OM OA 1 3OB 1 3OC A 1 B 0 C 3 D 1 3 解析 x 且M A B C四点共面 x 1 x 故 OM OA 1 3OB 1 3OC 1 3 1 3 1 3 选 D 答案 D 4 以下命题 两个共线向量是指在同一直线上的两个向量 共线的两个向量互相平行 共面的三个向量是指在同一平面内的三个向量 共面的三个向量是指平行于同一平 面的三个向量 其中正确命题的序号是 解析 根据共面与共线向量的定义判定 易知 正确 答案 5 设e e1 1 e e2 2是平面内不共线的向量 已知 2e e1 ke e2 e e1 1 3e3e2 2 2e2e1 1 e e2 2 若 AB CB CD A B D三点共线 则k 解析 e e1 1 4e4e2 2 2e e1 ke e2 BD CD CB AB 又A B D三点共线 由共线向量定理得 AB BD k 8 1 2 4 k 答案 8 6 如图所示 在空间四边形ABCD中 E F分别是AB CD的中 点 请判断向量与 是否共线 EF AD BC 解 取AC中点为G 连接EG FG GF 1 2AD EG 1 2BC 又 共面 GF EG EF EF EG GF 1 2AD 1 2BC 1 2 AD BC 与 共线 EF AD BC 综合提高 限时 25 分钟 7 对于空间任一点O和不共线的三点A B C 有 x y z 则x y z 1 是 OP OA OB OC P A B C四点共面的 A 必要不充分条件 B 充分不必要条件 C 充要条件 D 既不充分又不必要条件 解析 若x y z 1 则 1 y z y z 即 y z 由共面定 OP OA OB OC AP AB AC 理可知向量 共面 所以P A B C四点共面 反之 若P A B C四 AP AB AC 点共面 当O与四个点中的一个 比如A点 重合时 0 x可取任意值 不一定有x OA y z 1 故选 B 答案 B 8 已知O A B是平面上的三个点 直线AB上有一点C 满足 2 0 则等于 AC CB OC A 2 B 2 OA OB OA OB C D 2 3OA 1 3OB 1 3OA 2 3OB 解析 由已知得 2 0 OC OA OB OC 2 OC OA OB 答案 A 9 如图所示 在四面体O ABC中 a a b b c c D OA OB OC 为BC的中点 E为AD的中点 则 用a a b b c c表 OE 示 解析 a a OE OA AE 1 2AD a a 1 2 OD OA a a 1 2 1 2OD a a 1 2 1 2 1 2 OB OC a a b b c c 1 2 1 4 1 4 答案 a a b b c c 1 2 1 1 4 4 1 1 4 4 10 已知A B C三点共线 则对空间任一点O 存在三个不为 0 的实数 m n 使 m n 0 那么 m n的值为 OA OB OC 解析 A B C三点共线 存在唯一实数k使 k AB AC 即 k OB OA OC OA k 1 k 0 OA OB OC 又 m n 0 OA OB OC 令 k 1 m 1 n k 则 m n 0 答案 0 11 如图 正方体ABCD A1B1C1D1中 E F分别为BB1和A1D1 的中点 证明 向量 是共面向量 A1B B1C EF 证明 法一 EF EB BA1 A1F 1 2B1B A1B 1 2A1D1 1 2 B1B BC A1B 1 2B1C A1B 由向量共面的充要条件知 是共面向量 A1B B1C EF 法二 连结A1D BD 取A1D中点G 连结FG BG 则有FG綉DD1 BE綉DD1 1 2 1 2 FG綉BE 四边形BEFG为平行四边形 EF BG EF 平面A1BD 同理 B1C A1D B1C 平面A1BD 都与平面A1BD平行 A1B B1C EF 共面 A1B B1C EF 12 创新拓展 已知E F G H分别是空间四边形ABCD的边AB BC CD DA的中点 1 证明E F G H四点共面 2 证明BD 平面EFGH 证明 如图 连结EG BG 1 EG EB BG EB 1 2 BC BD EB BF EH EF EH 由向量共面的充要条件知 E F G H四点共面 2 法一 EH AH AE 1 2AD 1 2AB 1 2BD E