湖南省郴州市2016届高考数学一模试卷（理科）含答案解析

第 1 页（共 24 页） 2016 年湖南省郴州市高考数学一模试卷（理科） 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分 1已知 z 是纯虚数， 是实数，那么 z 等于（ ） A 2i B i C i D 2i 2已知命题 p， q，则 “ p 为假命题 ”是 “pq 是真命题 ”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是 ， 则正视图中的 x 的值是（ ） A B C 2 D 3 4执行如图所示的程序框图，输出的 S 的值为 30，则输入的 n 为（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 5已知函数 的图象经过点（ 0， 1），则该函数的一个单调递增区间为（ ） 第 2 页（共 24 页） A ， B ， C ， D ， 6一个三位自然数 的百位，十位，个位上的数字依次为 a， b， c，当且仅当 a b 且 c b 时称为 “凹数 ”若 a， b， c4， 5， 6， 7， 8，且 a， b， c 互不相同，任取一个三位数 ，则它为 “凹数 ”的概率是（ ） A B C D 7要得到函数 f （ x） =导函数 f（ x）的图象，只需将 f （ x）的图象（ ） A向左平移 个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的 2 倍（横坐标不变） B向左平移 个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的 倍（横坐标不变） C向左平移 个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的 倍（横坐标不变） D向左平移 个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的 2 倍（横坐标不变） 8对一批产品的长度（单位： 行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图根据标准，产品长度在区间 20， 25）上的为一等品，在区间 15， 20）和区间 25， 30）上的为二等品，在区间10， 15）和 30， 35）上的为三等品用频率估计概率，现从该批产品中随机 抽取一件，则其为二等品的概率为（ ） 若双曲线 =1 的焦距为 10，点 P（ 2， 1）在其渐近线上，则双曲线的方程为（ ） A =1 B =1 第 3 页（共 24 页） C =1 D =1 10已知 e 是自然对数的底数，函数 f（ x） =ex+x 2 的零点为 a，函数 g（ x） =x 2 的零点为 b，则下列不等式成立的是（ ） A f（ 1） f（ a） f（ b） B f（ a） f（ b） f（ 1） C f（ a） f（ 1） f（ b）D f（ b） f（ 1） f（ a） 11若（ 1+x） +（ 1+x） 2+（ 1+x） 5=a0+1 x） + 1 x） 2+1 x） 5，则 a1+a2+a3+a4+ ） A 5 B 62 C 57 D 56 12已知定义在 R 上的偶函数 f（ x）满足 f（ x+4） =f（ x） +f（ 2），且当 x0， 2时， y=f（ x）单调递减，给出以下四个命题： f（ 2） =0； y=f（ x）在 8， 10单调递增； x=4 为函数 y=f（ x）图象的一条对称轴； 若方程 f（ x） =m 在 6， 2上的两根为 x1+ 8 以上命题中不正确命题的序号为 （ ） A B C D 二、填空題：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分 . 13设 x， y 满足约束条件 ，则 z= 的最大值为 14如图，在边长为 e（ e 为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为 15已知 M： x2+4x 4y 1=0 及圆外一点 P（ 5， 5），过 P 点作 M 的切线 点分别为 A， B，则弦 长为 第 4 页（共 24 页） 16对于两个实数 a， b， a， b表示 a， b 中的较小数设 f （ x） =x， （ x 0），则不等式 f （ x） 解集是 三、解答题：本大题共 6小题，共 70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17在数列 ，前 n 项和为 （ ）求数列 通项公式； （ ）设 ，求数列 前项和 18已知 内角为 A、 B、 C，其对边分别为 a、 b、 c，已知 B 为锐角，向量，且 （ ）求角 B 的大小及当 时， 外接圆半径 R 的取值范围； （ ）如果 b=2，求 S 最大值 19若 f（ x） = a 0）的图象与直线 y=m（ m 0）相切，并且切点横坐标依次成公差为 的等差数列 （ 1）求 a 和 m 的值； （ 2） a、 b、 c 分别是 A、 B、 C 的对边若（ ， ）是函数 f（ x）图象的一个对称中心，且 a=4，求 长的取值范围 20如图，在 ，记 ， B= ， ，点 D 在 上，且 ， （ ）试用 表示 ； （ ）若以 B 点为坐标原点， 在的直线为 x 轴（正方向为向右）建立平面直角坐标系，使得点 A 落在 第一象限点 P（ x， y）在 边围成的区域（含边界）上，设 ，求 m n 的最大值 第 5 页（共 24 页） 21已知数列 ， ，且当 x= 时，函数 f（ x） = an 2 n ） x 取得极值 （ 1）若 n 1明数列 等差数列； （ 2）设数列 ， 前 n 项和为 不等式 n+4（ 1） m 的取值范围 22已知函数 （ ）若 x=3 是函数 f（ x）的极值点，求曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线方程； （ ）若函数 f（ x）在（ 0， +）上为单调增函数，求 a 的取值范围； （ ）设 m， n 为正实数，且 m n，求证： 第 6 页（共 24 页） 2016 年湖南省郴州市高 考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分 1已知 z 是纯虚数， 是实数，那么 z 等于（ ） A 2i B i C i D 2i 【考点】 复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算 【专题】 计算题 【分析】 设出复数 z，代入 ，它的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为 a+a， bR）的形式 【解答】 解：由题意得 z= aR 且 a0） = = ， 则 a+2=0， a= 2有 z= 2i， 故选 D 【点评】 本题考查复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算，考查计算能力，是基础题 2已知命题 p， q，则 “ p 为假命题 ”是 “pq 是真命题 ”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 复合命题的真假 【专题】 对 应思想；综合法；简易逻辑 【分析】 根据复合命题之间的关系结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论 【解答】 解：若 pq 是真命题，则 p， q 都是真命题，则 p 是假命题，即必要性成立， 若 p 是假命题，则 p 是真命题，此时 pq 是真命题，不一定成立，即充分性不成立， 故 “ p 为假命题 ”是 “pq 是真命题 ”的必要不充分条件， 故选： B 第 7 页（共 24 页） 【点评】 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据复合命题真假之间的关系是解决本题的关键 3某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是 ，则正视图中的 x 的值是（ ） A B C 2 D 3 【考点】 由三视图求面积、体积 【专题】 计算题；空间位置关系与距离 【分析】 三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，该几何体为四棱锥 【解答】 解：该几何体为四棱锥， 其底面为直角梯形，面积 S= （ 1+2） 2=3， 则该几何体的体积 V= 3x= ， 故 x= 故选 A 【点评】 三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，本题考查了学生的空间想象力，识图能力及计算能力 4执行如图所示的程序框图，输出的 S 的值为 30，则输入的 n 为（ ） 第 8 页（共 24 页） A 2 B 3 C 4 D 5 【考点】 程序框图 【专题】 计算题；图表型；试验法；算法和程序框图 【分析】 由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【解答】 解：模拟执行程序，可得 k=1， S=0， 满足条件 kn， S=2， k=2 满足条件 kn， S=6， k=3 满足条件 kn， S=14， k=4 满足条件 kn， S=30， k=5 由题意，此时应该不满足条件 5n，退出循环，输出 S 的值为 30， 则输入的 n 为 4 故选： C 【点评】 本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题 5已知函数 的图象经过点（ 0， 1），则该函数的一个单调递增区间为（ ） A ， B ， C ， D ， 第 9 页（共 24 页） 【考点】 正弦函数的图象 【专题】 转化思想；综合法；三角函数的图像与性质 【分析】 由条件求得 的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的单调性求得该函数的单调递增区间 【解答】 解： 函数 的图象经过点（ 0， 1）， 2 1， 求得 ，可得 = ， f（ x） =22x ）， 令 22x 2，求得 x， 故函数的增区间为 ， ， kZ 故选： A 【点评】 本题主要考查正弦函数的单调性，属于基础题 6一个三位自然数 的百位，十位，个位上的数字依次为 a， b， c，当且仅当 a b 且 c b 时称为 “凹数 ”若 a， b， c4， 5， 6， 7， 8，且 a， b， c 互不相同，任取一个三位数 ，则它为 “凹数 ”的概率是（ ） A B C D 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【专题】 计算题；整体思想；定义法；概率与统计 【分析】 根据题意，分析 “凹 数 ”的定义，根据十位数分类讨论即可求出凹数的个数，再利用古典概型概率计算公式即可得到所求概率 【解答】 解：根据题意，当且仅当 a b 且 c b 时称为 “凹数 ”， 在 4， 5， 6， 7， 8的 5 个整数中任取 3 个不同的数组成三位数，有 0 种取法， 在 4， 5， 6， 7， 8的 5 个整数中任取 3 个不同的数，将 4 放在十位上，再排 2 个数排在百、个位上，有 2 种情况， 将 5 放在十位上，再排 2 个数排在百、个位上，有 种情况， 将 6 放在十位上，再排 2 个数排在百、个位上，有 种情况， 根据分类计数原理可 得 12+6+2=20 种， 故它为 “凹数 ”的概率是 = 故选： C 第 10 页（共 24 页） 【点评】 本题考查组合数公式的运用，关键在于根据题干中所给的 “凹数 ”的定义，再利用古典概型概率计算公式即得答案 7要得到函数 f （ x） =导函数 f（ x）的图象，只需将 f （ x）的图象（ ） A向左平移 个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的 2 倍（横坐标不变） B向左平移 个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的 倍（横坐标不变） C向左平移 个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的 倍（横坐标不变） D向左平移 个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的 2 倍（横坐标不变） 【考点】 函数 y=x+）的图象变换；导数的运算 【专题】 计算题；数形结合；数形结合法；导数的概念及应用；三角函数的图像与性质 【分析】 求出导函数的解析式，由条件利用诱导公式，函数 y=x+）的图象变换规律，可得结论 【解答】 解： f （ x） =f（ x） =22x+ ） =2（ x+ ） ， 将 f （ x）的图象向左平移 个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的 2 倍（横坐标不变），即可得到导函数 f（ x）的图象 故选： D 【点评】 本题主要考查诱导公式的应用，函数 y=x+）的图象变换规律，属于基础题 8对一批产品的长度（单位： 行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图根据标准，产品长度在区间 20， 25）上的为一等品，在区间 15， 20）和区间 25， 30）上的为二等品，在区间10， 15）和 30， 35）上的为三等品用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为 （ ） 第 11 页（共 24 页） A 考点】 频率分布直方图 【分析】 在频率分布表中，由频率与频数的关系，计算可得各组的频率，根据频率的和等于 1 可求得二等品的概率 【解答】 解：由频率分布直方图知识可知：在区间 15， 20）和 25， 30）上的概率为 +1（ 5= 故选： D 【点评】 本小题主要考查样本的频率分布直方图的知识和分析问题以及解决问题的能力统计初步在近两年高考中每年都以小题的形式出现，基本上是 低起点题 9若双曲线 =1 的焦距为 10，点 P（ 2， 1）在其渐近线上，则双曲线的方程为（ ） A =1 B =1 C =1 D =1 【考点】 双曲线的简单性质 【专题】 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程 【分析】 利用双曲线 C： =1 的焦距为 10，点 P（ 2， 1）在其渐近线上，建立方程组，求出 a， b 的值，即可求得双曲线的方程 第 12 页（共 24 页） 【 解答】 解： 双曲线 C： =1 的焦距为 10，点 P（ 2， 1）在其渐近线上， a2+5， a=2b， b= ， a=2 双曲线的方程为 =1 故选： C 【点评】 本题考查 双曲线的标准方程，考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题 10已知 e 是自然对数的底数，函数 f（ x） =ex+x 2 的零点为 a，函数 g（ x） =x 2 的零点为 b，则下列不等式成立的是（ ） A f（ 1） f（ a） f（ b） B f（ a） f（ b） f（ 1） C f（ a） f（ 1） f（ b）D f（ b） f（ 1） f（ a） 【考点】 函数零点的判定定理 【专题】 计算题；函数的性质及应用 【分析】 首先判断两个函数的单调性，再由定义知 f（ a） =0， f（ 1） =e+1 2 0， g（ b） =0， g（ 1）=0+1 2 0，从而可判断 0 a 1 b；从而再利用单调性判断大小关系 【解答】 解：易知函数 f（ x） =ex+x 2 在 R 上是增函数， g（ x） =x 2 在（ 0， +）上也是增函数； 又 f（ a） =0， f（ 1） =e+1 2 0， g（ b） =0， g（ 1） =0+1 2 0， 0 a 1 b； 故 f（ a） f（ 1） f（ b）； 故选 C 【点评】 本题考查了函数的单调性的判断与应用及函数零点的判定定理的应用，属于基础题 11若（ 1+x） +（ 1+x） 2+（ 1+x） 5=a0+1 x） + 1 x） 2+1 x） 5，则 a1+a2+a3+a4+ ） A 5 B 62 C 57 D 56 【考点】 二项式定理的应用 【专题】 转化思想；综合法；二项式定理 第 13 页（共 24 页） 【分析】 在所给的等式中，分别令 x=1，可得 2；令 x=0，可得 a0+a1+a2+a3+a4+5，从而求得 a1+a2+a3+a4+值 【解答】 解： （ 1+x） +（ 1+x） 2+（ 1+x） 5=a0+1 x） + 1 x） 2+1 x） 5， 令 x=1，可得 +22+23+24+25=62， 再令 x=0，可得 a0+a1+a2+a3+a4+5， a1+a2+a3+a4+ 57， 故选： C 【点评】 本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式的系数和常用的方法是赋值法，属于基础题 12已知定义在 R 上的偶函数 f（ x）满足 f（ x+4） =f（ x） +f（ 2），且当 x0， 2时， y=f（ x）单调递减，给出以下四个命题： f（ 2） =0； y=f（ x）在 8， 10单调递增； x=4 为函数 y=f（ x）图象的一条对称轴； 若方程 f（ x） =m 在 6， 2上的两根为 x1+ 8 以上命题中不正确命题的序号为 （ ） A B C D 【考点】 奇偶性与单调性的综合 【专题】 函数思想；综合法；函数的性质及应用 【分析】 根据条件，令 x= 2 便可得到 f（ 2） =2f（ 2），从而得出 f（ 2） =0，从而得出 f（ x）是周期为 4 的周期函数，而 f（ x）在 0， 2上单调递减，从而得到 f（ x）在 8， 10上单调递减容易得到 x=4 和 x= 4 为 f（ x）的对称轴，从而便可以得到 ，即得到 x1+ 8，这样便可得出不正确命题的序号 【解答】 解： f（ x）为 R 上的偶函数，且 f（ x+4） =f（ x） +f（ 2），令 x= 2 得： f（ 2） =2f（ 2）； f（ 2） =0， 正确； f（ x+4） =f（ x）； f（ x）为周期为 4 的周期函数； f（ x）在 0， 2上单调递减， f（ x）在 0+42， 2+42=8， 10上单调递减， 错误； 第 14 页（共 24 页） f（ x）关于 y 轴对称，即 x=0 是 f（ x）的一条对称轴； x=4 为函数 f（ x）图象的一条对称轴， 正确； x= 4 为 f（ x）的一条对称轴， ； x1+ 8， 正确； 不正确的命题序号为 故选 B 【点评】 考查偶函数的定义，周期函数的定义，周期函数的单调性，本题中 f（ x）的对称轴为 x=4n，nZ，以及中点坐标公式 二、填空題：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分 . 13设 x， y 满足约束条件 ，则 z= 的最大值为 2 【考点 】 简单线性规划 【专题】 计算题；对应思想；数形结合法；不等式 【分析】 由约束条件作出可行域，利用 z= 的几何意义，即可行域内的动点与原点连线的斜率求得答案 【解答】 解：由约束条件 作出可行域如图， 联立 ，解得 A（ 1， 2）， ， z= 的最大值为 2 故答案为： 2 【点评】 本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题 第 15 页（共 24 页） 14如图，在边长为 e（ e 为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为 【考点】 几何概型 【专题】 综合题；概率与统计 【分析】 利用定积分计算阴影部分的面积，利用几何概型的概率公式求出概率 【解答】 解：由题意， y= y=y=x 对称， 阴影部分的面积为 2 （ e （ =2， 边长为 e（ e 为自然对数的底数）的正方形的面积为 落到阴影部分的概率为 故答案为： 【点评】 本题考查几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积的比值得到 15已知 M： x2+4x 4y 1=0 及圆外一点 P（ 5， 5），过 P 点作 M 的切线 点分别为 A， B，则弦 长为 3 【考点】 直线与圆的位置关系 【专题】 数形结合；数形结合法；直线与圆 【分析】 根据题意，画出图形，结合图形，利用半径 r，圆心 M 到点 P 的距离 及切线长组成直角三角形，即可求出弦长 【解答】 解：如图所示， 第 16 页（共 24 页） M： x2+4x 4y 1=0 可化为（ x 2） 2+（ y 2） 2=9， 圆心为 M（ 2， 2），半径为 r=3； 则圆心 M 到点 P 的距离为 d=3 ， 切线长 = =3， 弦 长为 2 =2 =3 故答案为： 3 【点评】 本题考查了直线与圆的应用问题，也考查了勾股定理的应用问题，是基础题目 16对于两个实数 a， b， a， b表示 a， b 中的较小数设 f （ x） =x， （ x 0），则不等式 f （ x） 解集是 ， 2 【考点】 其他不等式的解法 【专题】 计算题；数形结合；数形结合法；不等式的解法 及应用 【分析】 先根据， a， b表示 a， b 中的较小数求得函数 f（ x），再按分段函数的图象解得用满足 f（ x） 时 x 的集合 【解答】 解：根据， a， b表示 a， b 中的较小数， 得到函数 f（ x） =x， （ x 0）的图象，如图所示： 当 x= 或 2 时， y= ，由图象可知， f （ x） 解集是 ， 2， 故答案为： ， 2 第 17 页（共 24 页） 【点评】 本题考查了其他不等式的解法，是一道新定义题，首先要根据新定义求得函数图象，再应用函数图象解决相关问题，这类问题的解决，正确转化是关键 三、解答题：本大题共 6小题，共 70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17在数列 ，前 n 项和为 （ ）求数列 通项公式； （ ）设 ，求数列 前项和 【考点】 数列的求和；数列递推式 【专题】 综合题；方程思想；转化思想；等差数列与等比数列 【分析】 （ I）由 ，可得 n=1 时， 1=1； n2 时， n 1 （ = ，利用 “错位相减法 ”与等比数列的前 n 项和公式即可得出 【解答】 解：（ I） ， n=1 时， 1=1； n2 时， n 1= =n n=1 时也成立 an=n （ = ， 数列 前项和 + + ， = + + ， 第 18 页（共 24 页） = + = = ， 【点评】 本题考查了等比数列的通项公式及其前 n 项和公式、 “错位相减法 ”、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档 题 18已知 内角为 A、 B、 C，其对边分别为 a、 b、 c，已知 B 为锐角，向量，且 （ ）求角 B 的大小及当 时， 外接圆半径 R 的取值范围； （ ）如果 b=2，求 S 最大值 【考点】 余弦定理；平面向量共线（平行）的坐标表示 【专题】 计算题；转化思想；解三角 形；不等式的解法及应用；平面向量及应用 【分析】 （ ）由平面向量共线（平行）的坐标表示可得 2 2 1） + ，利用三角函数恒等变换的应用化简可得 22B+ ） =0，结合 B 为锐角可求 B，由正弦定理即可得解 （ ）由余弦定理可得 ac=a2+4，利用基本不等式可得 ，根据三角形面积公式即可求其最大值 【解答】 （本题满分为 12 分） 解：（ ） ， 2 2 1） + ， 22B+ ） =0（ B 为锐角） 2B= B= ， R= 1， 2 （ ）由 = ，可得： ac=a2+4， 第 19 页（共 24 页） a2+ ， S = ， 即 S 【点评】 本题主要考查了平面向量共线（平行）的坐标表示，三角函数恒等变换的应用，正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题 19若 f（ x） = a 0）的图象与直 线 y=m（ m 0）相切，并且切点横坐标依次成公差为 的等差数列 （ 1）求 a 和 m 的值； （ 2） a、 b、 c 分别是 A、 B、 C 的对边若（ ， ）是函数 f（ x）图象的一个对称中心，且 a=4，求 长的取值范围 【考点】 正弦定理；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦； y=x+）中参数的物理意义 【专题】 综合题；解三角形 【分析】 （ 1）由题意，函数 f（ x）的周期为 ，且最 大（或最小）值为 m，利用三角恒等变换可化简 f（ x），从而可求结果； （ 2）由（ ， ）是函数 f（ x）图象的一个对称中心可求 A，利用正弦定理可把周长化为三角函数，进而可求答案； 【解答】 解：（ 1） = ， 由题意，函数 f（ x）的周期为 ，且最大（或最小）值为 m，而 m 0， ， a=1， ； （ 2） （ 是函数 f（ x）图象的一个对称中心， ， 又 A 为 内角， ， ，则由正弦定理得： ， 第 20 页（共 24 页） ， ， b+c+a（ 8， 12 【点评】 该题考查正弦定理、两角和与差的正弦函数、倍角公式等知识，考查学生综合运用知识解决问题的能力 20如图，在 ，记 ， B= ， ，点 D 在 上，且 ， （ ）试用 表示 ； （ ）若以 B 点为坐标原点， 在的直线为 x 轴（正方向为向右）建立平面直角坐标系，使得点 A 落在第一象限点 P（ x， y）在 边围成的区域（含边界）上，设 ，求 m n 的最大值 【考点】 平面向量数量积的运算 【专题】 计算题；数形结合；向量法；平面向量及应用；不等式 【分析】 （ ）可设 （ 0 1），从而 ，这便可得到 ，而 ，根据条件即可得到 ，从而便可求出，这样便可解出 ，从而用 表示出向量 ； （ ）根据题意便可求出点 B， A， C 三点的坐标，从而求出向量 的坐标，这样根据便可求出 ，从而得到 ，这样即可求出 ，从而由线性规划的知识即可求出 m n 的最大值 第 21 页（共 24 页） 【解答】 解：（ ） 由题意不妨设 ，则 ； ； ； 又 ； ； = = ，； = ； 解得 ； ； （ ）由题意知 ； ； = ； 又 P（ x， y）， ； ； ； 点 P（ x， y）在 边围成的区域（含边界）上，由线性规划知识知，当点 P 处于点 A（ ）位置时 m n 最 大，且最大值为 1 【点评】 考查向量数乘的几何意义，向量数量积的运算及计算公式，向量长度的求法：，以及向量夹角的余弦公式，完全平方式的运用，能求平面直角坐标系下 第 22 页（共 24 页） 点的坐标，根据点的坐标可求向量的坐标，向量坐标的加法和数乘运算，以及线性规划的方法求变量的最值 21已知数列 ， ，且当 x= 时，函数 f（ x） = an 2 n ） x 取得极值 （ 1）若 n 1明数列 等差数列； （ 2）设数列 ， 前 n 项和为 不等式 n+4（ 1） m 的取值范围 【考点】 数列的求和；等差关系的确定 【专题】 等差数列与等比数列 【分析】 （ 1）通过对 f（ x） = an 2 n ） x 求导，利用 ，计算可知 =，进而可知数列 首项、公差均为 1 的等差数列； （ 2）通过（ 1）可知 bn=n，裂项可知 ，并项相加得 ，进而问题转化为求 f（ n）= 的最小值，进而计算可得结论 【解