高二数学 第一章 常用逻辑用语复习 理 人教实验B版选修2－1

1 高二数学高二数学 第一章第一章 常用逻辑用语复习常用逻辑用语复习 理理 人教实验人教实验 B B 版选修版选修 2 2 1 1 本讲教育信息本讲教育信息 一 教学内容 一 教学内容 选修 2 1 常用逻辑用语复习 二 教学目标 二 教学目标 1 了解命题的概念和命题的构成 理解逻辑联结词 或 且 非 的含义 理解四种 命题及其互相关系 了解反证法在证明过程中的应用 2 掌握充分必要条件的意义 能够判定给定的两个命题的充要关系 三 知识要点分析 三 知识要点分析 1 逻辑联结词 或 且 非 这些词叫做逻辑联结词 意义为 或 两个简单命题中至少有一个成立 且 两个简单命题都成立 非 对一个命题的否定 2 复合命题有三类 p 或 q p 且 q 非 p 3 真值表 p qp q 真假 真真真 假真假 p qp q 真假 真真假 假假假 p真假 p假真 4 互逆命题 互否命题 互为逆否命题的概念 1 如果第一个命题的条件 或题设 是第二个命题的结论 且第一个命题的结论是 第二个命题的条件 那么这两个命题叫做互逆命题 2 如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定 那么 2 这两个命题叫做互否命题 3 如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定 那么 这两个命题叫做互为逆否命题 换一种表述 1 交换原命题的条件和结论 所得的命题是逆命题 2 同时否定原命题的条件和结论 所得的命题是否命题 3 交换原命题的条件和结论 并且同时否定 所得的命题是逆否命题 5 四种命题之间的相互关系如下 互否 原命题 若 p 则 q 逆命题 若 q 则 p 否命题 若 p 则 q 逆否命题 若 q 则 p 互否 互逆 互逆 逆 逆 否 否 6 四种命题的真假有如下三种关系 1 原命题为真 它的逆命题不一定为真 2 原命题为真 它的否命题不一定为真 3 原命题为真 它的逆否命题一定为真 7 反证法的一般步骤 1 假设命题的结论不正确 即假设结论的反面成立 2 从这个假设出发 经过推理论证 得出矛盾 3 由矛盾判定假设不正确 从而肯定命题的结论正确 即 否定结论 推出矛盾 肯定结论 8 充要条件 1 qp 且 qp p 是q的充分不必要条件 2 p q且pq p 是q的必要不充分条件 3 qp 且pq p 是q的充要条件 4 p q且q p p 是q的既不充分也不必要条件 注 1 要理解 充分条件 必要条件 的概念 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头当 若 p 则 q 形式的命题为真时 就 记作 p q 称 p 是 q 的充分条件 同时称 q 是 p 的必要条件 因此判断充分条件或必要 条件就归结为判断命题的真假 2 从集合观点看 若 A B 则 A 是 B 的充分条件 B 是 A 的必要条件 若 A B 则 A B 互为充要条件 3 证明命题条件的充要性时 既要证明原命题成立 即条件的充分性 又要证明 它的逆命题成立 即条件的必要性 9 全称量词 任意 全部 所有 存在量词 存在一个 至少一个 典型例题典型例题 例 1 已知 21 xxp是方程065 2 xx的两根 5 21 xxq 则p是q的 3 A 充分但不必要条件B 必要但不充分条件 C 充要条件D 既不充分也不必要条件 分析 分析 利用韦达定理转换 解 解 21 x x是方程065 2 xx的两根 21 x x的值分别为6 1 561 21 xx 说明 说明 qp 但 qp 事实上只要取2 1 x 3 2 x作为反例即可说明这一 点 因此选 A 判断命题为假命题可以通过举反例 例 2 设命题甲为 50 x 命题乙为 32 x 那么甲是乙的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件 C 充要条件D 既不充分也不必要条件 分析 分析 先解不等式再判定 解 解 解不等式32 x 得51 x 5150 xx 但 51 x50 x 甲是乙的充分不必要条件 选 A 一般情况下 如果条件甲为Ax 条件乙为Bx 当且仅当BA 时 甲为乙的充分条件 当且仅当BA 时 甲为乙的必要条件 当 且仅当 A B 时 甲为乙的充要条件 例 3 把下列命题改写成 若 p 则 q 的形式 并写出它们的逆命题 否命题和逆否命题 并判断第 小题命题的真假 负数的平方是正数 正方形的四条边相等 全等三角形一定相似 对顶角相等 10 x时 2012 x 解 解 若一个数为负数 则它的平方为正数 逆命题 若一个数的平方为正数 则这个数为负数 否命题 若一个数不为负数 则它的平方不为正数 逆否命题 若一个数的平方不为正数 则这个数不为负数 若一个四边形为正方形 则它的四条边相等 逆命题 若一个四边形的四条边相等 则它为正方形 否命题 若一个四边形不为正方形 则它的四条边不相等 逆否命题 若一个四边形的四条边不相等 则它不为正方形 若两个三角形全等 则这两个三角形一定相似 逆命题 若两个三角形相似 则这两个三角形一定全等 否命题 若两个三角形不全等 则这两个三角形一定不相似 逆否命题 若两个三角形不相似 则这两个三角形一定不全等 若两个角为对顶角 则这两个角相等 逆命题 若两个角相等 则这两个角为对顶角 4 否命题 若两个角不为对顶角 则这两个角不相等 逆否命题 若两个角不相等 则这两个角不为对顶角 若10 x 则201x2 逆命题 若2012 x 则10 x 为假命题 否命题 若10 x 则2012 x 为假命题 逆否命题 若2012 x 则10 x 为真命题 例 4 写出下列命题的否定 1 所有自然数的平方是正数 2 任何实数 x 都是0125 x的根 3 对任意实数 x 存在实数 y 使0 yx 4 有些质数是奇数 5 23 0 xxNx 6 01 2 xxRx 解 解 1 存在自然数的平方是负数或 0 2 存在实数 x 它不是0125 x的根 3 存在实数 x 同时存在实数 y 使0 yx 4 任何质数都不是奇数 5 23 xxNx 6 01 2 0 xxRx 例 5 有 A B C 三个盒子 其中一个内放有一个苹果 在三个盒子上各有一张纸条 A 盒子上的纸条写的是 苹果在此盒内 B 盒子上的纸条写的是 苹果不在此盒内 C 盒子上的纸条写的是 苹果不在 A 盒内 如果三张纸条中只有一张写的是真的 请问苹果究竟在哪个盒子里 解 解 若苹果在 A 盒内 则 A B 两个盒子上的纸条写的为真 不合题意 若苹果在 B 盒内 则 A B 两个盒子上的纸条写的为假 C 盒子上的纸条写的为真 符合题意 即苹果在 B 盒内 同样 若苹果在 C 盒内 则 B C 两盒子上的纸条写的为真 不合题意 综上 苹果在 B 盒内 例 6 已知命题p 方程 2 10 xmx 有两个不相等的负实根 命题q 方程 2 44 2 10 xmx 无实根 若p或q为真 p且q为假 求实数m的取值范围 分析 分析 先分别求满足条件p和q的m的取值范围 再利用复合命题的真假进行转化与 讨论 解 解 由命题p可以得到 2 40 0 m m 2m 由命题q可以得到 2 4 2 160m 26m p或q为真 p且q为假 5 p q有且仅有一个为真 当p为真 q为假时 6m 6mor2m 2m 当p为假 q为真时 2 22 26 m m m 所以 m的取值范围为 6m m 或22 m 本讲涉及的数学思想 方法本讲涉及的数学思想 方法 1 处理充分 必要条件问题时 首先要分清条件与结论 然后再进行推理和判断 2 判断命题的充要关系有三种方法 定义法 等价法 利用集合的包含关系判断 3 否命题 与 命题的否定 是两个不同的概念 要注意区分 预习导学案预习导学案 曲线与方程 一 预习前知 1 曲线的方程与方程的曲线的定义应如何理解 2 求曲线的方程的方法 二 预习导学 探究反思 探究反思的任务 曲线的方程与方程的曲线 两曲线的交点 求曲线的方程 1 曲线的方程与方程的曲线 在直角坐标系中 如果某曲线 C 看作适合某种条件的点的集合或轨迹 上的点与一 个二元方程 f x y 0 的实数解建立了如下的关系 1 曲线上的点的坐标都是这个 纯粹性 2 以这个方程的解为坐标的点都是 完备性 那么 这个方程叫做曲线 的方程 这条曲线叫做方程的曲线 图形 2 平面解析几何研究的两个主要问题 1 根据已知条件 求出表示 2 通过曲线的方程研究 3 两曲线的交点 1 由曲线方程的定义可知 两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的 即两个曲线方程组成的方程组的实数解 反过来 方程组有 两条曲线就有几个交点 方程组 两条曲线就没有交点 2 两条曲线有交点的 是它们的方程所组成的方程组有实数解 可见 求曲 线的交点问题 就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题 模拟试题模拟试题 答题时间 90 分钟 一 选择题 1 对以下四个命题判断正确的是 1 原命题 若一个自然数的末位数字为零 则这个自然数能被 5 整除 6 2 逆命题 若一个自然数能被 5 整除 则这个自然数的末位数字为零 3 否命题 若一个自然数的末位数字不为零 则这个自然数不能被 5 整除 4 逆否命题 若一个自然数不能被 5 整除 则这个自然数的末位数字不为零 A 1 与 3 为真 2 与 4 为假 B 1 与 2 为真 3 与 4 为假 C 1 与 4 为真 2 与 3 为假 D 1 与 4 为假 2 与 3 为真 2 有下列四个命题 1 若 则 x y 互为相反数 的逆命题 2 若 则有实根 的逆否命题 3 全等三角形的面积相等 的逆命题 4 不等边三角形的三个内角相等 的逆否命题 其中真命题为 A 1 与 3 B 2 与 3 C 1 与 2 D 2 与 4 3 如果 A 是 B 的充分而不必要条件 那么 A 是 B 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 4 已知 其中为正实数 则同时成立是成立的 A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 既非充分也非必要条件 5 2 3 2cos 是 Zkk 12 5 的 A 充分条件 B 必要条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 6 若 A 是 B 成立的充分条件 D 是 C 成立的必要条件 C 是 B 成立的充要条件 则 D 是 A 成立的 A 充分条件 B 必要条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 二 填空题 7 命题 若且 则 的逆命题是 否命题是 逆否命题是 以上四个命题中 真命 题有 个 8 从 与 中选出适当的符号填空 U 为全集 A B 是 U 的子集 1 A B 2 9 对任意实数 不等式成立 则 的逆命题 否命题和逆否命题中 真命题共有 个 7 三 计算题 10 写出下列命题的逆命题 否命题 逆否命题 并判断它们的真假 1 若0 x 则0 2 x 2 若两个三角形全等 则两三角形的面积相等 3 等腰三角形两底角相等 4 若 22 yx 则yx 11 已知 a b c 是一组勾股数 即 求证 a b c 不可能都是奇数 12 已知关于 x 的方程 求使方程有两个正实数根的充要条件 试题答案试题答案 1 C 2 C 提示 1 3 先写出其逆命题和否命题 再判断 2 4 直接判断原命 题 3 B 提示 A 但 B A B 但 B 4 C 提示 22 PR cba cba 显然 从对称性不妨设 则0Q0R0P 故为充要条件 5 解 在这里 2 3 2cos 是条件 而 6 5 22 2 3 2cosZkk 12 5 Zkk 所以 2 3 2cos 12 5 Zkk 但 2 3 2cos Zkk 12 5 因此 2 3 2cos 是 Zkk 12 5 的必要条件 故选 B 6 解 A 是 B 成立的充分条件 BA D 是 C 成立的必要条件 DC C 是 B 成立的充要条件 BC 由 得CA 由 得DA D 是 A 成立的必要条件 选 B 7 若 则且 若或 则 若 则或 2 8 1 2 9 3 8 提示 逆 对任意实数 若 且 则不等式恒成立 否 对任意实数 若不等式不恒成立 则 逆否 对任意实数 若 则不等式 不恒成立 10 逆命题 1 若0 2 x则 0 x 假 2 若两三角形的面积相等 则两个三角形全等 假 3 若一个三角形两底角相等 则为等腰三角形 真 4 若yx 则 22 yx 真 否命题 1 若0 x 则0 2 x 假 2 若两个三角形不全等 则两三角形的面积不相等 假 3 若一个三角形两底角不相等 则不是等腰三