锐角三角函数教案

1 教学基本信息 课题锐角三角函数 学科数学学段初中年级初三 相关 领域 空间与图形 教材书名 北京课改实验教材 出版社 北京出版社 出版日期 2006 6 1 指导思想与理论依据 建构主义学习理论的核心是 以学生为中心 强调学生对知识的主动探索 主动发现和对所学知识 意义的主动建构 教师只对学生的意义建构起帮助和促进作用 并不要求教师直接向学生传授和灌输知 识 数学课程标准 提出 学生是数学学习的主人 教师是数学学习的组织者 引导者与合作者 有效的 数学学习活动不能单纯依赖模仿和记忆 动手实践 自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方法 因此 在本节课的每个教学活动中 教师努力做到 给予学生充分的独立思考 探究的时间 使学生面 对新问题 寻求新的解决办法 参与到学生活动中 适时进行点拨与指导 对学生在活动中的各种表现 都应该及时给予鼓励 使他们真正体验到自己的进步 感受到成功的喜悦 为学生提供协作 交流的机 会 使每个学生的个性得以张扬 自我表现意识和团队精神得以增强 2 教学背景分析 1 1 教材分析 教材分析 锐角三角函数 是北京版数学教材第 17 册第 21 章第一节的内容 数学课程标准 中 空间与图 形 领域 课标 对于这一节的内容要求是 通过实例认识锐角三家函数 知道 30 45 60 的三 角函数值 并有已知三角函数值求它的对应锐角 教材中本节内容共分 3 课时 锐角的正弦 余弦和正 切 从本节来看锐角的正弦是后面学习余弦和正切的基础 是学生对三角函数的初步认识 既是本节的重 点 又是后面继续学习的关键 从本章来看锐角三角函数的概念是以相似三角形的知识为基础 同时也 为本章中利用解直角三角形而解决实际应用问题奠定了知识基础 纵观中学数学 它的建立是对代数中 已初步涉及的函数概念的一次充实和进一步开阔视野 也将是高中阶段学习任意角的三角函数的基础 为初高中数学的衔接起到了承上启下的作用 2 2 学情分析 学情分析 有利因素 知识掌握上 九年级的学生已经学习了三角形 四边形 相似三角形和勾股定理的知识 为锐角三 角函数的学习提供的研究的方法 由于九年级学生理解能力 生理特征和思维特征 学生对知识充满渴 望 并且具备了一定的逻辑思维能力和推理能力 通过以前的合作学习 具备了一定的合作与交流能力 不利因素 进入新学年 我校初三年级学生从新整合 我所任教的初三 1 班 学生基础知识不牢 需要在教师 的引导下展开活动 3 教学目标 含重 难点 1 教学目标 知识与技能 知识与技能 1 能叙述锐角三角函数的概念 2 学会根据定义求锐角的正弦值 3 会利用锐角的正弦值解决简单的相关问题 2 过程与方法 过程与方法 经历锐角的正弦的探求过程 体会数形结合的思想 培养学生 观察分析 类比归纳的探究问题的能力 情感态度价值观 情感态度价值观 1 通过锐角的正弦概念的建立 使学生经历从特殊到一般的认识过程 2 让学生在探索 分析 论证 总结获取新知识过程中体验成功的喜悦 从解决实际问题中感悟数学的 实用性 从而培养学生学习数学的兴趣 2 教学重 难点 教学重点 教学重点 理解正弦的概念及应用 教学难点 教学难点 直角三角形中 锐角三角函数的灵活运用 教学流程示意教学流程示意 3 4 4 教学过程教学过程 教学环节教学环节教师活动教师活动学生活动学生活动设计意图设计意图 创创 设设 情情 境境 导导 入入 新新 课课 3 分钟 分钟 情景创设 现有一立交桥 桥面与地面 所成角度是 15 从上桥起 点到桥面最高点的距离是 20 米 现有一辆高 3 米的大货 车想要穿过桥洞 请问它能 够安全通过吗 请你建立模 型说明你的观点 要解决车能否顺利的通过桥 洞 教师根据学生所构建的 模型 把实际问题转化成数 学习题 就是在 Rt ABC 中 知道其中一个锐角 B 的度数 通过已知的直角三角形斜边 从而去求 B 所对直角边的问 题 这就是我们今天所讲的内容 阅读材料 构建模型 通过题目条件可以做出直角三角 形模型 使 B 15 AB 20 米 求 AC 的长 发现不能解决出现障碍 从实际问题的解决出 现障碍 激发学生的探 究愿望 从而引入本节 课的内容 深深 入入 探探 究究 学学 习习 新新 知知 15 分钟 分钟 探究活动 做一做 问题 1 在 30 角所在的直角三角 形中 30 角所对的直角边 和斜边又怎样的关系 根据学生回答给予鼓励性 评价 追问 在所有的 30 所在 的直角三角形中 30 角所 动手在本上画出图形 并完成问 题 1 当 A 30 时 A1 2 BC AB 的对边 斜边 学生总结语言 30 角所对的直 角边和斜边的比值是 1 2 小组讨论 并利用相似三角形的 知识解决问题 在通过引入问题给学生 设定的障碍后 带领学 生寻找方法解决障碍 由特殊角的直角三角形 入手 通过学生 画图 计算 相似类比得到特 殊角的正弦值 学生在 此过程中对本节课所学 习的正弦有了初步的感 性认识 应用相似的知识解决问 题 体现了数学知识的 15 C A B C B A 30 5 深深 入入 探探 究究 学学 习习 新新 知知 15 分钟 分钟 对的直角边和斜边的比值都 是 吗 为什么 强调相似 1 2 2 30 所在的直角三角形中 30 角所对的直角边和斜边 的比值都是定值 但是 45 角所在的直角三角形中 45 角所对的直角边和斜边 的比值是定值吗 3 那么 一般情况下 在 Rt ABC 中 当锐角 A 取其他 固定值时 A 的对边与邻边 的比值还会是一个固定值吗 几何画板演示 角度固定 变换边长时观察比值 总结 联系上面所学习的知识 从 几何画板操作中你能发现什 么规律呢 学生总结后及时鼓励 得出结论 写出定义 1 定义 在 ABC 中 C 90 我们把锐角 A 的对边与 斜边的比叫 2 当 A 45 时 A2 2 BC AB 的对边 斜边 比值为 2 2 用量角器在本上画出固定角度的 不同大小的直角三角形 然后求 出该角的对边与邻边的比值 发 现其比值固定不变 得出初步猜 想 观看教师利用几何画板的演示 思考其原理 利用相似的知识解决该问题 用自己的语言表述所发现的规律 在 Rt ABC 中 当 A 不变时 它所对的边 BC 与斜边 AB 的比值 不变 与 Rt ABC 的大小无关 学生试着说出定义 其他学生进 行补充 连续性 同时也揭示了 三角函数和相似的关系 让学生能够从图形出发 对正弦有了进一步的认 识 本环节考察了学生的动 手操作能力 和观察 计算能力 合作探究能 力 突出学生自主学习 让学生在探索 分析 论证 总结获取新知识 通过几何画板的演示 学生直观的观察 归纳 使学生对正弦的认识由 感性认识上升到理性认 识 培养学生的观察 归纳 的语言表达能力 BC AB 0 70 AB 6 81 厘 厘 BC 4 77 厘 厘 m BAC 44 40 B A C c b a C A B 6 做 A 的正弦 记作 sinA A sin BCa A ABc 的对边 斜边 2 写出 30 45 60 的 正弦值 并把它背下来 思考 问题 当 0 A 90 时 sinA 的值会在什么范围内 为什 么 sin30 1 2 sin45 2 2 sin60 2 3 学生思考 讨论 可利用几何画 板演示得到结论 1 当锐角 A 发生变化时 它 所对的边 BC 与斜边 AB 的比 值也发生变化 2 0 sinA 1 A 为锐角 通过拖动点 B 改变 A 的大小 从而观察 sinA 的变化 从而得到 结论 特殊锐角三角函数正弦 值的确定及记忆 对日 后的学习起到了铺垫的 作用 并且能够让学生 与之前所学习过的特殊 直角三角形的性质相联 系 体现了数学的连续 性以及知识的共性 几何画板动态的刻画了 锐角三角函数正弦值随 角度增大而增大的性质 让学生直观的能够得到 答案 从而降低学生的 理解确定 并能够深刻 的记忆知识 体现了多 媒体与教学整合运用 给学生 及课堂带来的 积极作用 巩巩 固固 新新 知知 解解 决决 问问 题题 例 1 如图 在 Rt ABC 中 C 90 AC 8 BC 6 求 SinA 和 SinB 的值 解题过程板书 例 2 已知 如图 在 Rt ABC 中 C 90 学生思考 通过所学习的知识解 决问题 SinA SinB 5 3 5 4 思考 讨论 利用特殊角的正弦 值来解决问题 例 1 的设计 为了巩固 正弦的概念 通过教师 的示范 是学生会求正 弦 经过强化 使全体 学生理解其内涵 从而 加深对本节课知识的理 解 例 2 的设计 通过 4 个 方面问题来加强本节课 所学习知识的运用 让 学生能够熟练的运用锐 角的正弦来解决问题 并能够通过公式变形 sin m BAC 0 72 m BAC 46 04 AB 4 12 厘 厘 BC 2 96 厘 厘 C A B c b a C A B 7 20 分钟 分钟 巩巩 固固 新新 知知 解解 决决 问问 题题 20 分钟 分钟 问题 1 若 SinB AB 2 3 求 AC 和 BC 的长 32 问题 2 若 B 60 AC 3 求 AB 和 BC 的长 问题 3 若 SinA 求 sinB 2 1 的值 问题 4 若 AC BC 3 3 求 A 的度数 解决问题 已知 Rt ABC 中 B 15 sin15 AB 20 米 6 2 4 求 AC 的长 问题 1 应用 SinB AB AC 则 AC SinB AB 问题 2 在问题 1 的基础之上学生 独立思考 应用 60 的正弦值 sinB sin60 AB AC 2 3 则 AB B AC sin 问题 3 利用设参的方法和方程思 想 用含参量表示 Rt ABC 的三 边关系 从而得到 sinB 的值 问题 4 根据问题 3 的方法 同样 利用设参的方法和方程思想解题 见比设 k 令 AC 3k BC k 从而得到3 AB 2k 再通过 sinA 的3 AB BC 特殊值 从而得到 A 的度数 根据本节课所学习的知识解决立 交桥问题 解决相关的直角三角形 的问题 对于较难的问 题多层渐进的分析 渗 透转化思想 提高学生 分析问题 解决问题的 能力 问题 3 和问题 4 的解决 考察了学生设参的方法 和方程思想的运用 锻 炼了学生利用数学方法 解题能力 同时 该题 目难度对于本节课而言 相对较难 初三的学生 在面对较难题目面前 爱思考 敢于挑战 学 生能够在解题后找到成 功的喜悦 激发学生对 数学的热爱 利用本节课所学习 的知识解决开课问题 达到首尾呼应的效果 同时体现了数学为生活 服务的事实 课课 堂堂 小小 结结 总总 引导学生分别从不同的角 度反思归纳这节课的收获 通过本节课的学习 你学会了哪些知识 通过本节课的学习 总结本节课学习的知识点以 及处理直角三角形的方法 以上几个环节环环相 扣 层层深入 并充分 体现教师与学生的交流 互动 在教师的整体调 控下 学生通过动脑思 考 层层递进 对知识 的理解逐步深入 为了 C B A 15 C A B 8 结结 收收 获获 2 分钟 分钟 你最大的体验是什么 通过本节课的学习 你掌握了哪些学习数学的 方法 使课堂效益达到最佳状 态 分分 层层 作作 业业 课课 后后 巩巩 固固 必做题 课本 92 页练习 1 2 3 选做题 课本 101 页 B 组 1 根据自己的能力以及本节课的 学习情况 完成作业 并尝试完 成思考题 在课下与同学交流 为了满足不同的学 生需要本节课后作业设 置了必做题和选做题 通过作业不仅巩固本节 课所学习内容 而且也 为下节课将要学习的余 弦做铺垫设下伏笔 进 一步体现 数学课程标 准 所要求的人人都能 获得必需的数学 不同 的人在数学上得到不同 的发展 5 学习效果评价设计 时间教师预测与评价评价内容评价目的 5 5 分钟分钟 学生小组互判 学生完成题目速度较快 但是 正确率在 80 有些基础薄弱 的学生对于公式变形 可能存 在问题 1 在 ABC 中 C 90 BC 15 AB 13 则 sinA 的值 等于多少 A B 13 12 5 13 C D 12 5 13 5 2 在 Rt ABC 中 C 90 如 果各变的长度都扩大到原来的 3 被 则锐角 B 的正弦值 A 扩大到原来的 3 倍 B 缩小到原来的 3 1 C 没有变化 D 不能确定 3 在 Rt ABC 中 C 90 sinA 则 sinB 5 4 A B 5 3 5 4 学生通过互评自评 可 以使学生全面了解自己 的学习过程 感受自己 的成长和进步 同时促 进学生对学习及时进行 反思 为教师全面了解 学生的学习状况 改进 教学 实施因材施教提 供重要依据 1 C D 25 9 25 16 4 在 Rt ABC 中 C 90 A B C 的对边分别为 a b c 则 sinA sinB 5 在 Rt ABC 中 C 90 请 写出仅由 a c sinA 组成的三 种不同形式的等式 并指出每个 等式的作用 例 sinA 作用 已知 c a a c 求出 A 的正弦值 1 a 作用 2 c 作用 6 本教学设计与以往或其他教学设计相比的特点 300 500 字数 1 尊重概念的本源 概念产生的基础 每一个概念的产生都有丰富的知识背景 是人们的生活 劳动 和学习必不