(详细解析)2000年上海高考数学(理)

1 2000 上海高考试卷上海高考试卷 理科数学理科数学 考生注意 本试卷共有 22 道试题 满分 150 分 一 填空题 本大题满分为一 填空题 本大题满分为 48 分 本大题共有分 本大题共有 12 题 只要求直接填写结果 每个空格填题 只要求直接填写结果 每个空格填 对得对得 4 分 否则一律得零分 分 否则一律得零分 1 已知向量 若 则 1 2 3 OAOBm OAAB m 答案 4 解析 4 2 ABm 42 2 0OAABOA ABm 4m 2 函数的定义域为 2 21 log 3 x y x 答案 3 2 1 解析 211 0 21 3 0 21 3 03 32 x xxxxx x 3 圆锥曲线的焦点坐标是 4sec1 3tan x y 答案 4 0 6 0 解析 参数方程化为普通方程 焦点为 即 22 1 1 169 xy 1 5 0 1 5 0 4 0 6 0 4 计算 lim 2 n x n n 答案 2 e 解析 2 22 22 12 lim lim lim 1 2 2 1 nn n xxx n e nn n 2 5 已知的反函数为 若的图象经过点 则bxf x 2 1 fx 1 yfx 2 5 Q b 答案 1 解析 若的图象经过点 则过点 将点的 1 yfx 2 5 Qbxf x 2 2 5 PP 坐标代入得 2 52b 1b 6 根据上海市人大十一届三次会议上的市政府工作报告 1999 年上海市完成 GDP GDP 是指国内生产总值 4035 亿元 2000 年上海市 GDP 预期增长 市委 市府提出本9 市常住人口每年的自然增长率将控制在 若 GDP 与人口均按这样的速度增长 0 08 则要使本市年人均 GDP 达到或超过 1999 年的 2 倍 至少需 年 按 1999 年本市常住人口总数约 1300 万 答案 9 解析 由题设条件可得 解得 4035 1 9 4035 2 1300 1 0 08 1300 n n lg2 8 9 lg1 081 n 9n 编者注 上海考生可以使用计算器 7 命题 A 底面为正三角形 且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥 命题 A 的等价命题 B 可以是 底面为正三角形 且 的三棱锥是正三棱锥 答案 侧棱相等 侧棱与底面所成角相等 解析 本小题考查正三棱锥的定义和性质 根据正三棱锥的定义和性质易知有多个等价命题 8 设函数是最小正周期为 2 的偶函数 它在区间上的图象为如图所示的线 xfy 0 1 段 则在区间上 AB 1 2 f x 答案 x 解析 由题设关于点对称 由周期性将向 1 1 B BB A 右平移两个单位得 所在的直线过原点 在区间 BA BA 上 1 2 f xx 9 在二项式的展开式中 系数最小的项的系数为 结果用数值表示 11 1 x 3 答案 462 解析 中间项有两项 一项系数为正最大 另一项为负最小为 5 11 462C 10 有红 黄 蓝三种颜色的旗帜各 3 面 在每种颜色的 3 面旗帜上分别标上号码 1 2 和 3 现任取出 3 面 它们的颜色与号码均不相同的概率是 答案 14 1 解析 本小题考查等可能事件的概率 3 9 3 2 11 14 P C 11 在极坐标系中 若过点且与极轴垂直的直线交曲线于两点 则 3 0 4cos A B AB 答案 32 解析 化为普通方程 和 将代入得 3x 22 2 4xy 3x 3y 2 3AB 12 在等差数列中 若 则有等式 n a 10 0a 121219nn aaaaaa 成立 类比上述性质 相应的 在等此数列中 若 则有等 19 nnN n b 9 1b 式 成立 答案 1 21 217 17 nn bbbbbbnnN 解析 本小题考查等差数列和等边数列的性质及其类比推理 根据等边数列的性质和类比有 9 1b 1 21 217 17 nn bbbbbbnnN 二 选择题 本大题满分二 选择题 本大题满分 16 分 本大题共有分 本大题共有 4 题 每题都给出代号为题 每题都给出代号为 A B C D 的四的四 个结论 其中有且只有一个结论是正确的 必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内 个结论 其中有且只有一个结论是正确的 必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内 选对得选对得 4 分 不选 选错或者选出的代号超过一个 不论是否都写在圆括号内 分 不选 选错或者选出的代号超过一个 不论是否都写在圆括号内 一律得零 一律得零 分 分 4 13 复数 是虚数单位 的三角形式是3 cossin 55 zi i A B 3 cos sin 55 i 3 cossin 55 i C D 44 3 cossin 55 i 66 3 cossin 55 i 答案 C 解析 44 3 cossin 3 cossin 5555 zii 14 设有不同的直线和不同的平面 给出下列三个命题 a b 若 则 若 则 ab ba aa 若 则 a a 其中正确的个数是 A 0 B 1 C 2 D 3 答案 A 解析 略 15 若集合 则是 2 3 1 x Sy yxRTy yxxR sT A B C D 有限集ST 答案 A 解析 所以 0 1Sy yTy y sTS 16 下列命题中正确的命题是 A 若点为角终边上一点 则 0 2 aaaP 2 5 sin 5 B 同时满足的角有且只有一个 13 sin cos 22 C 当时 的值恒正1a tan arcsin a D 三角方程的解集为tan 3 3 x Zkkxx 答案 D 解析 的正负不能确定 A 错误 B 中角无数个 C 中 当时 a 01a 5 的值恒正 由周期性知 tan arcsin atan 3tan 33 x xkkZ 三 解答题 本大题满分三 解答题 本大题满分 86 分 本大题共有分 本大题共有 6 题 解答下列各题必须写出必要的步骤 题 解答下列各题必须写出必要的步骤 17 本题满分 12 分 已知椭圆的焦点分别为和 长轴长为 6 设直交C 1 2 2 0 F 2 2 2 0 F2 xy 椭圆于两点 求线段的中点坐标 C A BAB 解 设椭圆的方程为 2 分 C 22 22 1 xy ab 由题意 于是 3 2 2ac 1b 椭圆的方程为 4 分 C 2 2 1 9 x y 由得 2 2 2 1 9 yx x y 2 1036270 xx 因为该二次方程的判别式 所以直线与椭圆有两个不同交点 8 分 0 设 则 1122 A x yB xy 12 18 5 xx 故线段的中点坐标为 12 分 AB 9 1 5 5 18 本题满分 12 分 如图所示四面体中 两两互相垂直 且 是ABCD AB BC BD2ABBC E 中点 异面直线与所成的角的大小为 求四ACADBE 10 10 arccos 面体的体积 ABCD 解 解法一解法一 如图建立空间直角坐标系 2 分 由题意 有 设点的坐标为 0 2 0 2 0 0 1 1 0 ACED 则 6 分 0 0 0 z z 1 1 0 0 2 BEADz 设与所构成的角为 BE AD 6 则 2 24cos2BE ADz 且与所成的角的大小为 ADBE 10 arccos 10 2 2 21 cos 410z 得 故的长度是 4 10 分 4z BD 又 1 6 ABCD VABBCBD 因此四面体的体积 12 分 ABCD 8 3 解法二解法二 过引的平行线 交与的延长线于 连接 ABECBFDF 是异面直线与所成的角 DAF BEAD 4 分 10 arccos 10 DAF 是的中点 是的中点 EACBCF 6 分 22 2AFBE 又分别是的射影 且 BF BA DF DABFBCBA 8 分 DFDA 三角形是等腰三角形 ADF20 cos 1 2 DAF AF AD 故 10 分 4 22 ABADBD 又 1 6 A BCD VABBCBD 因此四面体的体积是 12 分 ABCD 3 8 19 本题满分 14 分 本题共有 2 个小题 第 1 小题满分 6 分 第 2 小题满分 8 分 已知函数 2 2 1 xxa f xx x 1 当时 求函数的最小值 2 1 a xf 2 若对任意恒成立 试求实数的取值范围 1 0 xf x a 解 1 当时 1 2 a 1 2 2 f xx x 在区间上为增函数 3 分 xf 1 7 地区间上最小值为 6 分 xf 1 2 7 1 f 2 解法一解法一 在区间上 1 恒成立恒成立 8 分 2 2 0 xxa f x x 2 20 xxa 设 1 2 2 xaxxy 递增 1 1 2 22 axaxxy 当时 12 分 1 xay 3 min 于是当且仅当时 函数恒成立 min 30ya 0f x 故 14 分 3a 2 解法二解法二 2 1 a f xxx x 当时 函数的值恒为正 8 分 0 a xf 当时 函数递增 故当时 12 分 0a xf1x min 3f xa 于是当且仅当时 函数恒成立 min 30f xa 0f x 故 14 分 3a 20 本题满分 14 分 本题共有 2 个小题 第 1 小题满分 4 分 第 2 小题满分 10 分 根据指令 机器人在平面上能完成下列动作 先原地 r 0 180180 r 旋转角度 为正时 按逆时针方向旋转 为负时 按顺时针方向旋转 再朝 其面对的方向沿直线行走距离 r 1 现机器人在直角坐标系的坐标原点 且面对轴正方向 试给机器人下一个指令 x 使其移动到点 4 4 2 机器人在完成该指令后 发现在点处有一小球正 17 0 向坐标原点作匀速直线滚动 已知小球滚动的速度为机器人直线 行走速度的 2 倍 若忽略机器人原地旋转所需的时间 问机器人 最快可在何处截住小球 并给出机器人截住小球所需的指令 结 果精确到小数点后两位 解 1 得指令为 4 分 45 24 r 4 2 45 2 设机器人最快在点处截住小球 6 分 0 xP 8 则因为小球速度是机器人速度的 2 倍 所以在相同时间内有 8 分 22 17 2 4 04 xx 即 得或 0161123 2 xx 3 23 x7 x 要求机器人最快地去截住小球 即小球滚动距离最短 7 x 故机器人最快可在点处截住小球 10 分 0 7 P 所给的指令为 14 分 13 98 5 21 本题满分 16 分 本题共有 3 个小题 第 1 小题满分 4 分 第 2 小题满分 6 分 第 3 小题满分 6 分 在平面上有一点列 对每个自然数 点xOy 111222 nnn P a bP a bP a b n 位于函数的图象上 且点 点与点构成 n P2000 010 10 x a ya n P 0 n 1 0 n 一个以为顶点的等腰三角形 n P 1 求点的纵坐标的表达式 n P n b 2 若对每个自然数 以为边长能构成一个三角形 求取值范围 n 12 nnn b bb a 3 设 若取 2 中确定的范围内的最小整数 求数列 1 2 nn Bbbb nN a 的最大项的项数 n B 解 1 由题意 4 分 2 1 nan 2 1 10 2000 n n a b 2 函数递减 2000 010 10 x a ya 对每个自然数 有 则以为边长能构成一个三角形的n 12nnn bbb 21 nnn bbb 充要条件是 21nnn bbb 即 7 分 2 10 1010 aa 解得或 5 15 a 5 5 1 a 10 分 5 51 10a 9 3 12 分 5 51 10a 1 2 7 7 2000 10 n n ab 数列是一个递减的正数数列 对每个自然数 n b 1 2 nnn BbBn 于是当时 当时 1 n b 1 nn BB1 n b 1nn BB 因此 数列的最大项的项数满足不等式且 n Bn1 n b 1 1 n b 由 得 1 2 7 2000 1 10 n n b 20 8n 16 分 20n 22 本小题满分 18 分 本题共有 3 个小题 第 1 小题满分 5 分 第 2 小题满分 5 分 第 3 小题满分 8 分 已知复数 和 其中均为实数 0 1 0 zmi m zxyi wxy i x y x y 为虚数单位 且对于任意复数 有 iz 0 2 wzz wz 1 试求的值 并分别写出和用表示的关系式 m x y x y 2 将作为点的坐标 作为点的坐标 上述关系可以看作是坐标 x yP x y Q 平面上点的一个变换 它将平面上的点变到这一平面上的点 PQ 当点在直线上移动时 试求点经该变换后得到的点的轨迹方程 P1 xyPQ 3 是否存在这样的直线 它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上 若 存在 试求出所有这些直线 若不存在 则说明理由 解 1 由题设 00 2wzzzzz 0 2z 于是由 且 得 3 分 2 14m 0m 3m 因此由 iyxyxyixiiyx 3 3 31 得关系式 5 分 3 3 xxy yxy 2 设点在直线上 则其经变换后的点满足 yxP1 xy yxQ 7 分 13 3 31 1 xx yxx 10 消去 得 x232 32 xy 故点的轨迹方程为 10 分 Q232 32 xy 3 假设存在这样的直线 平行坐标轴的直线显然不满足条件 所求直线可设为 12 分 0 kbkxy 解法一解法一 该直线上的任一点 其经变换后得到的点仍在该 yxP 3 3 yxyxQ 直线上 即 byxkyx 3 3bxkyk 3 13 当时 方程组无解