（江苏专用）2013年高考数学二轮复习 （数学思想方法部分）专题1 分类讨论思想学案

1 专题专题 1 1 分类讨论思想分类讨论思想 分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异 分各种不同的情况予以分析解决 分类讨论思想覆盖 面广 利于考查学生的逻辑思维能力 同时方式多样 具有较高的逻辑性及很强的综合性 应用分类讨 论思想 应注重理解和掌握分类的原则 方法与技巧 做到 确定对象的全体 明确分类的标准 分层 别类不重复 不遗漏的分析讨论 在高考中必定考查分类讨论 特别是这几年的压轴题 预测在 2013 的高考题中 1 继续与函数综合考查 2 结合函数与方程思想以及等价转化思想考查学生分析问题 解决问题的能力 1 已知集合A x x2 3x 2 0 B x x2 ax a 1 0 C x x2 mx 2 0 且 A B A A C C 则a的值为 m的取值范围为 解析 A 1 2 B x x 1 x 1 a 0 由A B A可得a 1 1 或a 1 2 a 2 或 3 由A C C 可知C 1 或 2 或 1 2 或 m 3 或 2 m 2 22 答案 2 或 3 3 2 2 22 2 函数y ax a 0 且a 1 在 1 2 上的最大值比最小值大 则a的值是 a 2 解析 当a 1 时 y ax在 1 2 上递增 故a2 a 得a a 2 3 2 当 0 a0 时 需x b恒为非负数 2 即a 0 b 0 当a0 且b 0 答案 a 0 且b 0 4 过点P 2 3 且在坐标轴上的截距相等的直线方程是 解析 当直线过原点时方程为 3x 2y 0 当直线不过原点时 设方程为 1 代入P的坐标可 x a y a 得a 5 答案 3x 2y 0 或x y 5 0 5 已知平面单位向量a a b b c c夹角两两相等 则 a a b b c c 解析 由题意知夹角为或 0 2 3 当夹角为时 a a b b c c a a b b c c 0 2 3 当夹角为 0 时 a a b b c c 3 a a 3 答案 0 或 3 典例1 解关于x的不等式ax2 a 1 x 1 0 解 1 当a 0 时 原不等式化为 x 11 2 当a 0 时 原不等式化为a x 1 0 x 1 a 若a0 x 1 a 0 1 不等式解为x1 1 a 1 a 1 a 若a 0 则原不等式化为 x 1 1 时 1 不等式解为 x 1 1 a 1 a 当a 1 时 1 不等式解为x 1 a 当 0 a1 不等式解为 1 x 1 a 1 a 综上所述 得原不等式的解集为 3 当a1 当 0 a1 时 解集为Error Error 本题是一个含参数a的不等式的求解问题 但不一定是二次不等式 故首先对二次项系数a分类 1 a 0 2 a 0 对于 1 不等式易解 对于 2 又需再次分类 a 0 或a0 时 Error Error 即x 2a 当a 0 时 Error Error 即x a 综上所述 a 0 时 f x 2a2的解集为 x x 2a a 0 时 f x 2a2的解集为 x x a 典例2 已知函数f x x2 g x x 1 1 若 x R R 使f x b g x 求实数b的取值范围 2 设F x f x mg x 1 m m2 且 F x 在 0 1 上单调递增 求实数m的取值范围 4 解 1 由 x R R f x bg x 得 x R R x2 bx b0 解得b4 2 由题设得F x x2 mx 1 m2 对称轴方程为x m2 4 5m2 4 m 2 1 m2 由于 F x 在 0 1 上单调递增 则有 当 0 即 m 时 有 25 5 25 5 Error Error 解得 m 0 25 5 当 0 即m时 25 5 25 5 设方程F x 0 的根为x1 x2 x1 则 有 25 5 m 2 5 5 Error Error 解得m 2 若m 即 有x1 0 x2 0 25 5 m 2 5 5 Error Error 解得 1 m0 时 设h x f x x 1 1 求h x 的最大值F a 的解析式 解 1 当a 1 时f x 3x2 3 令f x 0 得x 1 或x 1 当x 1 1 时f x 0 f x 在 1 1 上单调递减 在 1 1 上单调递增 f x 的极小值为f 1 2 2 因为在区间 1 2 上函数f x 的图象恒在函数g x 的图象的上方 所以x3 3ax ln x在 1 2 上恒成立 即 3a0 ln x 0 所以m x 0 所以m x 在 1 2 上单调递增 所以m x min m 1 1 所以 3a 1 即a0 时f x 3x2 3a 3 x x aa 当 1 即a 1 时h x f x f x f x 在 0 1 上单调递增 此时F a f 1 a 3a 1 当 0 1 即 0 a0 即 0 af 1 1 3a 即 a0 n 1 2 3 1 求q的取值范围 2 设bn an 2 an 1 bn 的前n项和为Tn 试比较Sn与Tn的大小 3 2 解 1 因为 an 是等比数列 Sn 0 可得 6 a1 S1 0 q 0 当q 1 时 Sn na1 0 当q 1 时 Sn 0 即 0 n 1 2 3 a1 1 qn 1 q 1 qn 1 q 则有Error Error 或Error Error 由 得q 1 由 得 1 q0 且 1 q0 q2 3 2q 1 q 1 2 则当 1 q2 时 Tn Sn 0 即Tn Sn 1 2 当 q 2 且q 0 时 Tn Sn 0 即Tn4 得点P在圆x2 y2 4 外 由几何性质分析知过点P且与圆相切的直线有两条 设 直线斜率为k 则切线方程为y 4 k x 2 由圆心到切线的距离为 2 解得k 由此可知斜率不存 3 4 在时也满足题意 解得切线方程为 3x 4y 10 0 或x 2 答案 3x 4y 10 0 或x 2 2 ABC中 已知 sin A cos B 则 cos C 1 2 5 13 解析 0 cos B 且B为 ABC的一个内角 5 13 2 2 45 B180 这与三角形的内角和为 180 相矛盾 1 2 可见A 150 cos C cos A B cos A B cos A cos B sin A sin B 3 2 5 13 1 2 12 13 12 53 26 答案 12 53 26 3 若函数f x a 1 x3 ax2 x 在其定义域内有极值点 则a的取值范围为 1 3 1 2 1 4 1 5 解析 由题意得f x a 1 x2 ax 0 有解 1 4 当a 1 0 时 满足 当a 1 0 时 只需 a2 a 1 0 答案 1 5 2 1 5 2 4 2011 江苏高考 已知实数a 0 函数f x Error Error 若f 1 a f 1 a 则a的值为 解析 首先讨论 1 a 1 a与 1 的关系 当a1 1 a0 时 1 a1 所以f 1 a 2 1 a a 2 a f 1 a 1 a 2a 3a 1 因为f 1 a f 1 a 所以 2 a 3a 1 即a 舍去 3 2 综上满足条件的a 3 4 答案 3 4 5 已知函数f x sin x cos x sin x cos x 则f x 的值域是 1 2 1 2 解析 f x sin x cos x sin x cos x Error Error 1 2 1 2 即等于 sin x cos x min 故f x 的值域为 1 2 2 答案 1 2 2 6 在约束条件Error Error 下 当 3 s 5 时 z 3x 2y的最大值的变化范围是 解析 由Error Error Error Error 即交点为 4 s 2s 4 A 2 0 B 4 s 2s 4 C 0 s C 0 4 1 当 3 s 4 时可行域是四边形OABC 此时 7 z 8 2 当 4 s 5 时可行域是 OAC 此时 zmax 8 答案 7 8 7 若A x x2 p 2 x 1 0 x R R 且A R R 则实数p的取值范围是 解析 若A 即 p 2 2 4 0 即 4 p 0 时 A R R 若A 则Error Error p 0 时 A R R 可见当 4 p 0 或p 0 时 都有A R R 答案 4 8 若圆柱的侧面展开图是边长为 4 和 2 的矩形 则圆柱的体积是 解析 若长为 4 的边作为圆柱底面圆周的展开图 则V柱 2 2 若长为 2 的边作为圆柱 2 8 9 底面圆周的展开图 则V柱 2 4 1 4 答案 或 8 4 9 已知圆锥的母线为l 轴截面顶角为 则过此圆锥的顶点的截面面积的最大值为 解析 当 90 时 最大截面就是轴截面 其面积为l2sin 1 2 当 90 时 最大截面是两母线夹角为 90 的截面 其面积为l2 1 2 可见 最大截面积为l2或l2sin 1 2 1 2 答案 l2或l2sin 1 2 1 2 10 设n Z Z 当n 时 S n 1 n 2 n 100 的最小值 解析 若n2 500 答案 50 或 51 2 500 11 设函数f x x2 x a 1 x R R 1 判断函数f x 的奇偶性 2 求函数f x 的最小值 解 1 当a 0 时 函数f x x 2 x 1 f x 此时f x 为偶函数 当a 0 时 f a a2 1 f a a2 2 a 1 f a f a f a f a 此时函数f x 既不是奇函数 也不是偶函数 2 当x a时 函数f x x2 x a 1 2 a x 1 2 3 4 若a 则函数f x 在 a 上单调递减 1 2 从而函数f x 在 a 上的最小值为f a a2 1 若a 则函数f x 在 a 上的最小值为 1 2 f a 且f f a 1 2 3 4 1 2 10 当x a时 函数f x x2 x a 1 2 a x 1 2 3 4 若a 则函数f x 在 a 上的最小值为f a 且f f a 1 2 1 2 3 4 1 2 若a 则函数f x 在 a 单调递增 1 2 从而函数f x 在 a 上的最小值为f a a2 1 综上 当a 时 函数f x 的最小值为 a 1 2 3 4 当 a 时 函数f x 的最小值是a2 1 1 2 1 2 当a 时 函数f x 的最小值是a 1 2 3 4 12 已知函数f x ax2 2x 1 0 x 4 1 a 0 时 求f x 的解集 1 2 2 求f x 的最大值 解 1 a1 可令Error Error 解得x1 2 4 2a 2a 又令Error Error 解得x2 2 4 6a 2a 由图可知f x 的解集为 1 2 0 2 4 2a 2a 2 4 6a 2a 4 2 a 0 时 f x ax2 2x 1 记g x ax2 2x 1 0 x 4 g x 图象对称轴x 0 时 如果 0 4 即a 时 1 a 1 4 f x max max f 0 f 1 a f 4 11 max 1 1 a 1 16a 7 a 即 4 时 1 4 7 16 16 7 1 a f x max max 1 1 a 1 7 16a max 1 a 1 7 16a 由于 7 16a 16a 8 0 1 a 1 1 a f x max 1 1 a