（江苏专用）2013高考数学总复习 （基础达标演练+综合创新备选）第六篇 数列、推理与证明《第36讲　合情推理与演绎推理》理（含解析） 苏教版

1 20132013 高考总复习江苏专用 理科 第六篇高考总复习江苏专用 理科 第六篇 数列 推理与证明数列 推理与证明 第第 3636 讲讲 合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理 基础达标演练 基础达标演练 综合创新备选 综合创新备选 含解析 含解析 A 级 基础达标演练 时间 45 分钟 满分 80 分 一 填空题 每小题 5 分 共 35 分 1 2011 济宁模拟 观察下列各式 9 1 8 16 4 12 25 9 16 36 16 20 这些等式反映了自然数间的某种规律 设n表示自然数 用关于n的等式表示为 解析 9 1 1 2 2 12 4 1 1 16 4 2 2 2 22 4 2 1 25 9 3 2 2 32 4 4 1 36 16 4 2 2 42 4 5 1 一般地 有 n 2 2 n2 4 n 1 n N N 答案 n 2 2 n2 4 n 1 n N N 2 已知数列 an 满足an log n 1 n 2 n N N 定义使a1 a2 a3 ak为整数的数 k k N N 叫做幸运数 则k 1 2 011 内所有的幸运数的和为 解析 a1 a2 a3 ak log2 k 2 为整 lg 3 lg 2 lg 4 lg 3 lg 5 lg 4 lg k 2 lg k 1 lg k 2 lg 2 数 所以k 2t 2 t N N 又k 1 2 011 所以k 2 22 23 210 和为 2 210 1 2 046 答案 2 046 3 观察 x2 2x x4 4x3 cos x sin x 由归纳推理可得 若定义在 R R 上 的函数f x 满足f x f x 记g x 为f x 的导函数 则g x 解析 由所给函数及其导数知 偶函数的导函数为奇函数 因此当f x 是偶函数时 其导 函数应为奇函数 故g x g x 答案 g x 4 2011 南京模拟 在共有 2 013 项的等差数列 an 中 有等式 a1 a3 a2 013 a2 a4 a2 012 a1 007成立 类比上述性质 在共有 2 011 项的等比数列 bn 中 相应的有等式 成立 解析 将等式中加 减换成乘除可得 b1 006 b1 b3 b5 b2 011 b2 b4 b6 b2 010 故填 b1 006 b1 b3 b5 b2 011 b2 b4 b6 b2 010 2 答案 b1 006 b1 b3 b5 b2 011 b2 b4 b6 b2 010 5 若等差数列 an 的首项为a1 公差为d 前n项的和为Sn 则数列为等差数列 且 Sn n 通项为 a1 n 1 类似地 若各项均为正数的等比数列 bn 的首项为b1 公比为 Sn n d 2 q 前n项的积为Tn 则数列 为等比数列 通项为 n Tn 解析 由等差数列与等比数列的运算类比 可得 b1 n 1 n Tnq 答案 b1 n 1 n Tnq 6 在平面上 若两个正三角形的边长比为 1 2 则它们的面积比为 1 4 类似地 在空 间中 若两个正四面体的棱长比为 1 2 则它们的体积比为 解析 两个正三角形是相似的三角形 它们的面积之比是相似比的平方 同理 两个 正四面体是两个相似几何体 体积之比为相似比的立方 所以它们的体积比为 1 8 答案 1 8 7 我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量 在平面直线坐标系中 利用求 动点轨迹方程的方法 可以求出过点A 3 4 且法向量为n n 1 2 的直线 点法式 方程为 1 x 3 2 y 4 0 化简得x 2y 11 0 类比以上方法 在空间直角 坐标系中 经过点A 1 2 3 且法向量为n n 1 2 1 的平面 点法式 方程为 请写出化简后的结果 解析 类比可得 1 x 1 2 y 2 z 3 0 即x 2y z 2 0 答案 x 2y z 2 0 二 解答题 每小题 15 分 共 45 分 8 已知函数f x log2 x 2 a b c是两两不相等的正数 且a b c成等比数列 试判断f a f c 与 2f b 的大小关系 并证明你的结论 解 f a f c 2f b 证明如下 因为a b c是不相等的正数 所以a c 2 ac 因为b2 ac 所以ac 2 a c b2 4b 即ac 2 a c 4 b2 4b 4 从而 a 2 c 2 b 2 2 因为f x log2x是增函数 所以 log2 a 2 c 2 log2 b 2 2 即 log2 a 2 log2 c 2 2log2 b 2 故f a f c 2f b 3 9 平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质 例如在三角形中 1 三角形 两边之和大于第三边 2 三角形的面积S 底 高 3 三角形的中位线平行于第三边 1 2 且等于第三边的 1 2 请类比上述性质 写出空间中四面体的相关结论 解 由三角形的性质 可类比得空间四面体的相关性质为 1 四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积 2 四面体的体积V 底面积 高 1 3 3 四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的 1 4 10 如图所示 D E F分别是BC CA AB上的点 BFD A 且DE BA 求证 ED AF 要求注明每一步推理的大前提 小前提和结论 并最终把推理过程用简略的形式表 示出来 证明 1 同位角相等 两条直线平行 大前提 BFD与 A是同位角 且 BFD A 小前提 所以DF EA 结论 2 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 大前提 DE FA且DF EA 小前提 所以四边形AFDE为平行四边形 结论 3 平行四边形的对边相等 大前提 ED和AF为平行四边形的对边 小前提 所以ED AF 结论 上面的证明可简略地写成 Error 四边形AFDE是平行四边形 ED AF B 级 综合创新备选 时间 30 分钟 满分 60 分 一 填空题 每小题 5 分 共 30 分 1 2011 南通调研 已知 5 5 数字方阵 4 中 aij Error a11 a12 a13 a14 a15 a21 a22 a23 a24 a25 a31 a32 a33 a34 a35 a41 a42 a43 a44 a45 a51 a52 a53 a54 a55 则 3j i4 5 j 2 a 4 i 2 a 解析 3j i4 a32 a33 a34 a35 a24 a34 a44 1 1 1 1 1 1 1 5 j 2 a 4 i 2 a 1 答案 1 2 2011 南京外国语调研 将正奇数排列如图形式 其中第 i 行第 j 个数表示 aij i N N j N N 例如a32 9 若aij 2 009 则i j 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 解析 根据正奇数排列的正三角图表知 2 009 是第 1 005 个奇数 应排在i行 其中 i N N 则 1 2 3 i 1 1 005 且 i i 1 2 1 2 3 i 1 005 i i 1 2 验证i 45 时 式成立 所以i 45 第 45 行第 1 个奇数是 2 44 452 1 1 981 而 1 981 2 j 1 2 009 j 15 所以 2 009 在第 45 行第 15 个数 则i j 60 答案 60 3 2011 苏北调研 如图是一个数表 第一行依次写着从小到大的正整数 然后把每行相 邻的两个数的和写在这两个数的下方 得到下一行 数表从上到下与从左到右均为无限项 则这个数表中的第 13 行 第 10 个数为 1 2 3 4 5 6 7 3 5 7 9 11 13 8 12 16 20 24 解析 观察数表可知 每行数分别构成公差为 20 21 22 23 的等差数列 所以第 13 行的 公差为 212 又每行第一个数分别为 5 1 3 2 1 20 8 22 2 2 20 23 3 22 48 24 4 23 256 25 5 24 故第 13 行 第一个数为 212 12 211 7 212 第 10 个数为 7 212 9 212 16 212 216 答案 216 或 65 536 4 已知m 0 不等式x 2 x 3 x 4 可推广为x n 1 则m的值 1 x 4 x2 27 x3 m xn 为 解析 x x 易得其展开后各项之积为定值 1 所以可 4 x2 x 2 x 2 4 x2 27 x3 x 3 x 3 x 3 27 x3 猜想出x 也满足各项乘积为定值 1 于是m nn m xn x n x n x n m xn 答案 nn 5 2010 福建 观察下列等式 cos 2 2cos2 1 cos 4 8cos4 8cos2 1 cos 6 32cos6 48cos4 18cos2 1 cos 8 128cos8 256cos6 160cos4 32cos2 1 cos 10 mcos10 1 280cos8 1 120cos6 ncos4 pcos2 1 可以推测m n p 解析 m 29 512 p 5 10 50 又m 1 280 1 120 n p 1 1 n 400 答案 962 6 2011 苏锡常镇扬五市调研 已知结论 在三边长都相等的 ABC中 若D是BC的 中点 点G是 ABC外接圆的圆心 则 2 若把该结论推广到空间 则有结论 在 AG GD 六条棱长都相等的四面体ABCD中 若点M是 BCD的三边中线交点 O为四面体ABCD外接 球的球心 则 AO OM 解析 如图 设四面体ABCD的棱长为a 则由M是 BCD的重心 得BM 3 3 a AM a 设OA R 则OB R OM a R 于是由R2 2 2 解得R 6 3 6 3 3 3 a 6 3 a R 6 a 所以 3 6 4 AO OM 6 4 a 6 3 a 6 4 a 答案 3 二 解答题 每小题 15 分 共 30 分 7 定义 等和数列 在一个数列中 如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数 那 么这个数列叫做等和数列 这个常数叫做该数列的公和 已知数列 an 是等和数列 且 a1 2 公和为 5 1 求a18的值 2 求该数列的前n项和Sn 解 1 由等和数列的定义 数列 an 是等和数列 且a1 2 公和为 5 易知 a2n 1 2 a2n 3 n 1 2 故a18 3 2 当n为偶数时 Sn a1 a2 an a1 a3 an 1 a2 a4 an 2 2 3 3 n 当n为奇数时 2 n 2个2 3 n 2个3 5 2 Sn Sn 1 an n 1 2 n 5 2 5 2 1 2 综上所述 Sn Error 8 某少数民族的刺绣有着悠久的历史 如图 1 2 3 4 为她们刺绣最简单的四个 图案 这些图案都是由小正方形构成 小正方形数越多刺绣越漂亮 现按同样的规律刺绣 小正方形的摆放规律相同 设第n个图形包含f n 个小正方形 1 求出f 5 的值 2 利用合情推理的 归纳推理思想 归纳出f n 1 与f n 之间的关系式 并根据你得 到的关系式求出f n 的表达式 3 求 的值 1 f 1 1 f 2 1 1 f 3 1 1 f n 1 解 1 f 5 41 2 因为f 2 f 1 4 4 1 f 3 f 2 8 4 2 f 4 f 3 12 4 3 f 5 f 4 16 4 4 7 由上式规律 所以得出f n 1 f n 4