（江苏专用）2013年高考数学总复习 第八章第5课时 椭圆课时闯关（含解析）

1 江苏专用 江苏专用 20132013 年高考数学总复习年高考数学总复习 第八章第第八章第 5 5 课时课时 椭圆椭圆 课时闯关 含解析 课时闯关 含解析 A 级 双基巩固 一 填空题 1 已知 ABC的顶点B C在椭圆 y2 1 上 顶点A是椭圆的一个焦点 且椭圆的 x2 3 另外一个焦点在BC边上 则 ABC的周长是 解析 由椭圆第一定义得 ABC的周长是 4a 4 3 答案 4 3 2 若椭圆 2kx2 ky2 1 的一个焦点坐标是 0 4 则k的值为 解析 a2 b2 则c2 又c 4 所以k 1 k 1 2k 1 2k 1 32 答案 1 32 3 m n 0 是 方程mx2 ny2 1 表示焦点在y轴上的椭圆 的 条件 解析 把椭圆方程化成 1 若m n 0 则 0 所以椭圆的焦点在y轴 x2 1 m y2 1 n 1 n 1 m 上 反之 若椭圆的焦点在y轴上 则 0 即有m n 0 故为充要条件 1 n 1 m 答案 充要 4 中心在原点 准线方程为x 4 离心率为 的椭圆方程为 1 2 解析 e x 4 c a 1 2 a2 c a 2 c 1 方程为 1 x2 4 y2 3 答案 1 x2 4 y2 3 5 2010 高考广东卷改编 若一个椭圆长轴的长度 短轴的长度和焦距成等差数列 则该椭圆的离心率是 解析 由题意有 2a 2c 2 2b 即a c 2b 又c2 a2 b2 消去b整理得 5c2 3a2 2ac 即 5e2 2e 3 0 e 或e 1 舍去 3 5 答案 3 5 6 设椭圆 1 m 1 上一点P到其左焦点的距离为 3 到右焦点的距离为 x2 m2 y2 m2 1 1 则P到右准线的距离为 解析 m2 m2 1 m2 a2 m2 1 b2 c2 1 又 3 1 2a a 2 dp l右 2 1 e a c 答案 2 7 动圆C和定圆C1 x2 y 4 2 64 内切而和定圆C2 x2 y 4 2 4 外切则动圆 圆心的轨迹方程为 2 解析 如图 该动圆圆心为C x y 半径为r 由已知得 CC1 8 r CC2 2 r 得 CC1 CC2 10 点C的轨迹是以C1 C2为焦点的椭圆 其中 2a 10 2c 8 a 5 c 4 b 3 动圆圆心的轨迹方程为 1 x2 9 y2 25 答案 1 x2 9 y2 25 8 如图所示 椭圆中心为O F是焦点 A为顶点 准线l交OA延长线于B P Q在 椭圆上 且PD l于D QF OA于F 则椭圆离心率为 上述离心率正确的个数是 PF PD QF BF AO BO AF BA FO AO 解析 观察图形知 F为左焦点 则l必为左准线 由椭圆的第二定义知 e 又QF BF PF PD Q到l的距离d BF 而 e e QF BF AO BO a a2 c c a e e AF BA c a FO AO c a 故以上五个比值均可以作为椭圆的离心率 答案 5 二 解答题 9 如图 椭圆E 1 a b 0 的左 右焦点分别为F1 F2 点A 4 m 在椭 x2 a2 y2 b2 3 圆E上 且 0 点D 2 0 到直线F1A的距离DH AF2 F1F2 18 5 1 求椭圆E的方程 2 设点P为椭圆E上的任意一点 求 的取值范围 PF1 PD 解 1 由题意知c 4 F1 4 0 F2 4 0 sin AF1F2 DH DF1 6 DH DF1 AF2 AF1 18 5 又 0 AF2 AF1 2a AF2 F1F2 b2 a b2 a 则a2 b2 18 5 6 b2 a 2a b2 a 4 3 由b2 c2 a2 得b2 16 b2 4 3 b2 48 a2 64 椭圆E的方程为 1 x2 64 y2 48 2 设点P x y 则 1 x2 64 y2 48 即y2 48 x2 3 4 4 x y 2 x y PF1 PD x2 y2 2x 8 PF1 PD x2 2x 40 x 4 2 36 1 4 1 4 8 x 8 的取值范围是 36 72 PF1 PD 10 设椭圆C 1 a b 0 的左焦点为F 上顶点为A 过点A与AF垂直的 x2 a2 y2 b2 直线分别交椭圆C与x轴正半轴于点P Q 且 AP 8 5PQ 1 求椭圆C的离心率 2 若过A Q F三点的圆恰好与直线l x y 3 0 相切 求椭圆C的方程 3 解 1 kAF kAQ AQ y x b 点Q b c c b c b b2 c 0 又A 0 b 设P x0 y0 则由 得 x0 y0 b AP 8 5PQ Error 代入 1 得 1 解得e 8 5 b2 c x0 y0 x2 0 a2 y2 0 b2 8b2 13c 2 a2 5b 13 2 b2 c a 1 2 4 2 由 1 知c b a 椭圆方程为 1 即 3x2 4y2 3a2 a 2 3 2 x2 a2 4y2 3a2 此时 A Q F 0 3 2 a 3 2a 0 a 2 0 FQ的中点坐标为 a 2 0 此即过A Q F三点的圆的圆心 它的半径r 又r a2 4 3 4a2 a 2 3 1 3 因此 a 2 b 故椭圆C的方程为 1 a 2 3 2 a2 4 3 4a23 x2 4 y2 3 B 级 能力提升 一 填空题 1 已知椭圆 1 a b 0 A 2 0 为长轴的一个端点 弦BC过椭圆的中心 x2 a2 y2 b2 O 且 0 2 则椭圆的方程为 AC BC OC OB BC BA 解析 2 OC OB BC BA 2 又 0 BC AC AC BC AOC为等腰直角三角形 AC BC 又 OA 2 C点的坐标为 1 1 或 1 1 C点在椭圆上 1 又a2 4 b2 1 a2 1 b2 4 3 椭圆方程为 1 x2 4 3y2 4 答案 1 x2 4 3y2 4 2 2012 苏北五市调研 已知椭圆 1 a 0 b 0 的左 右焦点分别为 x2 a2 y2 b2 F1 c 0 F2 c 0 若椭圆上存在点P 异于长轴的端点 使得 csin PF1F2 asin PF2F1 则该椭圆离心率的取值范围是 解析 由题意 PF2 因为 c a sin PF2F1 sin PF1F2 PF1 PF2 a c a 2a PF2 2a 1 e a c PF2 a c a c a c 1 e 1 e 又 0 e 1 所以 1 e 1 2a 1 e 2 1 e2 答案 1 1 2 3 已知椭圆 1 内有一点P 1 1 F为椭圆右焦点 在椭圆上有一点M 使 x2 4 y2 3 MP 2 MF 取得最小值 则点M的坐标为 解析 如右图所示 l为椭圆的右准线 过点M作准线的垂线 垂足为M 5 由椭圆的方程易知e 1 2 MF MM 1 2 即 MM 2 MF 从而求 MP 2 MF 的最小值问题 便转化为求 MP MM 的最小值问题 易知当M P M 三点共线时 其和取最小值 即 由点P向准线l作垂线 则与椭 圆的交点即为所求的点M 点M的纵坐标为 1 代入椭圆的方程 有 1 x2 x2 4 1 3 8 3 由于点M在y轴的右侧 x 2 6 3 从而点M的坐标为 2 6 3 1 答案 2 6 3 1 4 我们把由半椭圆 1 x 0 与半椭圆 1 x 0 合成的曲线称作 果圆 x2 a2 y2 b2 y2 b2 x2 c2 其中a2 b2 c2 a b c 0 如图 设点F0 F1 F2是相应椭圆的焦点 A1 A2和 B1 B2是 果园 与x y轴的交点 若 F0F1F2是边长为 1 的等边三角形 则a b的值分 别为 解析 由已知 F1F2 2 1 又因为 F0F1F2是边长为 1 的等边三角形 b2 c2 所以 cos30 即c2 b2 解得b 1 c2 c 2b2 c2 3 4 3 4 所以a2 a 0 所以a 7 4 7 2 答案 1 7 2 二 解答题 5 2012 南通质检 设A B是椭圆 3x2 y2 上不同的两点 点N 1 3 是线段AB 的中点 线段AB的垂直平分线与椭圆交于C D两点 1 确定 的取值范围 并求直线AB的方程 2 求以线段CD的中点M为圆心且与直线AB相切的圆的方程 解 1 法一 依题意 显然直线AB的斜率存在 故可设直线AB的方程y k x 1 3 代入 3x2 y2 整理得 k2 3 x2 2k k 3 x k 3 2 0 设A x1 y1 B x2 y2 则x1 x2是方程 的两个不同的实根 所以 4 k2 3 3 k 3 2 0 且x1 x2 2k k 3 k2 3 由N 1 3 是线段AB的中点 得 1 x1 x2 2 所以k k 3 k2 3 解得k 1 代入 得 12 6 即 的取值范围是 12 直线AB的方程为y 3 x 1 即x y 4 0 法二 设A x1 y1 B x2 y2 则有Error 3 x1 x2 x1 x2 y1 y2 y1 y2 0 依题意 x1 x2 所以kAB y2 y1 x2 x1 3 x1 x2 y1 y2 因为N 1 3 是线段AB的中点 所以x1 x2 2 y1 y2 6 从而kAB 1 又N 1 3 在椭圆内 所以 3 12 32 12 所以 的取值范围是 12 直线AB的方程为y 3 x 1 即x y 4 0 2 因为线段CD垂直平分线段AB 所以线段CD所在的直线方程为y 3 x 1 即 x y 2 0 代入椭圆方程 整理得 4x2 4x 4 0 设C x3 y3 D x4 y4 线段CD的中点为M x0 y0 则x3 x4是方程 的两个不同的根 所以x3 x4 1 且x0 x3 x4 y0 x0 2 1 2 1 2 3 2 故M 1 2 3 2 又M到直线AB的距离d 1 2 3 2 1 2 3 2 4 12 12 3 2 2 所以以线段CD的中点M为圆心且与直线AB相切的圆的方程为 2 2 x 1 2 y 3 2 9 2 6 2012 南京调研 已知直线l x my 1 过椭圆C 1 的右焦点F 抛物 x2 a2 y2 b2 线x2 4y的焦点为椭圆C的上顶点 且直线l交椭圆C于A B两点 点A F B在直 3 线g x 4 上的射影依次为点D K E 1 求椭圆C的方程 2 若直线l交y轴于点M 且 1 2 当m变化时 探求 1 2的 MA AF MB BF 值是否为定值 若是 求出 1 2的值 否则 说明理由 3 连结AE BD 试探索当m变化时 直线AE与BD是否相交于定点 若是 请求出 定点的坐标 并给予证明 否则 说明理由 解 1 由题知椭圆右焦点为F 1 0 c 1 抛物线x2 4y的焦点坐标为 0 33 b b2 3 3 a2 b2 c2 4 椭圆C的方程为 1 x2 4 y2 3 2 由题 知m 0 且直线l与y轴交于点M 0 1 m 设直线l交椭圆于A x1 y1 B x2 y2 由Error 3m2 4 y2 6my 9 0 6m 2 36 3m2 4 144 m2 1 0 y1 y2 y1 y2 6m 3m2 4 9 3m2 4 又 1 MA AF 7 1 1 x1 y1 x1 y1 1 m 1 1 1 my1 同理 2 1 1 my2 1 2 2 1 m 1 y1 1 y2 又 1 y1 1 y2 y1 y2 y1y2 6m 3m2 4 3m2 4 9 2m 3 1 2 2 2 1 m 1 y1 1 y2 1 m 2m 3 8 3 所以 当m变化时 1 2为定值 定值为 8 3 3 先观察 当m 0 时 直线l x轴 则ABED为矩形 由对称性知 AE与BD相交 于FK的中点N 且N 猜想当m变化时 AE与BD相交于定点N 5 2 0 5 2 0 当m 0 时 由 2 知