（江苏专用）2013年高考数学二轮复习 （数学思想方法部分）专题3转化与化归思想学案

1 专题专题 3 3 转化与化归思想转化与化归思想 化归就是转化和归结 它是解决数学问题的基本方法 在解决数学问题时 人们常常是将需要解决 的问题 通过某种转化手段 归结为另一个相对较容易解决的或者已经有解决模式的问题 以求得问题 的解答 中学数学处处都体现出化归的思想 如化繁为简 化难为易 化未知为已知 化高次为低次等 它是解决问题的一种最基本的思想 1 f x 是 R R 上的奇函数 f x 2 f x 当 0 x 1 时 f x x 则f 7 5 等于 解析 由f x 2 f x 知 f x 的周期为 2 所以f 7 5 f 0 5 f 0 5 0 5 答案 0 5 2 若m n p q R R 且m2 n2 a p2 q2 b ab 0 则mp nq的最大值是 解析 mp nq 2 m2p2 2mpnq n2q2 m2p2 m2q2 n2p2 n2q2 m2 n2 p2 q2 ab 所以 mp nq 当且仅当mq np时等号成立 abab 答案 ab 3 如图 把椭圆 1 的长轴AB分成 8 等份 过每个分 x2 25 y2 16 点作x轴的垂 线交椭圆的上半部分于P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7七个点 F是椭圆的一个焦 点 则P1F P2F P3F P4F P5F P6F P7F 解析 设椭圆的另一个焦点为F 根据椭圆的对称性知 P1F P7F P1F P1F 2a P2F P6F P3F P5F 2a 又 P4F a P1F P2F P3F P4F P5F P6F P7F 7a 35 答案 35 4 已知关于x的方程x2 2alog2 x2 2 a2 3 0 有惟一解 则实数a的值为 解析 令f x x2 2alog2 x2 2 a2 3 显然f x 是偶函数 方程f x 0 要有惟一实根 则 此根必为x 0 故 2a a2 3 0 解得a 1 或a 3 当a 3 时 易知方程f x 0 不止有一个实 根 故a 1 答案 1 5 已知三棱锥S ABC的三条侧棱两两垂直 SA 5 SB 4 SC 3 D为AB的中点 E为AC的中 点 则四棱锥S BCED的体积为 2 解析 由S ADE S ABC 得VS BCED VS ABC VA BSC SB SC SA 1 4 3 4 3 4 3 4 1 3 1 2 15 2 答案 15 2 典例1 1 如图 直三棱柱ABC A1B1C1中 AB 1 BC 2 AC AA1 3 M为线段BB1上的一动点 则当AM MC1最小时 AMC1的面积为 5 2 若不等式 对于任意正实数x y总成立的必要不充分条件是k m 则正整数 x2 108 y2 4 xy 3k m只能取 解析 1 将侧面展开后可得 当A M C1三点共线时 AM MC1最小 又 AB BC 1 2 AB 1 BC 2 CC1 3 所以AM MC1 2 又在原三棱 22 柱中 AC1 9 514 所以 cos AMC1 故 sin AM2 C1M2 AC2 1 2AM C1M 2 8 14 2 2 22 1 2 AMC1 3 2 所以三角形面积为S 2 1 222 3 23 2 由 x 0 y 0 x2 108 y2 4 xy 3k 1 xy x2 108 y2 4 1 3k x 108y y 4x 1 3k 所以小于等于 x 0 y 0 的最小值 1 3k x 108y y 4x 因为 2 当且仅当x2 27y2时取等号 x 108y y 4x x 108y y 4x 1 108 所以 3k 2 3 10827 4 3 2 log33k log3 2 3 k log32 3 2 3 2 3 所以k的取值范围是 所以k m 是k 的必要不充分 log32 3 2 log32 3 2 条件 即m0 演练2 x2 a2 y2 b2 b 0 的左焦点F c 0 c 0 作圆x2 y2 的切线 切点为E a2 4 延长FE交曲线右支于点P 若OE OF OP 则双曲线的离心率 1 2 为 解析 由OE OF OP 可知E为PF的中点 则PF 2EF 2 1 2 c2 a2 4 设双曲线的另一个焦点为F 则PF 2EO a 则由双曲线的定义得 4c2 a2 a 2a 即 4c2 10a2 e 4c2 a2 10 2 答案 10 2 典例3 若关于x的方程x4 ax3 ax2 ax 1 0 有实数根 求实数a的取值范围 解 由x4 ax3 ax2 ax 1 0 得 a a 0 x2 1 x2 x 1 x 即 2 a a 2 0 x 1 x x 1 x 令t x t 2 2 1 x 5 则函数f t t2 at a 2 在t 2 2 上有零点 因为 a2 4a 8 0 恒成 立 所以f 2 0 或f 2 0 或Error Error 或Error Error 解得a 或a 2 2 3 所以a的取值范围是 2 2 3 本题利用换元法先把四次方程转化为二次方程 再把方程有实根的问题转化为函数有零点的问题 从而可以数形结合求解 演练3 设x y为正实数 a b p c x y x2 xy y2xy 1 如果p 1 则是否存在以a b c为三边长的三角形 请说明理由 2 对任意的正实数x y 试探索当存在以a b c为三边长的三角形时p的取值范围 解 1 存在 p 1 时b a c 且c a x y x2 xy y2 b xy x y x2 xy y2xy 所以p 1 时 存在以a b c为三边长的三角形 2 a c 若a b c构成三角形 只需Error Error 即Error Error 两边除以 令 t 得Error Error xy x y 这里f t t 1 t t 1 t 1 g t t 1 t t 1 t 1 由于f t 2 2 t 1 t t 1 t 12 13 所以g t 2 当且仅当t 1 时 f t 取最 t 1 t t 1 t 1 1 t 1 t t 1 t 13 小值 2 g t 取最大值 2 33 因此 2 pb 1 且 logab 3logba 则a 的最小值为 13 2 1 b2 1 解析 令t logab4x p 3 对一切 0 p 4 均成立 则实数x的取值范围是 解析 x2 px 4x p 3 x 1 p x2 4x 3 0 令g p x 1 p x2 4x 3 则要使它对 0 p 4 均有g p 0 只要有Error Error 解得x 3 或x 1 答案 1 3 7 4 若函数y cos x在区间 0 m 上至少取得 2 个最大值点 则正整数m的最小值为 3 解析 因为x 0 m 所以x 因为函数y cosx在区间 0 m 上至少取得 2 个最 3 0 3 m 3 大值点 所以m 2 即m 6 所以正整数m的最小值为 6 3 答案 6 5 在平面直角坐标系xOy中 已知圆x2 y2 4 上有且仅有四个点到直线 12x 5y c 0 的距离为 1 则实数c的取值范围是 解析 原命题等价于圆心 0 0 到直线 12x 5y c 0 的距离小于 1 即b 0 的左 右顶点 若在椭圆上存在异于A1 A2的点P 使 x2 a2 y2 b2 得PO PA 2 0 其中O为坐标原点 则椭圆的离心率e的取值范围是 8 解析 由题设知 OPA2 90 设P x y x 0 以OA2为直径的圆方程为 2 y2 与椭 x a 2 a2 4 圆方程联立得e2x2 ax b2 0 由题设知 要求此方程在 0 a 上有实根 x a为其一根 则另一根 为 a 且 a 所以e的取值范围为 a e2 a e2 1 2 2 2 1 答案 2 2 1 10 已知集合A x x2 a a 1 x a R R 存在a R R 使得集合A中所有整数元素的和为 28 则实数a的取值范围是 解析 到不等式x2 a x a 1 即 x a x 1 0 因此该不等式的解集中必有 1 与a 要使集合 A中所有整数元素的和为 28 必有a 1 注意到以 1 为首项 1 为公差的等差数列的前 7 项和为 28 因此由集合A中所有整数元素的和为 28 得 7 a 8 即实数a的取值范围是 7 8 7 1 7 2 答案 7 8 11 我们知道 在三角形ABC中 若三边a b c满足c2 a2 b2 则三角形ABC是直角三角形 现 在请你研究 若cn an bn n 3 的自然数 问三角形ABC为哪种三角形 为什么 解 三角形ABC是锐角三角形 cn an bn c a c b即c是三角形ABC的最大边 要证角C是锐角 只要证 cos C 0 即可 而 cos C 即证a2 b2 c2 a2 b2 c2 2ab 构造函数f x x x a c b c c a c b 1 0 1 0 a c b c f x 在 0 上是减函数 n 2 f n f 2 n n1 即a2 b2 c2 a c b c 故当n 2 时 三角形是锐角三角形 12 若定义在 4 上的减函数f x 使得不等式f m sin x f对于一 1