高二数学 抛物线知识精讲（文） 人教实验A版

专心 爱心 用心1 高二数学高二数学 抛物线知识精讲 文 抛物线知识精讲 文 人教实验人教实验 A A 版版 本讲教育信息本讲教育信息 一 教学内容 抛物线 二 重点 难点 方程 0 p 顶点焦点准线离心率 pxy2 2 0 0 0 2 p 2 p x 1 pxy2 2 0 0 0 2 p 2 p x 1 pyx2 2 0 0 0 2 p 2 p y 1 pyx2 2 0 0 0 2 p 2 p y 1 典型例题典型例题 例 1 求满足下列条件的抛物线的标准方程 1 焦点坐标是 2 经过点 0 5 F 3 2 A 解 解 1 焦点在 x 轴负半轴上 所以所求抛物线的标准方程是5 2 p xy20 2 2 经过点 A 的抛物线可能有两种标准形式 或3 2 pxy2 2 pyx2 2 点 A 坐标代入 即 得 点 A 坐标代入3 2 pxy2 2 p49 2 9 2 p3 2 即 得pyx2 2 p64 3 4 2 p 所求抛物线的标准方程是或xy 2 9 2 yx 3 4 2 例 2 焦点在 x 轴的抛物线与圆相交 它们在 x 轴上方交点为014 22 xyx A B 线段 AB 中点在直线上 求抛物线方程 0 yx 解 解 均关于 x 轴对称 3 2 22 2 yx mxy 01 4 2 xmx0 6 2 4 4 2 mmm 专心 爱心 用心2 时 两根为正 与不符 0 mmxy 2 时 两根为负 与不符 6 mmxy 2 时 两根为正 与相符 2 0 mmxy 2 设 11 yxA 22 yxBmxx 4 21 1 21 xx 6 2 2 1 2121212121 mm xxxxmxxmmxmxyy AB 中点在上 2 6 2 4 mmm 0 yx 20 2 6 2 4 m mmm 177 2 1 mxy 177 2 1 2 例 3 顶点在原点焦点在 x 轴上的抛物线被直线截得弦长为 求抛物线方12 xy15 程 解 解 01 2 24 12 2 2 2 xax xy axy 151 2 2 541 2 21 a xxAB 或 或42 a2 a6 axy4 2 xy12 2 例 4 过抛物线的焦点 F 作直线 交抛物线于 A B 求证 0 2 2 ppxyl 2 pyy BA 解 解 斜率不存在 pypy 21 2 21 pyy 斜率存在 pxy p xky 2 2 2 ky 22 2 kp p y 2 21 2 2 p p k kp yy 专心 爱心 用心3 例 5 A 4 1 为抛物线内一点 过 A 作直线 交抛物线于 P Q A 恰为 PQ 中xy6 2 l 点 求 的方程 l 解 解 设 A B 11 y x 22 y x 1 2 1 6xy 2 2 2 6xy 6 212121 xxyyyy 3 21 21 k xx yy 0113 yxl 例 6 A B 为抛物线 上两点 O 为原点 若 OA OB 求证直线 AB 过 0 2 2 ppxy 定点 解 解 设 A B OA OB 11 y x 22 y x0 2121 yyxx A B 在抛物线上 21 22 2 2 1 4xxpyy 2 21 2 21 4 4 pxx pyy 2 1 21 1 xx yy p yylAB 2 2 2 1 21 1 p y x yy p yy 2 2 42 2 21 21 2 21 1 21 2 1 21 px yy p yy p x yy p y yy y x yy p y 过定点 0 2p 例 7 已知 A 0 8 B 及抛物线直线 过原点 若 A B 关于0 1 0 2 2 ppxyl 的对称点在抛物线上 求 及抛物线方程 ll 解 解 设 A B 关于 对称点kxyl l 11 yx A 22 yx B 对称 2 2 1 2 1 1 1 8 1 16 k k y k x 1 2 1 1 2 2 2 2 2 k k y k k x 专心 爱心 用心4 又 在抛物线上BA 1 16 4 1 64 2 2 22 22 2 2 2 1 2 1 k k k k pxy pxy 01 2 kk 2 51 kxy 2 51 xy5 5 4 2 例 8 抛物线顶点在原点 焦点在坐标轴 AB 为过焦点 F 的直线 若 aOF 求 bAB OAB S 解 解 设 axy4 2 2211 yxByxA 21 2 1 yyaS OAB 4 4 4 21 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 xxayy axy axy 2121 2 21 2 4 yyxxayy axy axky 4 2 04 4 22 ay k a y 2 21 4ayy axaxbAB 21 abxx2 21 abaabayy48 2 4 22 21 abayyaS 21 2 1 例 9 正三角形的一个顶点位于坐标原点 另外两个顶点在抛物线上 0 2 2 ppxy 求这个正三角形的边长 解 解 如图 设正三角形 OAB 的顶点 A B 在抛物线上 且坐标分别为 11 yx 则 22 yx 2 2 21 2 1 2 2pxypxy 又 所以OBOA 2 2 2 2 2 1 2 1 yxyx 即 2 2 21 2 1 22pxxpxx 0 2 21 2 2 2 1 xxpxx 0 2 2121 xxpxx02 0 0 21 pxx 专心 爱心 用心5 由此可得 即线段 AB 关于 x 轴对称 因为 x 轴垂直于 AB 且 21 xx 21 yy 所以 30AOx 3 3 30tan 1 1 x y 所以pyABp y pxy342 32 1 2 1 1 11 例 10 已知点 A 2 8 B C 在抛物线上 的重心 11 y x 22 y xpxy2 2 ABC 与此抛物线的焦点 F 重合 1 写出该抛物线的方程和焦点 F 的坐标 2 求线段 BC 中点 M 的坐标 3 求 BC 所在直线的方程 解 解 1 由点 A 2 8 在抛物线上 有 解得pxy2 2 2282 p16 p 所以抛物线方程为 焦点 F 的坐标为 8 0 xy32 2 2 如图 由于 F 8 0 是的重心 M 是 BC 的中点 所以 F 是线段 AM 的定ABC 比分点 且 设点 M 的坐标为 则 解得2 FM AF 00 y x0 21 28 8 21 22 00 yx 所以点 M 的坐标为 11 4 4 11 00 yx 3 由于线段 BC 的中点 M 不在 x 轴上 所以 BC 所在的直线不垂直于 x 轴 设 BC 所在直线的方程为 0 11 4 kxky 由消 x 得 所以 xy xky 32 11 4 2 0 411 3232 2 kyky k yy 32 21 由 2 的结论得 解得4 2 21 yy 4 k 因此 BC 所在直线的方程为 0404 yx 模拟试题模拟试题 答题时间 60 分钟 1 抛物线的准线方程是 0 2 aaxy A B C D 4 a x 4 a x 4 a x 4 a x 2 已知M m 4 是抛物线上的点 F是抛物线的焦点 若 则此抛ayx 2 5 MF 专心 爱心 用心6 物线的焦点坐标是 A 0 1 B 0 1 C 0 2 D 0 2 3 抛物线的顶点在原点 对称轴为x轴 焦点在直线上 此抛物线的01243 yx 方程是 A B C D xy16 2 xy12 2 xy16 2 xy12 2 4 焦点在直线上的抛物线标准方程是 01243 yx A 或B 或xy16 2 yx16 2 xy16 2 yx12 2 C 或D 或yx12 2 xy16 2 yx16 2 xy12 2 5 过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A B两点 则AB的长是xy4 2 4 3 A B 4 C 8 D 224 6 过抛物线的焦点作直线交抛物线于A B 两点 如果xy4 2 11 y x 22 y x 那么 6 21 xx AB A 10 B 8 C 6 D 4 7 已知M为抛物线上一动点 F为抛物线的焦点 定点P 3 1 则xy4 2 的最小值为 MFMP A 3 B 4 C 5 D 6 8 过抛物线的焦点F作直线交抛物线于P Q两点 若线段PF QF的长分 0 2 aaxy 别是 则 pq qp 11 A B C D a2 a2 1 a4 a 4 9 顶点在原点 焦点在y轴上 且过点P 4 2 的抛物线方程是 A B C D yx8 2 yx4 2 yx2 2 yx 2 1 2 10 抛物线上一点P到顶点的距离等于它们到准线的距离 这点坐标是 xy8 2 A 2 4 B 2 C 1 D 1 4 2222 11 已知抛物线的顶点在原点 对称轴是坐标轴 且焦点在直线时 01243 yx 专心 爱心 用心7 则此抛物线的方程是 A B xy16 2 yx12 2 C x或 D 或8 2 yyx6 2 xy16 2 yx12 2 12 抛物线的顶点在原点 对称轴是x轴 点 到焦点距离是6 则抛物线的52 5 方程为 A B C D 或xy4 2 xy2 2 xy2 2 xy4 2 yx36 2 13 在抛物线上有三点A B C 其横坐标分别为在y轴上有一点D的纵坐 2 xy 3 2 1 标为6 那么以A B C D为顶点的四边形是 A 正方形 B 平行四边形 C 菱形 D 任意四边形 14 抛物线的焦点F 准线为 交x轴于R 过抛物线上一点P 4 4 作xy4 2 l 于Q 则梯形PFRQ的面积是 lPQ A 12 B 14 C 16 D 18 15 抛物线关于直线对称的曲线的顶点坐标为 xy4 2 2 yx A 2 2 B 0 0 C D 2 0 2 2 16 过抛物线焦点F的直线 与抛物线交于A B两点 则弦AB的中点的轨迹方程xy4 2 l 是 17 过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A B两点 若A B在准线上的射影是 22 B A 则等于 22FB A 18 若动点M x y 到点F 4 0 的距离比它到直线的距离小1 则M点的轨05 x 迹方程是 19 抛物线的弦AB垂直于x轴 若AB的长为 则焦点到AB的距离为 xy4 2 34 20 顶点在原点 焦点在y轴上 且过点P 4 2 的抛物线方程是 21 平面上的动点P到点A 的距离比到直线的距离小2 则动点P的轨迹2 0 4 yl 方程是 22 过抛物线的焦点F任作一条直线m 交这抛物线于A B两点 求证 以ABpxy2 2 为直径的圆和这抛物线的准线相切 23 直线与抛物线交于A B两点 过A B两点向抛物线的准线作垂线 3 xyxy4 2 专心 爱心 用心8 垂足分别为P Q 则梯形APQB的面积为 A 48 B 56 C 64 D 72 24 抛物线上的点到直线距离的最小值是 2 xy 0834 yx A B C D 3 3 4 5 7 5 8 专心 爱心 用心9 试题答案试题答案 1 A 2 B 3 A 4 C 5 C 6 B 7 B 8 C 9 A 10 D 11 D 12 D 13 B 14 C 15 A 16 17 90 18 19 2 20 1 2 2 xyxy4 2 yx8 2 21 yx8 2 22 证明 如图 设AB的中点为E 过A E B分别向准线 引垂线AD EH BC 垂足为l D H C 则BCBFADAF EHBCADBFAFAB2 所以EH是以AB为直径