河南省郑州市2016届高三第三次质量（三模）数学（理）试题含答案解析

2016 年高中毕业年级第三 次质量预测 理科数学试题卷 一、 选择题 1. 设复数 2 ( , )1i a b i a b 则 a+b=（） A. 1 B. 2 C. 1 D. 2 答案： A 解析： 13 122z i a b 2. 命题“ 00 , 2 0 ”的否定 是（ ） 0 , 2 00 , 2 0C. 00 , 2 0 D. 00 , 2 0 答案： D 解析：考查存在量词的否定 3. 已知 集合 1 | l g xM x ， 2 y | y 2 3 N x x ，则 (C M )R N I（ ） A. (0,1) B.1, ) C. 2, ) D. ( , 0 U 1, ) 答案： C 解析： M 集合求函数定义域 01x， N 集合求函数值域 2y 4. 下列说法中正确的是 设随机变量 X 服从二项分布 1(6, )2B，则 5( 3)16已知随机变量 X 服从正态分布 2(2, )N 且 ( 4 ) 0 则 ( 0 2 ) 0 . 4 01221011 4x d x x d x ( 2 3 ) 2 ( ) 3 ; ( 2 3 ) 2 ( ) 3E X E X D X D X A. B. C. D. 答案： A 解析：考查二项分布、正态分布以及定积分的几何意义 只有 中方差的计算有误 5. 一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A. 2 2 3 B. 4 2 3 C. 2323 D. 2343 答案： C 解析：这是正四棱锥和圆柱的组合体 6. 已知 P 是双曲线 2 2 13x y上任意一点，过点 P 分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为 A,B，则 B 的值是（） A. 38B. 316C. 38D. 不能确定 答案： A 解析：点 P 选取双曲线的顶点，则顶点到渐近线的距离均为 b/e 2211t a n 2333 ，因此两垂线夹角 120 度 数量积 2 23( ) c o P B e 7. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的 S 值是（） 案： D 解析： 2 0 1 6 2 6 . . . 2 0 1 4 4 8 . . . 2 0 1 6 3 0 2 4S 8. 若不等式组 10101 / 2 0 表示的区域为 ，不等式 2211()24 表示的区域为，向 区域 均匀随机撒 360 颗芝麻，则落在区域中芝麻数约为 案： A 解析：考查几何概型，绘图求出面积比 区域面积1 3 3 92 2 4S 区域与 区域的公共面积2 321 3 1 32 4 2 8 1 6S 入选概率为面积比 1 3 9 3 2( ) :8 1 6 4 3 69. 已知球的直径 ， A,B 在球面上， ， 45C S A C S B 则棱锥体积为（ ） A. 33B. 233C. 433D. 533答案： C 解析：考查二面角 如图所示， B=，且 面 因此体积 21 3 4 3243 4 3V 10. 为防止部分学生考试时用搜题软件作弊，命题组指派 5 名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这 3 种题型进行改编，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为（ ） C. 200 案： A 解析：考查鸽巢问题 11. 已知函数 ( ) s i n ( )3f x x则要得到其导函数的图像 ，只需将函数 f(x)的图像 A. 向左平移 23个单位 B. 向右平移 23个单位 C. 向左平移2个单位 D. 向右平移2个单位 答案： C 解析：导函数 ( ) c o s ( ) s i n ( )3 3 2f x x x 12. 已知函数 2 1 0()( 2 ) 1 0x x x ，把函数 ( ) ( )2xg x f x的偶数零点按从小到大的顺序排列成一个数列，该数列的前 10 项的和等于 A. 45 B. 55 C. 90 D. 110 答案： C 解析：当 0x 时，令 2 1 / 2x x 解得 x= 1 或 0，按要求取偶数零点1 0a当 x0 时， ( 2 ) 1 / 2f x x 解得 x=2，2 2a ，依次类推 2( 1)因此这是首项为 0，公差为 2 的等差数列 故有1 0 1 ( 1 ) 902n a d 二、 填空题 13. 若 5 2 50 1 2 5( 2 ) . . .x a a x a x a x 则1 2 5.a a a _ 答案： 31 解析：令 x=0 取首项 32 令 x=1 取前 n 项和为 1，作差得解 14. 已知为数列 2a， 1，1 2 ,*1 nn n ，则2016b _ 答案： 20162017解析：首先确定首项1112 其次换元 1，1 211 (1 ) 2nn 因此1n nb n 15. 函数 2( ) l n 12af x x x x x 有两个极值点，则 a 的取值范围为 _ 答案： (0,1/ )e 解析：求导 ( ) x x ，二阶导 1( ) 0f x 得一阶导函数有极大值点1/ 由于 ( 0 ) , ( ) ， 因 此 原 函 数 要 有 两 个 极 值 点 ， 只 要11( ) l n 1 0f 解得 10 16. 设函数 ( ) 3 s i n ，若存在 f(x)的极值点满足 2 2 200 ( ) x f x m，则 _ 答案： 2 3m 解析： 3( ) c o s ，存在极值点满足 0因此 2 2 20 0 m i n ( ) m x f x，即 2 2 2 2 2 2000 0 03 s i n 3 ( 1 c o s ) 3x x 三、 解答题 17. 设函数 2( ) 2 s i n c o s c o s s i n s i n ( 0 )2f x x x x 在 x=处取得最小值， 且满足 c o s 2 c o s 2 2 s i n ( ) s i n ( )33C A C C . (1)求 的值； (2)在 ， a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边，已知 31 , 2 , ( )2a b f A ，求角 C. 解析： (1)首先化简原函数 ( ) s i n ( 1 c o s ) c o s s i n s i n s i n c o s c o s s i n s i n ( )f x x x x x x x 由 ( ) s i n ( ) s i n 1f ，解得2 (2) 3( ) s i n ( ) c o 6f A A A A 由正弦定理得 s i n 2s i ns i n s i n 2a b b a 当4B 时， 74 6 1 2C 当 34B 时 34 6 1 2C 18. 某电视台推出一档游戏类综艺节目，选手面对 1五扇大门，依次按响门上的门铃，门 铃会播放一段音乐，选手需正确回答这首歌的名字，回答正确，大门打开，并获得相应的家庭梦想基金，回答每一扇门后，选手可自由选择带着目前奖金离开，还是继续挑战后面的门以获得更多的梦想基金，但是一旦回答错误，游戏结束并将之前获得的所有梦想基金清零；整个游戏过程中，选手有一次求助机会，选手可以询问亲友团成员以获得正确答案 . 1门对应的家庭梦想基金依次为 3000 元， 6000 元， 8000 元、 12000 元、 24000元（以上基金金额为打开大门后的累积金额）设某选手正确回答每扇门的歌曲名字的概率均为 6 ( 1 , 2 , . . . , 5 )7i ，亲友团正确回答每一扇门的歌曲名字的概率均为 1/5，该选手正确回答每一扇门的歌名后选择继续挑战后面的门的概率均为 1/2； (1)求选手在第三扇门使用求助且最终获得 12000 元家庭梦想基金的概率； (2)若选手在整个游戏过程中不使用求助，且获得的家庭梦想基金数额为 X 元，求 X 的分布列和数学期望。 解析： (1)记事件“选手正确回答第 i 扇门歌曲”为 事件“亲友团正确回答歌曲名字”为 B 记事件“回答正确后选择继续挑战”为 C 则对应事件的概率分别为1 2 3 4 55 4 3 2 1( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( )6 5 4 3 2P A P A P A P A P A 11( ) , ( )52P B P C 因此题目所求概率为 41 2 3 4 45 4 1 2 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 5 4 3 5 2 7 2 0P A P A P A P A P B P C 注意：第三扇门选手答不出才求助 (2)X 可能的取值有： 0,3000,6000,8000,12000,24000 5 1 5( 3 0 0 0 ) 6 2 1 2 25 4 1 1( 6 0 0 0 ) 6 5 2 6 35 4 3 1 1( 8 0 0 0 ) 6 5 4 2 1 6 45 4 3 2 1 1( 1 2 0 0 0 ) 6 5 4 3 2 4 8 45 4 3 2 1 1 1( 2 4 0 0 0 ) 6 5 4 3 2 2 9 6 31( 0 ) 1 ( 3 0 0 0 ) ( 6 0 0 0 ) ( 8 0 0 0 ) ( 1 2 0 0 0 ) ( 2 4 0 0 0 ) 96P X P P P P P 对立事件 因此 X 的分布列为 X 0 3000 6000 8000 12000 24000 P 31/96 5/12 1/6 1/16 1/48 1/96 故有 3250 注意：最后一次答对无需再选择 19. 如图，四棱柱 CD中，侧棱 D=， ， E 为棱 中点 . (1)求证： BC (2)求二面角 B余弦值； (3)设点 M 在线段 CE 上，且直线 平面 所成角的正弦值为26 ，求线段 长 . 解析： (1)依题意得，直四棱柱的底面为直角梯形 以 A 为原点建系，则有 ( 0 , 2 , 2 ) , C ( 1 , 2 , 1 ) , C ( 1 , 0 , 1 ) , E ( 0 , 1 , 0 )B ( 1 , 0 , 1 ) , ( 1 , 1 , 1 )B C C E ，由数量积为 0，垂直得证 (2)设平面 B向量为 m，满足 0 ( 1 , 2 , 1 ) 00 ( 1 , 1 , 1 ) 0m B C E m 解得 ( 3, 2,1) 由 (1)知 BC BC 故 BC是平面 C一个法向量 二面角余弦值 3 1 2c o s , 2 1 4 7m B C (3) 设 ( , , ) , 0 , 1 E M E C ，则( 0 , 1 , 0 ) ( , , ) ( , 1 , )A M A E E M 平面 的一个法向量为 n=(0,0,1)，故 222c o s , A 1 )n 整理得 ( 3 1 ) ( 5 1 ) 0 取 13， 1 4 1| | | ( , , ) | 233320. 已知 2 分别为椭圆 22 1 ( 0 )yx 的上下焦点，其中 是抛物线2 4的焦点，点 M 是椭圆与抛物线在第二象限的交点，且 (1)求椭圆的方程； (2)已知点 P(1,3)和圆 2 2 2:O x y b，过点 P 的动直线 l 与圆 O 相交于不同的两 点 A,B，在线段 一点 Q，满足 B B 01 且 ，探究是否存在一条直线使得点 Q 总在该直线上，若存在求出该直线方程。 解析： (1)焦点1(0,1)F，设交点00( , )M x y，则 1 0 0521 33M F y y ，代入抛物线方程得 82( , )33M 221且2248193解得 22143 (2)设1 1 2 2( , ) , ( , ) , ( , )A x y B x y Q x y，则 由 B 得121 (1 ) 和123 ( 3 ) 由 B 得12()x x x x 和12()y y y y 整理得 121213 (1 ) 和 1212(1 )(1 ) yx x 两式相乘得 2 2 2 2122 2 2 2(1 )3 (1 )x x xy y y 两式求和得 2 2 2 2 2 21 1 2 2( ) (1 ) ( 3 )x y x y x y A,B 两点均满足 223，故有 33 即点 Q 总在该直线上 21. 设函数 1( ) 2 l n ( )f x x m x m (1)讨论函数 f(x)的单调性； (2)若 f(x)有两个极值点是12,点1 1 2 2( , ( ) ) , ( , ( ) )A x f x B x f k，问是否存在 m 使得 k=2存在，求出 m 的值，若不存在，说明理由。 解析： (1)首先确定定义域 x0 2221( ) x m x ，令 2( ) 2 1h x x m x 当 0 时，即 1,1m ( ) 0，原函数在定义域上单调递增 当 ， 0 ，两根均为正，故12( , )其余区间均单调递增 (2)由 (1)知函数有两个极值点时 m1 且1 2 1 22 , 1x x m x x 率2 1 1 22 1 1 2( ) ( ) l n l x f x x x x x 若 k=21212ln 两根均为正且121若12则121, 1消元得222211l n l n 整理得2 2 21 / 2 l n 0x x x 由 (1)知 1( ) 2 l nf x x 在区间 (1, ) 上单调 递增 因此 ( ) (1) 0f x f，函数没有零点，故这样的 m 值不存在 四、 选作题（极坐标与参数方程） 22. 如图， D,E 分别为 C 的中点，直线 外接图于F,G 两点，若 (1)证明 C； (2) : 证明 (1)因为 D， E 分别为 中点，所以 F 四边形平行四边形，所以 F 结 以四边形 平行四边形，故 因为 以 5 分 (2)因为 由 (1)可知 以 由 而 故 10 分 23. 在平面直角坐标系中，以坐标原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 l 上两点 M,N 的极坐标分别为 23( 2 , 0 ) , ( , )32，圆 C 的参数方程为 2 2 c o 2 s