北京市西城区2016届高三二模考试数学文科试题含答案

北京市西城区 2016 年高三二模试卷 数 学（文科） 卷 （选择题 共 40 分） 一、 选择题：本大题共 8 小题，每小题 5分，共 40 分 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1. 设全集 UR ，集合 | 0A x x， | 1B x x，则集合 ()U （ ） （ A） ( ,0) （ B） ( ,0 （ C） (1, ) （ D） 1, ) 2. 下列函数中，既是奇函数又在 R 上单调递减的是（ ） （ A） 1 B） e （ C） 3 （ D） 3. 设 x ， y 满足约束条件 2,1,1 0,则 3z x y 的最大值是（ ） （ A） 43（ B） 73（ C） 13（ D） 1 4 执行如图所示的程序框 图，如果输出的 115S，那么判断框内应填入的条件是（ ） （ A） 3i （ B） 4i （ C） 5i （ D） 6i 否 输出 S 是 2, 1 开始 11 1 结束 5. 在 ， 角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c. 若 1)3， 3a ， 4c ， 则 （ ） （ A） 23（ B） 14（ C） 34（ D） 166. “ 0”是“曲线 221mx 为 焦点在 x 轴上的椭圆”的 （ ） （ A） 充分而不必要条件 （ B） 必要而不充分条件 （ C） 充分必要条件 （ D） 既不充分也不必要条件 x（ 煤气 费 () ) 满足关系 , 0 已知某家庭 今年前三 个 月的煤气费如下表： 月份 用气量 煤气费 一月份 4 元 二月份 25 4 元 三月份 35 9 元 若四月份该家庭使用了 20 煤气， 则 其煤气费为 （ ） （ A） （ B） 11 元 （ C） （ D） 10 元 8. 设直线 l ： 3 4 0x y a+ + = ，圆 22 ( 2 ) 2C x y： - + =，若在直线 l 上存在一点 M，使得过 M 的圆 C 的切线 ,足 90o ，则 a 的取值范围是（ ） （ A） 18,6- （ B） 6 5 2 , 6 5 2 -+ （ C） 16,4- （ D） 6 5 2 , 6 5 2 - - - + 第卷 （非选择题 共 110 分） 二、填空题 ：本大题 共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 9. 已知 复数 (2 i)(1 i)z ，则在复平面内， z 对应点的坐标为 _. 10. 设平面向量 , | | | 2 ( ) 7 a a b ，则 向量 ,_. 11. 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为 _. 12 设双曲线 C 的焦点在 x 轴上，渐近线方程为 22，则 其 离心率为 _；若点 (4,2) 在 C 上，则双曲线 C 的方程为 _. 13. 设函数22 , 1 ,()l o g , 1 ,x 那么 1 ( )2_；若函数 ()y f x k有且只有两个零点，则实数 k 的取值范围是 _. 14. 在某中学的“校园微电影节”活动中，学校将从微电影的“点播量”和“专家评分”两个角度来进行评优 . 若 A 电影的“点播量”和“专家评分”中至少有一项高于 B 电影，则称 A 电影不亚于 B 电影 . 已知共有 5 部微电影参展，如果某部电影不亚于其他 4 部，就称此部电影为优秀影片 . 那么在这 5 部微电影中，最多可能有 _部优秀影片 . 2 正（主）视图 侧（左）视图 俯视图 1 1 2 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 15 （本小题满分 13 分） 已知 函数 2( ) (1 3 t a n ) c o sf x x x . （ ） 求函数 ()义域和最小正周期 ； （ ） 当 (0, )2x时， 求函数 () 16（本小题满分 13 分） 已知数列 前 n 项和 足 4 3 2，其中 n N . （ ） 求证 ：数列 等比数列 ； （ ） 设 1 42a n，求 数列 前 n 项和 17 （本小题满分 14 分） 如图，在周长为 8 的 矩形 ， ,A 的中点 . 将矩形 着线段 起 ， 使得 60o . 设 G 为 一点，且满足 / 面 （ ） 求证 ： G ； （ ） 求证 ： G 为 线段 中点 ； （ ）求线段 度的最小值 . F E G A B D C C A B F E D C C 18 （本小题满分 13 分） 某中学有初中学生 1800 人 ， 高中学生 1200 人 . 为 了解 学生 本学期 课外阅读时间， 现采用分层抽样的方法 ， 从中抽取了 100 名学生 ， 先统计了他们 课外阅读时间 ， 然后 按“ 初中学生 ”和 “高中学生 ”分为两组，再将 每 组学生的阅读时间（单位：小时）分为 5 组： 0,10) ， 10,20) ， 20,30) ， 30,40) ，40,50 ，并 分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图 . （ ） 写出 a 的值 ； （ ）试估计该校所有学生中，阅读时间 不小于 30 个小时的学生人数 ； （ ） 从阅读时间不足 10 个小时的样本学生中随机抽取 2 人 ， 求至少抽到 1 名 高 中生的概率 . 19 （本小题满分 13 分） 已知函数2() () （） 若 ( ) 1 ， 求 a 的值； （） 设 0a ， 若 对于定义域内的任意 1x ，总存在 2x 使得 21( ) ( )f x f x ， 求 a 的取值范围 . 20 （本小题满分 14 分） 已知抛物线 C ： 2 4，过点 )0)(,0( 动 直线 l 与 C 相交于 两点，抛物线 C 在点 处的切线相交于点 Q， 直线 与 x 轴分别相交于点 . （ ） 写出 抛物线 C 的 焦点坐标和准线方程 ； （ ） 求证 ：点 Q 在 直线 上