初中数学 数学名师 高木贞治

1 高木贞治高木贞治 高木贞治 高木贞治 takagi teiji 1875 年 4 月 21 日生于日本国岐阜县 1960 年 2 月 28 日卒于东京 数学 高木贞治出生地是日本国岐阜县大野郡数屋村 其生父为木野村光藏 木野村光藏 生母为高木徒祢 高木徒禰 高木出生时 父 56 岁 母 32 岁 当时他父亲是丧妻续弦 而高木贞治则是他生母的头胎子 他出生之后 生母未再返夫家 因此高木贞治继承的是 母姓 实际上是假作舅父高木勘助的 长子 记入户籍的 据谈母亲徒祢生性刚强 有男 子气 而且记忆力极好 养父毕生无出 视贞治如己出 十分喜爱 母亲一生大都从事农 业劳动 养父则同时兼作一些村里的公共事务 五岁起 高木贞治进入邻家野川杏平所办的私塾 接受 论语 孟子 十八史略 等初步的汉学教育 1882 年高木 7 岁入小学 成绩超群 全为甲等 当时日本有可以跳级 的制度 高木每年跳一级 3 年读完 6 年课程 被当时的岐阜 日日新闻 誉为神童 但 他却很少与同学交游 如果说是神童 他也只能算是一个孤独的神童 1886 年 高木入岐阜中学学习 成绩仍然极好 15 岁毕业时成绩为全校第一名 免试 被推荐进入第三高等中学校 京都 学习 他在中学的数学教师为桦正董 桦正董 这位老 师后来也曾到西方留学 是明治后期日本知名数学家之一 但是对高木影响最大的老师乃 是第三高中时代的数学先生河合十太郎 河合十太郎 kawaijiutar 正是由于河合的影 响 促使高木选择了以数学研究为毕生的职业 河合幼年曾学习过日本的传统数学和 算 后又从师于关口开 关口开 sekiguti hilaki 学习洋算 18861889 年在东京帝 国大学数学科向菊池大麓 菊池大麓 kikuchi dairoku 和藤泽利喜太郎 藤沢利喜太郎 fujisawa rikitar 学习 菊池和藤泽都是日本明治维新之后留学国外专攻数学的第一批 学者 他们都是日本现代数学的奠基人 菊池偏重数学教育 藤泽则偏重数学研究 高木 通过河合 间接地受到二人的影响 河合的学生中有林鹤一 林鹤一 hayashi tsuruichi 吉江琢兒 吉江琢児 yoshie takuji 藤原松三郎 藤原松三郎 fujiwara matsusa bur 等 人 他们后来都成了本世纪上半叶日本著名的数学家 在第三高中 吉江与高木同班 而 林则高一班 1894 年 高木经推荐进入东京帝国大学数学科学习 直接受教于菊池和藤泽 菊池讲 授解析几何 高等几何 藤泽讲授微积分 微分方程 函数论等课 在当时规定的大学课 程中缺少代数 高木后来回忆说 藤泽先生在柏林听过 l 克罗内克 kronecker 的课 克 罗内克经常讲大学不可无代数 而日本当时认为代数教学应在中学完成 后来有了讨论班 之后 藤泽先生经常提出一些代数问题 当时的代数有 j a 塞莱 serret 的高等代数 先生命我读其中的阿贝尔方程 这使我受到高等代数的洗礼 当时书架上还列有 h 韦伯 weber 代数学的第一卷 也找来读了 初次接触到伽罗瓦理论 当时的学风相当自 由 藤泽先生等人鼓吹德国的 lehr und lernfreiheit 学 要自由地学 鼓励学生自由 读书 课堂上课比较少 其间读了不少书 据当时的借书记录 高木在 4 年 间 大学 3 年 研究生院 1 年 共借读了 70 余册书 其中有塞莱和韦伯的代数学 p g l 狄利克雷 dirichlet 和 j w r 戴德金 dedekind 的整数论 d 希尔伯特 hilbert 关于整数论的报告 还读了许多关于椭圆函数论的古典著作以及 c 若尔当 jordan c e 皮卡 picard 写的分析教程 独立直接阅读当代大家的著作 毫无疑问 对高木是极好的训练 同样给高木以很好训练的是藤泽利喜太郎指导的 讨论班 这个讨 论班曾出版了 藤泽教授讨论班习作集 藤沢教授 一 演習録 1897 习作集 第二集上刊载了高木最初的习作 论阿贝尔方程 一 方程式 一 1897 长 达 67 页 文中叙述了方程代数解法的历史以及域 群 伽罗瓦群等等 所谓阿贝尔方程即 2 指其伽罗瓦群为阿贝尔群的代数方程 后来使高木成名的 类域论 实际上指的是 相对 阿贝尔域论 可以说和 讨论班 上他作的课题多少有些关系 1897 年高木大学毕业 返回家乡 养父才把他的身世讲明 此时他的生父已死 他第 一次见到同父异母的两位务农的哥哥 看来如果他一直在生父身边长大 很可能也不会上 大学 会和他的两个哥哥一样 高木进入研究生院学习一年之后 即被派往德国留学 在研究生院期间 高木撰写了 新撰算术 1898 新撰代数学 1898 二书 都是当时高标准的教科书 前者包含了 整数论 后者包含三 四次方程的代数解法 1898 年 10 月 13 日高木贞治来到德国柏林 后来高木回忆说 出国留学当然高兴 但初到柏林 也很恐惧 一方面因为当时还是把西方学者视为天神的时代 另方面当时的 柏林正是三尊大菩萨 k th w 魏尔斯特拉斯 weierstrass 克罗内克和 e e 库默尔 kummer 鼎盛之后 由 i l 富克斯 fuchs s 施瓦兹 schwarz f g 弗罗贝尼乌 斯 frobenius 接班的时代 那时 一般认为学数学必到德国 到德国必来柏林 一个既无 教养 又无自信的东洋乡巴佬 到这里来确有些恐惧 在柏林大学高木听了弗罗贝尼乌斯的代数 包括伽罗瓦理论 和整数论 相当于狄利克雷 戴德金 整数论讲义 vorlesungen ler zahlentheorie 的内容 k 亨泽尔 hensel 的整数论 施瓦兹的函数论 富克斯的微分方程 这一年富克斯 65 岁 施瓦兹 55 岁 上 课时后者总是说 魏尔斯特拉斯先生这样说过 那样说过 前者则只是单纯的读讲稿 而弗罗贝尼乌斯这一年 49 岁 精力充沛 给高木以很好的印象 高木回忆说 老师中弗罗 贝尼乌斯最年青 讲的是伽罗瓦理论和整数论 内容虽无甚特殊 但神态自如 不拿讲稿 侃侃而谈 有生以来还是第一次听到如此生动的课 出国之前曾有人恐吓说弗罗贝尼乌 斯轻视日本人 实际上他并不可伯 每当我拿一些问题去请教时 他常常一面说问题 很有趣 一面说 denken sie nach 请自己认真思考一下 同时借给我各式各样的论文 抽印本 自己认真思考一下 有生以来还是第一次有人这样教训我 自己认真思考 这一教导使高木终生受益 但总的讲来 高木对自己在柏林的学习并不满意 1900 年 4 月 为了到斯特拉斯堡听韦伯的课 中途高木曾在格丁根暂停 凭他敏锐的 感觉 高木发现了在格丁根存在着一位罕见的数学大师希尔伯特 于是他决定转至格丁根 继续留学 5 个月后 1900 年 9 月 希尔伯特在巴黎世界数学家大会上发表了著名的关于 23 个待解决数学问题的讲演 这篇著名的讲演也经常被看作为 20 世纪的数学宣言 当时格丁根的数学教授有 1886 年来自莱比锡的 f 克莱因 klien 和 1895 年由柯尼 斯堡转来的希尔伯特 1900 年时克莱因 51 岁 希尔伯特 38 岁 副教授有 a m 舍恩弗利 斯 scho enflies r a 费希尔 fisher 希林 schilling 讲师有 e f f 策梅罗 zermelo 阿布拉罕 abraham 高木对格丁根的学习环境十分满意 后来他回忆这段生 活时说 此处与柏林完全不同 这很使我吃惊 每周一次的座谈会 也可以说是从德国 从世界各大学荐选来的少壮派的聚会 实际上这里是世界数学的中心 克莱因以其能够在 不同数学分枝中发现并抓住其内在的共同本质而著称 希尔伯特则更是如此 高木对他们 这种高度的洞察能力 十分敬服 赞叹不已 1897 年希尔伯特出版了他的名著 代数数域理论 bericht ber die theorie der algebraischen zahlk rper 通常被称为 整数论报告 高木在日本时即读过此书 或 许在国内已开始思考 但决定以代数数论为自己的研究方向则是当高木来至格丁根并受到 希尔伯特指导以后 在格丁根 高木取得了他的第一项研究成果 他部分地解决了克罗内克猜想 所谓克罗内克猜想是指 虚二次域 k 的阿贝尔扩张都可由具有 k 中元素复数乘法的椭 圆函数的变换方程来确定 这一猜想是克罗内克于 1880 年提出来的 在当时算是比较难以 3 解决的问题 高木的结果是 当 1901 年 26 岁的高木留学三年之后回国 1903 年发表了他在格丁根时已得出的研究 成果 标题为 关于有理系数复数域上的阿贝尔域 ber die im bereiche der rationalen plexen zah len abel schen zahlk rper 发表在 东京帝 国大学理学部纪要 19 卷 5 期 1903 第 142 页 并以此文获得博士称号 1904 年他被 任命为教授 高木在 1903 年发表了他的学位论文之后 大约沉寂了 10 年 这 10 年的心血大都用于 平静的教学工作 从 1914 年开始高木进行了新的关于类域的研究 到 1920 年 高木把 1915 年以来发表的数篇短文汇总起来 写成了他的成名之作 关于相对阿贝尔域的理论 ber eine theorie der relative abel schen zablk per 刊载在 东京帝国大学理 学部纪要 41 卷 1920 第 1133 页上 此文是开创高木类域论的重要论文 类域 class field 的概念是希尔伯特于 1898 年首先引入的 同时他还提出了一些猜 想和定理 1902 1907 年 ph 富特温勒 furtwn gler 给出了其中部分定理的证明 高木 对类域的概念进行了拓展 希尔伯特最初给出的定义后来被改称为绝对类域 absolute class field 高木证明了 代数数域 k 的任何阿贝尔扩张 k 均可表示成 k 上的类域 此 定理通常被称为是类域论的基本定理或主定理 在高木之前曾有过高斯关于二次式的理论 狄利克雷关于素数的定理 关于有理数域 上的阿贝尔域 b 是圆域的韦伯定理以及希尔伯特和富特温勒关于绝对类域的几个定理 高 木从这些表面看来是如此不同的诸多事实中 概括出其内部的共同性质 进行分析并取得 出色的结果 他在留学时曾力图解决的克罗内克猜想问题 此时也可以算作是高木类域论 一个实际应用的特例 得到肯定的解决 1920 年 9 月 25 日高木贞治在法国斯特拉斯堡举行的世界数学家大会 9 月 22 日30 日 上宣读了上述论文 出席听讲的有 k b 菲特 fueter j 阿达玛 hadamard l p 艾森哈特 eisenhart 等人 但无任何反响 回日本之后 高木于 1922 年又发表 了他的第二篇论文 关于任意代数域的互反法则 ber dasreziprozit tsgesetz in einem beliebigen algebraischen zahlk r per 载 东京帝国大学理学部纪要 44 卷 150 页 对高木类域论的进一步发展作出重大贡献的是两名青年数学家 e 阿廷 artin 和 h 哈塞 hasse 阿廷于 1923 年受到高木第二论文的启发 提出了更一般的互反法则并证 明了若干特例 1927 年阿廷完成了这个一般的互反法则的证明 这个证明 阿廷受到苏联 学者 h 切博塔廖夫 e otap b 1926 年发表的一篇文章中所用方法的启示 哈塞 1925 年 9 月受委托以 类域论的最新进展 为题 在德国全国数学年会作了报告 后来他 以这个报告为基础 在 1926 1927 1930 年分三次以 关于代数域论的最新研究及问题 为题 详细介绍了高木 阿廷类域论 现通常又称为古典类域论 希尔伯特 1900 年提出 23 个问题中的第 9 问题 任意数域中最一般的互反律的证明 这第 9 问题 至此可以说 被高木和阿廷以更为拓展的形式得到了明快的解决 1940 年 c 谢瓦莱 chevalley 完成了类域论的算术化 但是把类域论推广至非阿贝尔扩张的一般 体的研究 即希尔伯特 23 个问题中的第 12 问题 至今仍在进行 1932 年 高木 57 岁时 为出席在瑞士苏黎土召开的世界数学家大会 9 月 4 日12 日 第三次出国 会议主席是 1920 年听过高木第一篇论文的菲特 当菲特在会上介绍高木 时 到会代表鼓掌表示了敬意 会议期间高木举行了一次招待晚宴 出席的有切博塔廖夫 当年 38 岁 谢瓦莱 23 岁 哈塞 34 岁 b l 范德瓦尔登 van der waerden 29 岁 弥永昌吉 弥永昌吉 iyanagash kichi 26 岁 南云道夫 南雪道夫 nagumo mitio 27 岁 等人 阿廷因讨厌开会根本未到瑞士来 这大概是高木一生中最愉快的一个夜晚 4 高木的工作终于得到了国内外的一致称赞 1929 年瑞典奥斯陆大学为纪念阿贝尔逝世 一百周年授予当时世界著名的数学家 16 人以博士学位 高木是其中之一 1932 年苏黎士 世界数学家大会上高木被任命为大