湖南省洞口县第一中学2012届高三寒假数学辅导 第3讲 不等式复习及单元检测卷 湘教版

用心 爱心 专心 第三讲第三讲 不等式复习不等式复习 不等式是高中数学的重要内容之一 不等式的性质是解 证不等式的基础 两个正数 的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理及其变形在不等式的证明和解决有关不等式 的实际问题中发挥着重要的作用 解不等式是研究方程和函数的重要工具 不等式的概念和 性质涉及到求最大 小 值 比较大小 求参数的取值范围等 不等式的解法包括解不等 式和求参数 不等式的综合题主要是不等式与集合 函数 数列 三角函数 解析几何 导数等知识的综合 综合性强 难度较大 是高考命题的热点 也是高考复习的难点 1 掌握用基本不等式求解最值问题 能用基本不等式证明简单的不等式 利用基本不等 式求最值时一定要紧扣 一正 二定 三相等 这三个条件 2 一元二次不等式是一类重要的不等式 要掌握一元二次不等式的解法 了解一元二次 不等式与相应函数 方程的联系和相互转化 3 线性规划问题有着丰富的实际背景 且作为最优化方法之一又与人们日常生活密切相 关 对于这部分内容应能用平面区域表示二元一次不等式组 能解决简单的线性规划 问题 同时注意数形结合的思想在线性规划中的运用 一 基本不等式一 基本不等式 1 能用基本不等式证明其他的不等式 能用基本不等式求解简单的最值问题 2 能用基本不等式解决综合形较强的问题 例 1 已知 5 4 x 求函数 1 42 45 yx x 的最大值 分析 由于450 x 所以首先要调整符号 解 5 4 x 540 x y 4x 2 1 45x 1 543 54 x x 2 3 1 当且仅当 1 54 54 x x 即 x 1 时 上式成立 故当 x 1 时 max 1y 例 2 1 已知a b为正常数 x y为正实数 且1 ab xy 求x y的最小值 2 已知00 yx 且302 xyyx 求xy的最大值 分析 问题 1 可以采用常数代换的方法也可以进行变量代换从而转化为一元函数再利用 基本不等式求解 问题 2 既可以直接利用基本不等式将题目中的等式转化为关于xy的 不等式 也可以采用变量代换转换为一元函数再求解 解 1 法一 直接利用基本不等式 abbxay x y x y a b xyyx a b 2 ab当且仅当 aybx xy ab 1 xy 即 x a ab y b ab 时等号成立 用心 爱心 专心 法二 由 ab 1 xy 得 ay x y b aya yb ab xyyy ybyb abab ay yb ab ybyb x 0 y 0 a 0 由 ay y b 0 得y b 0 x y 2 ab a b 当且仅当 ab y b y b ab 1 xy 即 y b ab x a ab 时 等号成立 2 法一 由302 xyyx 可得 300 2 30 x x x y x xx x xx xy 2 64 2 34 2 2 30 22 2 64 2 34 x x 注意到16 2 64 2 2 2 64 2 x x x x 可得 18 xy 当且仅当 2 64 2 x x 即6 x时等号成立 代入302 xyyx中得3 y 故 xy的最大值为 18 法二 Ryx xyxyyx 22222 代入302 xyyx中得 3022 xyxy 解此不等式得180 xy 下面解法见解法一 下略 点拨 点拨 求条件最值的问题 基本思想是借助条件化二元函数为一元函数 代入法是最基本 的方法 也可考虑通过变形直接利用基本不等式解决 二 一元二次不等式二 一元二次不等式 1 会解一元二次不等式 了解一元二次不等式与相应函数 方程之间的联系和转化 2 能运用一元二次不等式解决综合性较强的问题 例 1 解不等式 1 2 3440 xx 2 2 13 0 22 xx 用心 爱心 专心 3 2 1322xxxx 4 2 2 3 2 1 4 2 xx 解 1 原不等式化为 2 3440 xx 解集为 2 2 3 x 2 原不等式化为 2 230 xx 解集为 R 3 原不等式化为 2 10 xx 解集为 4 由 2 2 2 2 2 13 4 210 13 22 24 1322 250 2 22 xx xx xx xx xx 得得 得 2121 6161 xx x 或 61 21 21 61 x 点拨 解一元二次不等式要注意二次项系数的符号 对应方程 的判断 以及对应方程两 根大小的比较 例 2 函数 1 log 2 2 1 xy的定义域为 2 11 2 例 3 二次函数y ax2 bx c x R R 的部分对应值如下表 则不等式ax2 bx c 0的解集是 3 2 例 4 若不等式0 2 cbxx的解集是 13 xxx或 则b 2 c 3 三 线性规划三 线性规划 1 会在直角坐标系中表示二元一次不等式 二元一次不等式组对应的区域 能由给定的 平面区域确定所对应的二元一次不等式 二元一次不等式组 2 能利用图解法解决简单的线性规划问题 并从中体会线性规划所体现的用几何图形研 究代数问题的思想 例 1 原点 0 0 和点 P 1 1 在直线0 xya 的两侧 则 a 的取值范围是 0 a 2 例 2 在坐标平面上 不等式组 13 1 xy xy 所表示的平面区域的面积为 2 3 x 3 2 101234 y60 4 6 6 406 用心 爱心 专心 例 3 已知 052 04 02 yx yx yx 1 求yxz2 的最大和最小值 2 求 x y z 的取值范围 3 求 22 yxz 的最大和最小值 解析 注意目标函数是代表的几何意义 解 作出可行域 1 1 2 22 z zxyyx 作一组平行线l 1 22 z yx 解方程组 04 052 yx yx 得最优解 B 3 1 32 15 min z 解 02 052 yx yx 得最优解 C 7 9 max 72925z 2 0 0 x y x y z 表示可行域内的点 x y 与 0 0 的连线的斜率 从图中可得 kzk OBOA 又 1 3 3 kk OAOB 1 3 3 z 3 2222 0 0 zxyxy 表示可行域内的点 x y 到 0 0 的距离的 平方 从图中易得 2 min zOF OF 为 O 到直线 AB 的距离 2 max zOC 004 2 2 2 OF 22 8 130OFOC 130 max z 8 min z 点拨 1 线性目标函数的最大 小 值一般在可行域的顶点处取得 也可能在边界处取 得 2 求线性目标函数的最优解 要注意分析线性目标函数所表示的几何意义 从而将目 标函数的最值问题转化为某几何量的取值范围 例 4 本公司计划 2008 年在甲 乙两个电视台做总时间不超过 300 分钟的广告 广告总费 用不超过 9 万元 甲 乙电视台的广告收费标准分别为500元 分钟和 200 元 分钟 规定 甲 乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告 能给公司事来的收益分别为 0 3 万元和 0 2 万元 问该公司如何分配在甲 乙两个电视台的广告时间 才能使公司的收益最大 最大收益是多少万元 分析 本例是线性规划的实际应用题 其解题步骤是 1 设出变量 列出约束条件及目 标函数 2 画出可行域 3 观察平行直线系30002000zxy 的运动 求出目标函 数的最值 解 设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟 总收益为z元 用心 爱心 专心 由题意得 300 50020090000 00 xy xy xy 目标函数为30002000zxy 二元一次不等式组等价于 300 52900 00 xy xy xy 作出二元一次不等式组所表示的平面区域 即可行域 如图 作直线 300020000lxy 即320 xy 平移直线l 从图中可知 当直线l过M点时 目标函数取得最大值 联立 300 52900 xy xy 解得100200 xy 点M的坐标为 100 200 max 30002000700000zxy 元 答 该公司在甲电视台做 100 分钟广告 在乙电视台做 200 分钟广告 公司的收益最大 最大收益是 70 万元 四 不等式综合四 不等式综合 能利用不等式性质 定理 不等式解法及证明解决有关数学问题和实际问题 如最值 问题 恒成立问题 最优化问题等 例 1 函数 2 2f xaxa 在区间 0 1上恒为正 则a的取值范围是 0 a 2 例 2 当点 x y在直线320 xy 上移动时 3271 xy z 的最小值是 7 例 3 对于 0 m 4 的m 不等式x2 mx 4x m 3 恒成立 则x的取值范围是x 3 或 x 1 第三讲第三讲 不等式单元检测卷不等式单元检测卷 湖南省洞口县第一中学湖南省洞口县第一中学 肖丹枫肖丹枫 一一 选择题选择题 1 若 a b 0 则下列不等式成立的是 0100200 300 100 200 300 400 500 y x l M 例 3 用心 爱心 专心 A B ab 1 C D ba 11 1 b a 1 b a 2 在下列函数中 最小值是 2 的是 A B x x y 2 2 2 1 2 2 2 x x y C D x xy sin 1 sin 55 xx y 3 已知三角形 ABC 的顶点坐标 A 2 4 B 1 2 C 1 0 点在三角形内部及边界上 yxP 运动 则的最大值和最小值分别是 yxz A 3 1 B 1 3 C 1 3 D 3 1 4 已知正数 满座 则有 ba 4 ba A B C D 2 11 ab 1 11 ba 2 ab 4 11 22 b a 5 已知正数满足 则有 yx 1 94 yx xy A 最小值 12 B 最大值 12 C 最小值 144 D 最大值 144 6 某厂有一批长为 2 5 米的条形钢材 要截成 60 厘米的 A 型和 43 厘米的 B 型的两种 规格的零件毛坯 则下列哪种方案是最佳 所剩材料最少 A A 型 4 个 B A 型 2 个 B 型 3 个 C A 型一个 B 型 4 个 D B 型 5 个 7 若 则 10 ba 2 ln ln ln 2 1 lnln ba RbaQbaP A P Q R B Q R P C Q P R D R Q6 或 则的解集是05 2 cx x axx 1 x05 2 ax x c 13 若 则的最小值为 0 0 42 yxxyxyxy 14 设若 则点的集合的面积是 2 bx x axf 4 1 2 2 1 1 ff ba 用心 爱心 专心 三三 解答题解答题 15 已知关于的不等式 为实数 x0 2 2 axxa 1 若解集为 R 求 2 解关于的不等式 10 分 ax 16 1 求函数的最大值 并求相应的的值 12 分 1 1 2 5 x x xx xfx 2 已知正数满足 求的最大值并求此时和的值 ba 932 22 bab a 2 1 ab 17 若 求的最小值 并求此时的的值 10 分 0 0 1 42 yx yx yx2 yx 18 已知变量且 0 0 0 0 bayx 6 2 62 byxayx 1 试画出点存在的范围 2 求的最大值 10 分 yxyx32 19 12 分 某木材加工厂为了提高生产高效率和产品质量 决定添置一台 12 5 万元的 新木材加工机器 若机器第天的维护费为元 则该机器使用多少天能使平均每天的支xx 出最少 用心 爱心 专心 一 DDCBCBB