北京市西城区2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题

1 北京市西城区北京市西城区 2019 20202019 2020 学年高二数学上学期期末考试试题学年高二数学上学期期末考试试题 试卷满分 150 分 考试时间 120 分钟 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1010 小题 每小题小题 每小题 4 4 分 共分 共 4040 分分 在每小题给出的四个选项中 只有在每小题给出的四个选项中 只有 一项是符合要求的一项是符合要求的 1 已知椭圆的一个焦点为 则的值为 22 2 1 0 4 xy ca a 2 0 a a b c d 2 2668 2 已知数列满足 则 n a 1 2a 1 2 nn aa 2 nn n 3 a a b c d 5678 3 已知命题 则为 p1x 2 1x p a b 1x 2 1x 1x 2 1x c d 1x 2 1x 1x 2 1x 4 已知 若 则 a b rab a b c d 2ab 2 abb 22 ab 33 ab 5 已知向量 且 那么 1 2 1 3 x y ab ab b a b c d 3 66918 6 已知直线 分别在两个不同的平面内 则 直线和直线相交 是 平面ab ab 和 平面相交 的 a 充分不必要条件 b 必要不充分条件 c 充要条件 d 既不充分也不必要条件 7 已知向量 若共面 则等于 1 2 x a 0 1 2 b 1 0 0 c a b cx a b c 或 d 或 1 111 10 8 德国著名数学家高斯 享有 数学王子 之美誉 他在研究圆内整点问题时 定义了一 个函数 其中表示不超过的最大整数 比如 根据以上定义 当 f xx xx 3 2 时 数列 31x xf x f x x a 是等差数列 也是等比数列 b 是等差数列 不是等比数列 c 是等比数列 不是等差数列 d 不是等差数列 也不是等比数列 9 设有四个数的数列 该数列前 项成等比数列 其和为m 后 项成等差数列 n a33 其和为 则实数m的取值范围为 6 a b c d 6m 3 2 m 6m 2m 10 曲线 给出下列结论 33 1c xy 曲线关于原点对称 c 曲线上任意一点到原点的距离不小于 1 c 曲线只经过个整点 即横 纵坐标均为整数的点 c2 其中 所有正确结论的序号是 a b c d 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 6 6 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 3030 分分 11 设是椭圆上的点 到该椭圆左焦点的距离为 则到右焦点的距离 p 22 1 259 xy p2p 为 12 不等式的解集为 0 1 x x 13 能说明 若 则 为假命题的一组 值是 ab 11 ab aba b 14 若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为 则其离 22 22 1 0 0 xy ab ab 0 f c 3 2 c 心 率的值是 15 某渔业公司今年初用万元购进一艘渔船用于捕捞 已知第一年捕捞工作需各种费100 用万元 从第二年开始 每年所需费用均比上一年增加万元 42 若该渔船预计使用年 其总花费 含购买费用 为 万元 n 当 时 该渔船年平均花费最低 含购买费用 n 3 16 若 表示从左到右依次排列的 9 盏灯 现制定开灯与关灯的规则如下 1239 x xxx 1 对一盏灯进行开灯或关灯一次叫做一次操作 2 灯在任何情况下都可以进行一次操作 对任意的 要求灯 1 x 29 ixx n i x 的左边有且只有灯是开灯状态时才可以对灯进行一次操作 1i x i x 如果所有灯都处于开灯状态 那么要把灯关闭最少需要 次操作 4 x 如果除灯外 其余 8 盏灯都处于开灯状态 那么要使所有灯都开着最少需要 6 x 次操作 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 共小题 共 8080 分分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 13 分 已知等比数列的公比为 且 成等差数列 n a2 3 a 4 4a 5 a 求的通项公式 n a 设的前项和为 且 求的值 n an n s62 n s n 18 本小题满分 13 分 已知函数 2 f xxax a r 若 求的取值范围 1 f af a 若对恒成立 求的取值范围 4f x x ra 求关于的不等式的解集 x 0f x 4 19 本小题满分 13 分 已知椭圆的右焦点为 离心率为 22 22 1 xy c ab 0 ab 1 0 f 2 2 求椭圆的方程 c 设点为椭圆的上顶点 点在椭圆上且位于第一象限 且 求acb90afb 的面积 afb 20 本小题满分 14 分 如图 四棱锥中 平面 pabcd ad abp bcad90pab 是的中点 2paab 3ad bcm epb 证明 平面 aepbc 若二面角的余弦值是 求的值 caed 3 3 m 若 在线段上是否存在一点 使得 若存在 确定点的位2m adfpfcef 置 若不存在 说明理由 21 本小题满分 14 分 已知抛物线 抛物线上横坐标为 的点到焦点的距离为 2 2 0 c ypx p c1f3 求抛物线的方程及其准线方程 c 过的直线 交抛物线于不同的两点 交直线于点 直线 交 1 0 lc a b4x ebf 直线于点 是否存在这样的直线 使得 若不存在 请说明理由 若1x dl deaf 存在 求出直线 的方程 l d a b c p e 5 22 本小题满分 13 分 若无穷数列满足 对任意两个正整数 与 123 a aa i j 3 ji 11ijij aaaa 至少有一个成立 则称这个数列为 和谐数列 11ijij aaaa 求证 若数列为等差数列 则为 和谐数列 n a n a 求证 若数列为 和谐数列 则数列从第 项起为等差数列 n a n a3 若是各项均为整数的 和谐数列 满足 且存在使得 n a 1 0a p n p ap 求p的所有可能值 123p aaaap 北京市西城区 2019 2020 学年度第一学期期末试卷 高二数学参考答案 2020 1 一 一 选择题 本大题共选择题 本大题共 1010 小题 每小题小题 每小题 4 4 分 共分 共 4040 分分 1 a 2 b 3 c 4 d 5 a 6 a 7 b 8 d 9 b 10 c 二 二 填空题 本大题共填空题 本大题共 6 6 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 3030 分分 11 12 13 答案不唯一 14 8 01 xx 1 1 2 15 16 3 21 2 3100nn 10 注 13 15 16 题第一个空 2 分 第二个空 3 分 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 共小题 共 8080 分分 17 本小题满分 13 分 解 因为为公比为的等比数列 n a2 6 所以 3 分 2 311 4aa qa 41 8aa 51 16aa 依题意得 5 分 435 2 4 aaa 即 6 分 111 2 84 416aaa 整理得 解得 7 1 48a 1 2a 分 所以数列的通项公式为 8 分 n a 2n n a 依题意 10 分 1 1 1 n n q sa q 11 1 12 222 12 n n 分 所以 整理得 12 分 1 2262 n 1 264 n 解得5 n 所以的值是 13n5 分 18 本小题满分 13 分 解 由得 1 f af 22 1aaa 整理得 2 分 2 210aa 解得或 4 分 1 2 a a 1 a 对恒成立 则 6 4f x x r min 4f x 分 所以 7 分 2 4 4 a 整理得 2 160a 解得 8 分 44 aa 解 得 2 0 xax 12 0 xxa 当时 即时 或 10 分0a 0a 0 x xa 当时 即时 或 12 分0a 0a xa 0 x 当时 即时 13 分0a 0a 0 x 综上 当时 不等式的解集为或 当时 不等式的解集为0a 0 x x xa 0a 7 或 当时 不等式的解集为 x xa 0 x 0a 0 x x 19 本小题满分 13 分 解 依题意 21c 2 2 c a 分 解得 4 分2a 22 1bab 所以椭圆的方程为 5 分c 2 2 1 2 x y 设点 因为点在椭圆上 所以 7 分 00 b xyb 2 20 0 1 2 x y 因为 所以 得 8 分90afb 1 fafb kk 0 0 1 1 y x 由 消去得 0 y 2 00 340 xx 解得 舍 10 分 0 0 x 0 4 3 x 代入方程 得 所以 11 0 1 3 y 4 1 3 3 b 分 所以 又 12 分 2 3 bf 2af 所以的面积 13 分afb 1121 2 2233 afb safbf 20 本小题满分 14 分 证明 因为 平面 ad pab bcad 所以 平面 1 分bc pab 又因为 平面 所以 2 分ae pabaebc 在中 是的中点 pab paab epb 所以 3 分aepb 又因为 所以 平面 4 分bcpbb ae pbc 解 因为 平面 ad pab 所以 5 分adab adpa 又因为 paab 所以 如图建立空间直角坐标系 axyz 则 0 0 0 a 0 2 0 b 0 2 cm 1 1 0 e d a b c p e y z x 8 2 0 0 p 0 0 3 d 6 分 0 2 acm 1 1 0 ae 设平面的法向量为 aec x y z n 则 7 分 0 0 ac ae n n 即 令 则 20 0 ymz xy 1x 1y 2 z m 于是 8 分 2 1 1 m n 因为平面 所以 又 ad pabadpb pbae 所以平面 pb aed 又因为 2 2 0 pb 所以 取平面的法向量为 9 分aed 1 1 0 m 所以 10 分 3 cos 3 n m n m nm 即 解得 2 1 1 3 34 22 m 2 1m 又因为 所以 110m 1m 分 结论 不存在 理由如下 证明 设 0 0 ft 03 t 当时 2m 0 2 2 c 12 2 0 pft 1 1 2 ce 分 由知 这与矛盾 13 分pfce 0pf ce 220t 1t 03t 所以 在线段上不存在点 使得 14 分adfpfce 21 本小题满分 14 分 解 因为横坐标为 的点到焦点的距离为 所以 解得 21313 2 p 4p 分 所以 3 2 8yx 分 9 所以准线方程为 4 分2x 显然直线 的斜率存在 设直线 的方程为 ll 1 yk x 0 k 1122 a x yb xy 联立得 消去得 5 分 2 8 1 yx yk x y 2222 28 0k xkxk 由 解得 所以且 224 28 40kk 22k 22k 0k 由韦达定理得 7 2 12 2 82k xx k 1 2 1x x 分 方法一 直线的方程为 bf 2 2 2 2 y yx x 又 所以 所以 8 分1 d x 2 2 3 2 d y y x 2 2 3 1 2 y d x 因为 所以直线与直线的斜率相等 9 分 deafdeaf 又 所以 10 分 4 3 ek 2 21 1 33 2 32 y k xy x 整理得 即 11 分 12 12 22 yy k xx 12 12 1 1 22 k xk x k xx 化简得 即 12 分 12 12 11 1 22 xx xx 1 212 1 212 2 4 1 2 4 x xxx x xxx 12 7xx 所以 整理得 13 分 2 2 82 7 k k 2 8 9 k 解得 经检验 符合题意 2 2 3 k 2 2 3 k 所以存在这样的直线 直线 的方程为或 14ll 2 2 1 3 yx 2 2 1 3 yx 分 方法二 因为 所以 所以 10 分 deaf babf bebd 212 22 2 41 xxx xx 整理得 即 12 分 1 212 8x xxx 2 2 82 7 k k 整理得 13 分 2 8 9 k 解得 经检验 符合题意 2 2 3 k 2 2 3 k 所以存在这样的直线 直线 的方程为或 14ll 2 2 1 3 yx 2 2 1 3 yx 分 22 本小题满分 13 分 10 证明 因为数列为等差数列 n a 所以 对任意两个正整数 有 2 i j 3 ji 11iijj aaaad 分 所以 11ijij aaaa 所以 数列为 和谐数列 4 分 n a 证明 因为数列为 和谐数列 n a 所以 当 时 只能成立 不成立 1i 4j 11ijij aaaa 11ijij aaaa 所以 即 6 分 2314 aaaa 2143 aaaa 当 时 也只能成立 不成立 1i 5 6 7 8 9j 11ijij aaaa 11ijij aaaa 所以 2415 aaaa 2516 aaaa 2617 aaaa 即 21546576 aaaaaaaa 所以 7 分 21435465 aaaaaaaa 令 则数列满足 21 aad n a 1 4 nn aad n 所以 数列从第 3 项起为等差数列 8 分 n a 解 若 则 与矛盾 不合题意 1p 1 1 p aa 1 0a 若 则 但 不合题意 9 分2p 1