北京市石景山区2020届高三数学上学期期末考试试题

1 北京市石景山区北京市石景山区 20202020 届高三数学上学期期末考试试题届高三数学上学期期末考试试题 本试卷共 5 页 满分为 150 分 考试时间为 120 分钟 请务必将答案答在答题卡上 在试卷上作答无效 考试结束后上交答题卡 第一部分 选择题第一部分 选择题 共共 4040 分 分 一 选择题共一 选择题共 1010 小题 每小题小题 每小题 4 4 分 共分 共 4040 分 在每小题列出的四个选项中 选出符合题分 在每小题列出的四个选项中 选出符合题 目要求的一项目要求的一项 1 已知集合 则 02axx 1 0 2 3b ab a 0 1 2b 0 2c 1 3 d 1 0 1 2 3 2 复数的共轭复数在复平面内对应的点所在象限为 2 1i z a 第一象限b 第二象限c 第三象限d 第四象限 3 下列函数中既是奇函数 又在区间上单调递减的是0 1 a 3 f xx b lg f xx c f xx d cosf xx 4 已知向量 若 则实数 5 m a 2 2 b abbm a 1 b 1c 2d 2 5 我国古代数学名著 数书九章 有 米谷粒分 题 粮仓开仓收粮 有人送来 米 石 验得米内夹谷 抽样取米一把 数得粒内夹谷粒 则这批米内153425428 夹谷约为 a 石134b 石169c 石338d 石1365 6 已知 则 的大小关系是 3 log 4a log 3b 5c abc a abc b acb c bca d bac 7 艺术体操比赛共有 7 位评委分别给出某选手的原始评分 评定该选手的成绩时 从 7 个原始评分中去掉 1 个最高分 1 个最低分 得到 5 个有效评分 5 个有效 评分与 7 个原始评分相比 不变的数字特征是 2 a 中位数b 平均数c 方差 d 极差 8 一个正方体被一个平面截去一部分后 剩余部分的三视图如右图 则截去部 分体积与原正方体体积的比值为 a 8 1 b 7 1 c 6 1 d 5 1 9 在等差数列中 设 则是的 n a k l p r nklpr klpr aaaa a 充分而不必要条件b 必要而不充分条件 c 充要必要条件d 既不充分也不必要条件 10 关于曲线 给出下列三个结论 c 22 4xxyy 曲线恰好经过个整点 即横 纵坐标均为整数的点 c6 曲线上任意一点到原点的距离都不大于 c2 2 曲线上任意一点到原点的距离都不小于 c2 其中 正确结论的个数是 a 0b 1c 2d 3 主 正 视图左 侧 视图 俯视图 3 第二部分 非选择题共第二部分 非选择题共 110110 分 分 二 填空题共二 填空题共 6 6 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 3030 分 分 11 在的二项展开式中 常数项等于 用数字作答 6 2 x x 12 已知双曲线标准方程为 则其焦点到渐近线的距离为 2 2 1 3 x y 13 已知数列为等比数列 则 n ann n 1 1a 2 2a 3 a 14 已知平面 给出下列三个论断 以其中 的两个论断作为条件 余下的一个论断作为结论 写出一个正确的命题 15 在中 角所对的边分别是 已知 abc a b c a b c 1 4 bca 则的值为 2sin3sinbc cosa 16 已知向量 是平面内的一组基向量 为内的定点 对于内任意 1 e 2 e o 一点 当时 则称有序实数对为点的广义坐标 若p 12 opxeye x yp 点 的广义坐标分别为 对于下列命题 ab 11 x y 22 xy 线段的中点的广义坐标为 ab 1212 22 xxyy 向量平行于向量的充要条件是 oa ob 1221 x yx y 向量垂直于向量的充要条件是 oa ob 1212 0 x xy y 其中 真命题是 请写出所有真命题的序号 4 三 解答题共三 解答题共 6 6 小题 共小题 共 8080 分 解答应写出文字说明 演算步骤或证明过程 分 解答应写出文字说明 演算步骤或证明过程 17 本小题 13 分 已知函数 1 cos sincos 2 f xxxx 若 且 求的值 2 0 5 3 sin f 求函数的最小正周期 及函数的单调递减区间 f x f x 18 本小题 13 分 一款小游戏的规则如下 每盘游戏都需抛掷骰子三次 出现一次或两次 6 点 获得 15 分 出现三次 6 点 获得 120 分 没有出现 6 点 则扣除 12 分 即获得 12 分 设每盘游戏中出现 6 点 的次数为x 求x的分布列 玩两盘游戏 求两盘中至少有一盘获得 15 分的概率 玩过这款游戏的许多人发现 若干盘游戏后 与最初的分数相比 分数没有增加反 而减少了 请运用概率统计的相关知识分析解释上述现象 19 本小题 14 分 已知在四棱锥中 底面是边长为 的正方形 是正三角形 abcdp abcd4pad 平面 分别是 的中点 cdpadogfe adbcpdpc 求证 平面 poabcd 求平面与平面所成锐二面角的大小 efgabcd 线段上是否存在点 使得直线pamgm 与平面所成角为 若存在 求线段 efg 6 pm 的长度 若不存在 说明理由 20 本小题 14 分 o e f g p c d ba 5 已知函数 exf xax a r 求函数的单调区间 f x 若 的图象与轴交于点 求在点处的切线方程 3a f xya yf x a 在 的条件下 证明 当时 恒成立 0 x 2 31f xxx 21 本小题 13 分 已知椭圆过点 22 2 1 2 xy c a 2 1 p 求椭圆c的方程 并求其离心率 过点作轴的垂线 设点为第四象限内一点且在椭圆上 点不在直线pxlaca 上 直线关于 的对称直线与椭圆交于另一点 设为坐标原点 判断lpalpbbo 直线与直线的位置关系 并说明理由 abop 22 本小题 13 分 已知由个正整数构成的集合 n n n 1212 3 nn aa aaaaa n 记 对于任意不大于的正整数 均存在集合的一个子集 使 12an saaa a sma 得该子集的所有元素之和等于 m 求的值 21 a a 求证 成等差数列 的充要条件是 n aaa 21 2 1 nn sa 若 求的最小值 并指出取最小值时的最大值 2020 a snn n a 6 石景山区石景山区 20202020 届第一学期高三期末届第一学期高三期末 数学试卷答案及评分参考数学试卷答案及评分参考 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1010 个小题 每小题个小题 每小题 4 4 分 共分 共 4040 分 分 题号 12345678910 答案 bacbbdacdc 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 6 6 个小题 每小题个小题 每小题 5 5 分 共分 共 3030 分 分 11 12 13 160 15 14 或 15 16 1 4 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 个小题 共个小题 共 8080 分 解答题应写出文字说明 证明过程或演算步分 解答题应写出文字说明 证明过程或演算步 骤 骤 17 本小题 13 分 解 因为 且 2 0 5 3 sin 所以 2 分 2 4 cos1 sin 5 所以 5 分 4 34128131 5 55225250 f 2 1 cossincos 2 1 cossincos 2 xxxxxxxf 8 分 所以函数的最小正周期 9 分 xf 2 2 t 由 3 2 22 242 kxk k z 解得 11 分 5 88 kxk k z 所以函数的单调递减区间 13 分 xf 5 88 k k k z 18 本小题 13 分 4 2sin 2 2 2cos2 sin 2 1 2 1 2 2cos1 2sin 2 1 x xx x x 4 2sin 2 2 2cos2 sin 2 1 2 1 2 2cos1 2sin 2 1 x xx x x 7 解 可能的取值为 1 x0123 分 每次抛掷骰子 出现 6 点 的概率为 1 6 p 03 3 1125 0 1 6216 p xc 12 3 1175 1 1 66216 p xc 22 3 1115 2 1 66216 p xc 33 3 11 3 6216 p xc 5 分 所以x的分布列为 6 分 设 第i盘游戏获得 15 分 为事件ai i 1 2 则 8 分 12 905 1 2 21612 p ap ap xp x 所以 两盘游戏中至少有一次获得 15 分 的概率为 12 95 1 144 p a p a 因此 玩两盘游戏至少有一次获得 15 分的概率为 10 分 95 144 设每盘游戏得分为 y 由 知 的分布列为 y y12 15120 p 125 216 5 12 1 216 的数学期望为 12 分 y 125515 1215120 2161221636 ey 这表明 获得分数的期望为负 y 因此 多次游戏之后分数减少的可能性更大 13 分 x0123 p 125 216 25 72 5 72 1 216 8 19 本小题 14 分 证明 因为 是正三角形 是的中点 所以 padoad poad 又因为平面 平面 所以 cdpad popad pocd 平面 dcdad cdad abcd 所以面 4 分 poabcd 如图 以点为原点分别以 所在直线为轴 轴 轴建立空间 ooaogopx y z 直角坐标系 则 32 0 0 0 4 0 0 0 2 0 4 2 0 4 2 0 0 2 0 0 0 pgdcbao 3 0 1 3 2 1 fe 3 2 1 0 2 0 egef 设平面的法向量为 efg zyxm 032 02 zyx y 令 则 6 分 1 z 10 3 m 又平面的法向量 7 分 abcd 1 0 0 n 设平面与平面所成锐二面角为 efgabcd 所以 2 1 cos nm nm 所以平面与平面所成锐二面角为 9 分 efgabcd3 假设线段上存在点 使得直线与平面所成角为 pamgmefg 6 设 1 0 papm pagppmgpgm 所以 11 分 1 32 4 2 gm 所以 13 分 7642 3 cos 6 sin 2 mgm 整理得 无解 0232 2 所以 不存在这样的点 14 分 m o z y x e f g p c d ba 9 20 本小题 14 分 解 1 分 x fxea 当时 恒成立 所以在上单调递增 3 分 0a 0fx f x r 当时 令 解得 0a 0fx lnxa 当变化时 的变化情况如下表 x fxf x x ln a lna ln a fx 0 f x 减极小值增 所以时 在上单调递减 在上单调递增 5 分 0a f x ln a ln a 令 得 则 6 分 0 x 1y 0 1a 因为 所以 7 分 e3 x fx 0132 f 所以在点处的切线方程为 即 9 分 a 12 0 yx 21yx 证明 令 22 3 1 e1 x g xf xxxx 则 e2 x gxx 令 则 e2 x h xx e2 x h x 当时 单调递减 0ln2x 0h x h x 当时 单调递增 11 分 ln2x 0h x h x 所以 即恒成立 ln2 ln2e2ln222ln20h xh 0gx 所以在上单调递增 所以 13 分 g x 01010g xg 所以 即当时 恒成立 14 分 2 e10 x x 0 x 2 31f xxx 21 本小题 13 分 解 由椭圆过点 22 2 1 2 xy c a 2 1 p 10 可得 解得 2 分 2 41 1 2a 2 8a 所以 3 分 222 826cab 所以椭圆的方程为 离心率 5 分 c 22 1 82 xy 63 22 2 e 直线与直线平行 6 分 abop 证明如下 由题意 设直线 1 2 pa yk x 1 2 pb yk x 设点 a 11 x y b 22 xy 由得 22 1 82 21 xy ykxk 8 分 222 41 8 1 2 161640kxkk xkk 所以 所以 同理 1 2 8 21 2 41 kk x k 2 1 2 882 41 kk x k 2 2 2 8 82 41 kk x k 所以 10 分 12 2 16 41 k xx k 由 11 21ykxk 22 21ykxk 有 1212 2 8 4 41 k yyk xxk k 因为在第四象限 所以 且不在直线上 所以 a0k aop 12 12 1 2 ab yy k xx 又 故 所以直线与直线平行 13 分 1 2 op k abop kk abop 22 本题 13 分 解 由条件知 必有 又均为整数 2 a s 1 a 1 n aaa 21 1 1 a 11 分 由的定义及均为整数 必有 a s 2 a s n aaa 21a 2 2 2 a 4 分 必要性 由 成等差数列 及 n aaa 21 1 1 a2 2 a 得此时满足题目要求 2 1 niiai 3 2 1 na 从而 6 分 1 2 1 321 nnnsa 充分性 由条件知且均为正整数 可得 21n aaa 3 2 1 niiai 故 当且仅当时 上式等 1 2 1 321 nnnsa 3 2 1 ni